Theorem nthruc 16181

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 16182 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12514	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 12503	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 12185	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4067	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ ℕ ⊊ ℤ
7		zssq 12873	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1z 12525	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		2nn 12222	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		znq 12869	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
12		halfnz 12574	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14		ssnelpss 4067	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
15	7, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
16	6, 15	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17		qssre 12876	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		sqrt2re 16179	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
19		sqrt2irr 16178	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
20	19	neli 3039	. . . . 5 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
21	18, 20	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22		ssnelpss 4067	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
23	17, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ⊊ ℝ
24		ax-resscn 11087	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		ax-icn 11089	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
26		inelr 12139	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
27	25, 26	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28		ssnelpss 4067	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
29	24, 27, 28	mp2 9	. . 3 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
30	23, 29	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
31	16, 30	pm3.2i 470	1 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  ℤcz 12492  ℚcq 12865  √csqrt 15160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  nthrucw  47166