MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alzdvds 15670
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 11999 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℤ
2 zcn 11983 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32abscld 14796 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4 arch 11891 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6 ssrexv 4020 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
71, 5, 6mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8 zre 11982 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
9 ltnle 10718 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
103, 8, 9syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1110rexbidva 3288 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12 rexnal 3232 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1311, 12syl6bb 290 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
147, 13mpbid 235 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1514adantl 485 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16 ralim 3157 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17 dvdsleabs 15661 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18173expb 1117 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1918expcom 417 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
2019ralrimiv 3176 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2116, 20syl11 33 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2221expdimp 456 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2315, 22mtod 201 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24 nne 3018 . . . 4 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
2523, 24sylib 221 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
2625expcom 417 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
27 dvds0 15625 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
28 breq2 5056 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑥𝑁𝑥 ∥ 0))
2927, 28syl5ibr 249 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑁))
3029ralrimiv 3176 . 2 (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁)
3126, 30impbid1 228 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5052  cfv 6343  cr 10534  0cc0 10535   < clt 10673  cle 10674  cn 11634  cz 11978  abscabs 14593  cdvds 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator