Theorem nthruc 15597

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 15598 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 11990	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 11980	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 11661	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4039	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ ℕ ⊊ ℤ
7		zssq 12343	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1z 12000	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		2nn 11698	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		znq 12340	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
11	8, 9, 10	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
12		halfnz 12048	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14		ssnelpss 4039	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
15	7, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
16	6, 15	pm3.2i 474	. 2 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17		qssre 12346	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		sqrt2re 15595	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
19		sqrt2irr 15594	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
20	19	neli 3093	. . . . 5 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
21	18, 20	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22		ssnelpss 4039	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
23	17, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ⊊ ℝ
24		ax-resscn 10583	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		ax-icn 10585	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
26		inelr 11615	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
27	25, 26	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28		ssnelpss 4039	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
29	24, 27, 28	mp2 9	. . 3 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
30	23, 29	pm3.2i 474	. 2 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
31	16, 30	pm3.2i 474	1 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℤcz 11969  ℚcq 12336  √csqrt 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587

This theorem is referenced by: (None)