MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evennn2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evennn2n 16301
Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
evennn2n (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem evennn2n
StepHypRef Expression
1 eleq1 2815 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•))
2 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3 2re 12290 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 zre 12566 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
65adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
7 0le2 12318 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โ‰ค 2)
9 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘›))
109adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < (2 ยท ๐‘›))
11 prodgt0 12065 . . . . . . . . . . 11 (((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 0 < (2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < ๐‘›)
124, 6, 8, 10, 11syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐‘›)
13 elnnz 12572 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘›))
142, 12, 13sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1514ex 412 . . . . . . . 8 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
161, 15syl6bir 254 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
1716com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
1817impcom 407 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
1918pm4.71rd 562 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2019bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2120rexbidva 3170 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
22 nnssz 12584 . . 3 โ„• โІ โ„ค
23 rexss 4050 . . 3 (โ„• โІ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
2422, 23mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)))
25 even2n 16292 . . 3 (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘)
2625a1i 11 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
2721, 24, 263bitr4rd 312 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• (2 ยท ๐‘›) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  lighneallem2  46843
  Copyright terms: Public domain W3C validator