MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtgt0 14375
Description: The square root function is positive for positive input. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrtgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))

Proof of Theorem sqrtgt0
StepHypRef Expression
1 0re 10357 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 ltle 10444 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
31, 2mpan 683 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43imp 397 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
5 resqrtcl 14370 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
64, 5syldan 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
7 sqrtge0 14374 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
84, 7syldan 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
9 gt0ne0 10816 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
10 sq0i 13249 . . . . 5 ((√‘𝐴) = 0 → ((√‘𝐴)↑2) = 0)
11 resqrtth 14372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
124, 11syldan 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
1312eqeq1d 2826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((√‘𝐴)↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
1410, 13syl5ib 236 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((√‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
1514necon3d 3019 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → (√‘𝐴) ≠ 0))
169, 15mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (√‘𝐴) ≠ 0)
176, 8, 16ne0gt0d 10492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998   class class class wbr 4872  cfv 6122  (class class class)co 6904  cr 10250  0cc0 10251   < clt 10390  cle 10391  2c2 11405  cexp 13153  csqrt 14349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351
This theorem is referenced by:  rpsqrtcl  14381  sqrtgt0i  14488  normgt0  28538  pellexlem2  38237  qndenserrnbllem  41304
  Copyright terms: Public domain W3C validator