Theorem efgt0 16181

Description: The exponential of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefcl 16163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12486	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2	reefcld 16164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
4	3	sqge0d 14191	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
5	2	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6		2z 12641	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		efexp 16179	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9		recn 11205	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		2ne0 12362	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
12		divcan2 11895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
13	10, 11, 12	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
14	9, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
16	8, 15	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
17	4, 16	breqtrd 5139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18		efne0 16174	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
19	9, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
20	1, 17, 19	ne0gt0d 11362	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115   · cmul 11120   < clt 11258   ≤ cle 11259   / cdiv 11886  2c2 12310  ℤcz 12606  ↑cexp 14115  expce 16137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143

This theorem is used by:  rpefcl  16182  eflt  16195  tanhlt1  16238  absef  16275  efieq1re  16277  rpcxpcl  26892  asinsinlem  27107  birthdaylem3  27169  pntpbnd1  27801  pntpbnd2  27802  xrge0iifcnv  34387