MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnssz 11666
Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnssz ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz
StepHypRef Expression
1 elnnz 11656 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑥))
21simplbi 487 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
32ssriv 3809 1 ℕ ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  wss 3776   class class class wbr 4851  0cc0 10224   < clt 10362  cn 11308  cz 11646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-z 11647
This theorem is referenced by:  nn0ssz  11667  nnz  11668  nnzi  11670  zmin  12006  nnssq  12019  divcnvshft  14812  znnen  15164  nthruc  15204  alzdvds  15268  evennn2n  15298  lcmfnnval  15559  lcmfnncl  15564  pclem  15763  prmreclem1  15840  ftalem5  25023  archiabllem1b  30077  reprsuc  31024  divcnvlin  31945  diophin  37839  hashnzfzclim  39022
  Copyright terms: Public domain W3C validator