MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evennn2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evennn2n 16335
Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn2n (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem evennn2n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2817 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•))
2 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3 2re 12324 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 zre 12600 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
65adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
7 0le2 12352 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค 2)
9 nngt0 12281 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘›))
109adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘›))
11 prodgt0 12099 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 0 < (2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < ๐‘›)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐‘›)
13 elnnz 12606 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘›))
142, 12, 13sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1514ex 411 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
161, 15syl6bir 253 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
1716com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
1817impcom 406 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
1918pm4.71rd 561 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2019bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2120rexbidva 3174 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
22 nnssz 12618 . . 3 โ„• โІ โ„ค
23 rexss 4055 . . 3 (โ„• โІ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2422, 23mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
25 even2n 16326 . . 3 (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
2625a1i 11 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2721, 24, 263bitr4rd 311 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   โІ wss 3949   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„คcz 12596   โˆฅ cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  lighneallem2  46975
  Copyright terms: Public domain W3C validator