Theorem nnssz 12323

Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnssz	⊢ ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11963	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		3mix2 1329	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ))
3		elz 12304	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	ssriv 3929	1 ⊢ ℕ ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 1084   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891  ℝcr 10854  0cc0 10855  -cneg 11189  ℕcn 11956  ℤcz 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-neg 11191  df-nn 11957  df-z 12303

This theorem is referenced by:  nn0ssz  12324  nnz  12325  nnzi  12327  zmin  12666  nnssq  12680  divcnvshft  15548  znnen  15902  nthruc  15942  alzdvds  16010  evennn2n  16041  lcmfnnval  16310  lcmfnncl  16315  pclem  16520  prmreclem1  16598  ftalem5  26207  2sqreunnltblem  26580  archiabllem1b  31425  reprsuc  32574  divcnvlin  33677  diophin  40574  hashnzfzclim  41893