Theorem nthruc 16387

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 16388 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12684	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 12673	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 12343	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 4062	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ ℕ ⊊ ℤ
7		zssq 13052	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1z 12695	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		2nn 12385	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10		znq 13048	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
12		halfnz 12746	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14		ssnelpss 4062	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
15	7, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ⊊ ℚ
16	6, 15	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17		qssre 13055	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		sqrt2re 16385	. . . . 5 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
19		sqrt2irr 16384	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∉ ℚ
20	19	neli 3063	. . . . 5 ⊢ ¬ (√‘2) ∈ ℚ
21	18, 20	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22		ssnelpss 4062	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
23	17, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℚ ⊊ ℝ
24		ax-resscn 11228	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		ax-icn 11230	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
26		inelr 12279	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
27	25, 26	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28		ssnelpss 4062	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
29	24, 27, 28	mp2 9	. . 3 ⊢ ℝ ⊊ ℂ
30	23, 29	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
31	16, 30	pm3.2i 476	1 ⊢ ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   ⊊ wpss 3899  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172  ici 11173   / cdiv 11942  ℕcn 12304  2c2 12366  ℤcz 12662  ℚcq 13044  √csqrt 15367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370

This theorem is used by:  numtowerdt  47838