Theorem elzs2 28815

Description: A surreal integer is either a positive integer, zero, or the negative of a positive integer. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elzs2	⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)))

Proof of Theorem elzs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzn0s 28814	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
2		eln0s 28777	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → (𝑁 ∈ ℕ0s ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
4		eln0s 28777	. . . . . 6 ⊢ (( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) = 0s ))
5		neg0s 28442	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -s‘ 0s ) = 0s
6	5	eqeq2i 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (( -s‘𝑁) = ( -s‘ 0s ) ↔ ( -s‘𝑁) = 0s )
7		0no 28225	. . . . . . . . 9 ⊢ 0s ∈ No
8		negs11 28465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ 0s ∈ No) → (( -s‘𝑁) = ( -s‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
9	7, 8	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -s‘𝑁) = ( -s‘ 0s ) ↔ 𝑁 = 0s ))
10	6, 9	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -s‘𝑁) = 0s ↔ 𝑁 = 0s ))
11	10	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) = 0s ) ↔ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
12	4, 11	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ No → (( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s ↔ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
13	3, 12	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s) ↔ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ∨ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ))))
14		3orcoma 1109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 = 0s ∨ 𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs))
15		3orass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0s ∨ 𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 = 0s ∨ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)))
16		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0s ∨ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs) ∨ 𝑁 = 0s ))
17		orordir 943	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs) ∨ 𝑁 = 0s ) ↔ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ∨ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
18	16, 17	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0s ∨ (𝑁 ∈ ℕs ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ∨ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )))
19	14, 15, 18	3bitrri 301	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ) ∨ (( -s‘𝑁) ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s )) ↔ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs))
20	13, 19	bitr2di 291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ No → ((𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
21	20	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)) ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕ0s)))
22	1, 21	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤs ↔ (𝑁 ∈ No ∧ (𝑁 ∈ ℕs ∨ 𝑁 = 0s ∨ ( -s‘𝑁) ∈ ℕs)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  Nocsur 28027   0_s c0s 28221   -_scnegs 28435  ℕ_0scn0s 28728  ℕ_scnns 28729  ℤ_sczs 28794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-n0s 28730  df-nns 28731  df-zs 28795

This theorem is used by:  elnnzs  28817  elznns  28818