Theorem nthruc 16219

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 16220 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12546	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 12535	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 12213	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4055	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ ℕ ⊊ ℤ
7		zssq 12906	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1z 12557	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		2nn 12254	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		znq 12902	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
12		halfnz 12607	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14		ssnelpss 4055	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
15	7, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
16	6, 15	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17		qssre 12909	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		sqrt2re 16217	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
19		sqrt2irr 16216	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
20	19	neli 3039	. . . . 5 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
21	18, 20	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22		ssnelpss 4055	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
23	17, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ⊊ ℝ
24		ax-resscn 11095	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		ax-icn 11097	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
26		inelr 12149	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
27	25, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28		ssnelpss 4055	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
29	24, 27, 28	mp2 9	. . 3 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
30	23, 29	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
31	16, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℚcq 12898  √csqrt 15195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  nthrucw  47314