Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgt0 15454
 Description: The exponential of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 15438 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rehalfcl 11858 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
32reefcld 15439 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
43sqge0d 13615 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
52recnd 10663 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6 2z 12009 . . . . 5 2 ∈ ℤ
7 efexp 15452 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
85, 6, 7sylancl 589 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9 recn 10621 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 2cn 11707 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
11 2ne0 11736 . . . . . . 7 2 ≠ 0
12 divcan2 11300 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1310, 11, 12mp3an23 1450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
149, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
1514fveq2d 6663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
168, 15eqtr3d 2861 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
174, 16breqtrd 5079 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18 efne0 15448 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
199, 18syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
201, 17, 19ne0gt0d 10771 1 (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  2c2 11687  ℤcz 11976  ↑cexp 13432  expce 15413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-ico 12739  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14424  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-limsup 14826  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-ef 15419 This theorem is referenced by:  rpefcl  15455  eflt  15468  tanhlt1  15511  absef  15548  efieq1re  15550  rpcxpcl  25265  asinsinlem  25475  birthdaylem3  25537  pntpbnd1  26168  pntpbnd2  26169  xrge0iifcnv  31203  cxpgt0d  39362
 Copyright terms: Public domain W3C validator