MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt0 15039
Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 15023 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rehalfcl 11460 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
32reefcld 15024 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
43sqge0d 13243 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
52recnd 10270 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6 2z 11611 . . . . 5 2 ∈ ℤ
7 efexp 15037 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
85, 6, 7sylancl 574 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9 recn 10228 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 2cn 11293 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
11 2ne0 11315 . . . . . . 7 2 ≠ 0
12 divcan2 10895 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1310, 11, 12mp3an23 1564 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
149, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1514fveq2d 6336 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
168, 15eqtr3d 2807 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
174, 16breqtrd 4812 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18 efne0 15033 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
199, 18syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
201, 17, 19ne0gt0d 10376 1 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272  cz 11579  cexp 13067  expce 14998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004
This theorem is referenced by:  rpefcl  15040  eflt  15053  tanhlt1  15096  absef  15133  efieq1re  15135  rpcxpcl  24643  asinsinlem  24839  birthdaylem3  24901  pntpbnd1  25496  pntpbnd2  25497  xrge0iifcnv  30319
  Copyright terms: Public domain W3C validator