Theorem efgt0 16264

Description: The exponential of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

Proof of Theorem efgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefcl 16246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	2	reefcld 16247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
4	3	sqge0d 14273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
5	2	recnd 11330	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
6		2z 12721	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		efexp 16262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2))↑2))
9		recn 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2cn 12411	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		2ne0 12442	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
12		divcan2 11975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
13	10, 11, 12	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
14	9, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(2 · (𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
16	8, 15	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(𝐴 / 2))↑2) = (exp‘𝐴))
17	4, 16	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (exp‘𝐴))
18		efne0 16257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
19	9, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
20	1, 17, 19	ne0gt0d 11440	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 < (exp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  2c2 12390  ℤcz 12686  ↑cexp 14197  expce 16220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-ico 13475  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226

This theorem is used by:  rpefcl  16265  eflt  16278  tanhlt1  16321  absef  16358  efieq1re  16360  rpcxpcl  26997  asinsinlem  27212  birthdaylem3  27274  pntpbnd1  27906  pntpbnd2  27907  xrge0iifcnv  34558