MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruc 15593
Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number i belongs to but not . See nthruz 15594 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 11990 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
2 0z 11980 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 0nnn 11661 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 471 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 4085 . . . 4 (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 ℕ ⊊ ℤ
7 zssq 12343 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
8 1z 12000 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 2nn 11698 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
10 znq 12340 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
118, 9, 10mp2an 688 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℚ
12 halfnz 12048 . . . . 5 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
1311, 12pm3.2i 471 . . . 4 ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14 ssnelpss 4085 . . . 4 (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
157, 13, 14mp2 9 . . 3 ℤ ⊊ ℚ
166, 15pm3.2i 471 . 2 (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17 qssre 12346 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
18 sqrt2re 15591 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
19 sqrt2irr 15590 . . . . . 6 (√‘2) ∉ ℚ
2019neli 3122 . . . . 5 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
2118, 20pm3.2i 471 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22 ssnelpss 4085 . . . 4 (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
2317, 21, 22mp2 9 . . 3 ℚ ⊊ ℝ
24 ax-resscn 10582 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
25 ax-icn 10584 . . . . 5 i ∈ ℂ
26 inelr 11616 . . . . 5 ¬ i ∈ ℝ
2725, 26pm3.2i 471 . . . 4 (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28 ssnelpss 4085 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
2924, 27, 28mp2 9 . . 3 ℝ ⊊ ℂ
3023, 29pm3.2i 471 . 2 (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
3116, 30pm3.2i 471 1 ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wcel 2105  wss 3933  wpss 3934  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  cq 12336  csqrt 14580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator