Theorem efgt0 16007

Description: The exponential of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefcl 15989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12343	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2	reefcld 15990	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
4	3	sqge0d 14039	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
5	2	recnd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6		2z 12499	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		efexp 16005	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9		recn 11091	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2cn 12195	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		2ne0 12224	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
12		divcan2 11779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
13	10, 11, 12	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
14	9, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
16	8, 15	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
17	4, 16	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18		efne0 16000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
19	9, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
20	1, 17, 19	ne0gt0d 11245	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   / cdiv 11769  2c2 12175  ℤcz 12463  ↑cexp 13963  expce 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969

This theorem is referenced by:  rpefcl  16008  eflt  16021  tanhlt1  16064  absef  16101  efieq1re  16103  rpcxpcl  26607  asinsinlem  26823  birthdaylem3  26885  pntpbnd1  27519  pntpbnd2  27520  xrge0iifcnv  33938