Theorem alzdvds 15957

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12270	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		zcn 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	abscld 15076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4		arch 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6		ssrexv 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
7	1, 5, 6	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8		zre 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
9		ltnle 10985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
10	3, 8, 9	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
11	10	rexbidva 3224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12		rexnal 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
13	11, 12	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
14	7, 13	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16		ralim 3082	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17		dvdsleabs 15948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3expb 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
19	18	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
20	19	ralrimiv 3106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
21	16, 20	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
22	21	expdimp 452	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
23	15, 22	mtod 197	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24		nne 2946	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
25	23, 24	sylib 217	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
26	25	expcom 413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
27		dvds0 15909	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
28		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 0))
29	27, 28	syl5ibr 245	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	ralrimiv 3106	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁)
31	26, 30	impbid1 224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℤcz 12249  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by: (None)