Theorem nnssz 12441

Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnssz	⊢ ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12081	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
2		3mix2 1330	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ))
3		elz 12422	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5	4	ssriv 3936	1 ⊢ ℕ ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  ℝcr 10971  0cc0 10972  -cneg 11307  ℕcn 12074  ℤcz 12420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-neg 11309  df-nn 12075  df-z 12421

This theorem is referenced by:  nn0ssz  12442  nnz  12443  nnzi  12445  zmin  12785  nnssq  12799  divcnvshft  15666  znnen  16020  nthruc  16060  alzdvds  16128  evennn2n  16159  lcmfnnval  16426  lcmfnncl  16431  pclem  16636  prmreclem1  16714  ftalem5  26332  2sqreunnltblem  26705  archiabllem1b  31733  reprsuc  32895  divcnvlin  33988  diophin  40864  hashnzfzclim  42269