Theorem nthruc 16449

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 16450 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12742	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 12731	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 12401	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4045	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ ℕ ⊊ ℤ
7		zssq 13110	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1z 12753	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		2nn 12443	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		znq 13106	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
12		halfnz 12804	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14		ssnelpss 4045	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
15	7, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
16	6, 15	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17		qssre 13113	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		sqrt2re 16447	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
19		sqrt2irr 16446	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
20	19	neli 3067	. . . . 5 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
21	18, 20	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22		ssnelpss 4045	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
23	17, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ⊊ ℝ
24		ax-resscn 11284	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		ax-icn 11286	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
26		inelr 12337	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
27	25, 26	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28		ssnelpss 4045	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
29	24, 27, 28	mp2 9	. . 3 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
30	23, 29	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
31	16, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  ici 11229   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℤcz 12720  ℚcq 13102  √csqrt 15429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432

This theorem is used by:  numtowerdt  48121