Theorem alzdvds 16377

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12612	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		zcn 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4		arch 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6		ssrexv 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
7	1, 5, 6	mpsyl 69	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8		zre 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
9		ltnle 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
10	3, 8, 9	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
11	10	rexbidva 3193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12		rexnal 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
14	7, 13	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
15	14	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16		ralim 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17		dvdsleabs 16368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3expb 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
19	18	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
20	19	ralrimiv 3162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
21	16, 20	syl11 34	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
22	21	expdimp 457	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
23	15, 22	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24		nne 2968	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
25	23, 24	sylib 221	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
26	25	expcom 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
27		dvds0 16328	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
28		breq2 5117	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 0))
29	27, 28	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	ralrimiv 3162	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁)
31	26, 30	impbid1 228	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℤcz 12590  abscabs 15284   ∥ cdvds 16309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310

This theorem is referenced by: (None)