Theorem nnssz 12386

Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnssz	⊢ ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12026	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		3mix2 1331	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ))
3		elz 12367	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	ssriv 3930	1 ⊢ ℕ ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  ℝcr 10916  0cc0 10917  -cneg 11252  ℕcn 12019  ℤcz 12365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-neg 11254  df-nn 12020  df-z 12366

This theorem is referenced by:  nn0ssz  12387  nnz  12388  nnzi  12390  zmin  12730  nnssq  12744  divcnvshft  15612  znnen  15966  nthruc  16006  alzdvds  16074  evennn2n  16105  lcmfnnval  16374  lcmfnncl  16379  pclem  16584  prmreclem1  16662  ftalem5  26271  2sqreunnltblem  26644  archiabllem1b  31491  reprsuc  32640  divcnvlin  33743  diophin  40631  hashnzfzclim  41978