Theorem nnssz 11855

Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnssz	⊢ ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11498	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		3mix2 1324	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ))
3		elz 11836	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	ssriv 3897	1 ⊢ ℕ ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 1079   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3863  ℝcr 10387  0cc0 10388  -cneg 10723  ℕcn 11491  ℤcz 11834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-ov 7024  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-neg 10725  df-nn 11492  df-z 11835

This theorem is referenced by:  nn0ssz  11857  nnz  11858  nnzi  11860  zmin  12198  nnssq  12212  divcnvshft  15048  znnen  15403  nthruc  15443  alzdvds  15508  evennn2n  15538  lcmfnnval  15802  lcmfnncl  15807  pclem  16009  prmreclem1  16086  ftalem5  25341  2sqreunnltblem  25714  archiabllem1b  30464  reprsuc  31508  divcnvlin  32578  dffltz  38793  diophin  38879  hashnzfzclim  40217