Theorem sqrtgt0 15430

Description: The square root function is positive for positive input. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))

Proof of Theorem sqrtgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11313	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11401	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4	3	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
5		resqrtcl 15425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
6	4, 5	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
7		sqrtge0 15429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
8	4, 7	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ (√‘𝐴))
9		gt0ne0 11784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
10		sq0i 14339	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐴) = 0 → ((√‘𝐴)↑2) = 0)
11		resqrtth 15427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
12	4, 11	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
13	12	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (((√‘𝐴)↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
14	10, 13	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((√‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
15	14	necon3d 2976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → (√‘𝐴) ≠ 0))
16	9, 15	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (√‘𝐴) ≠ 0)
17	6, 8, 16	ne0gt0d 11450	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (√‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   < clt 11346   ≤ cle 11347  2c2 12400  ↑cexp 14207  √csqrt 15405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407

This theorem is used by:  rpsqrtcl  15436  sqrtgt0i  15545  normgt0  31734  pellexlem2  43930  qndenserrnbllem  47397