Theorem evennn2n 16397

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
3		2re 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ)
5		zre 12583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	5	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
7		0le2 12331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 ≤ 2)
9		nngt0 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
10	9	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < (2 · 𝑛))
11		prodgt0 12050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 0 < (2 · 𝑛))) → 0 < 𝑛)
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 0 < 𝑛)
13		elnnz 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
14	2, 12, 13	sylanbrc 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℕ)
15	14	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ))
16	1, 15	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ)))
17	16	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
18	17	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
19	18	pm4.71rd 571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
20	19	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
21	20	rexbidva 3187	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
22		nnssz 12601	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
23		rexss 4013	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
24	22, 23	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁)))
25		even2n 16388	. . 3 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
26	25	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
27	21, 24, 26	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (2 · 𝑛) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕcn 12221  2c2 12283  ℤcz 12579   ∥ cdvds 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-dvds 16299

This theorem is referenced by:  lighneallem2  48214