MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnssz 11600
Description: Positive integers are a subset of integers. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnssz ℕ ⊆ ℤ

Proof of Theorem nnssz
StepHypRef Expression
1 elnnz 11590 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑥))
21simplbi 485 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
32ssriv 3756 1 ℕ ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  wss 3723   class class class wbr 4786  0cc0 10138   < clt 10276  cn 11222  cz 11580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-z 11581
This theorem is referenced by:  nn0ssz  11601  nnz  11602  nnzi  11604  zmin  11988  nnssq  12001  divcnvshft  14790  znnen  15143  nthruc  15183  alzdvds  15247  evennn2n  15279  lcmfnnval  15541  lcmfnncl  15546  pclem  15746  prmreclem1  15823  ftalem5  25020  archiabllem1b  30082  reprsuc  31029  divcnvlin  31952  diophin  37859  hashnzfzclim  39044
  Copyright terms: Public domain W3C validator