MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruc 15597
Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number i belongs to but not . See nthruz 15598 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 11994 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
2 0z 11984 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 0nnn 11665 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 471 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 4091 . . . 4 (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 ℕ ⊊ ℤ
7 zssq 12348 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
8 1z 12004 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 2nn 11702 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
10 znq 12344 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
118, 9, 10mp2an 688 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℚ
12 halfnz 12052 . . . . 5 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
1311, 12pm3.2i 471 . . . 4 ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14 ssnelpss 4091 . . . 4 (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
157, 13, 14mp2 9 . . 3 ℤ ⊊ ℚ
166, 15pm3.2i 471 . 2 (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17 qssre 12351 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
18 sqrt2re 15595 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
19 sqrt2irr 15594 . . . . . 6 (√‘2) ∉ ℚ
2019neli 3129 . . . . 5 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
2118, 20pm3.2i 471 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22 ssnelpss 4091 . . . 4 (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
2317, 21, 22mp2 9 . . 3 ℚ ⊊ ℝ
24 ax-resscn 10586 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
25 ax-icn 10588 . . . . 5 i ∈ ℂ
26 inelr 11620 . . . . 5 ¬ i ∈ ℝ
2725, 26pm3.2i 471 . . . 4 (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28 ssnelpss 4091 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
2924, 27, 28mp2 9 . . 3 ℝ ⊊ ℂ
3023, 29pm3.2i 471 . 2 (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
3116, 30pm3.2i 471 1 ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wcel 2106  wss 3939  wpss 3940  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  ici 10531   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  cz 11973  cq 12340  csqrt 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator