MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alzdvds 16136
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 12453 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℤ
2 zcn 12437 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32abscld 15255 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4 arch 12343 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6 ssrexv 4009 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
71, 5, 6mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8 zre 12436 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
9 ltnle 11167 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
103, 8, 9syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1110rexbidva 3171 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12 rexnal 3101 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1311, 12bitrdi 286 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
147, 13mpbid 231 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1514adantl 482 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16 ralim 3087 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17 dvdsleabs 16127 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18173expb 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1918expcom 414 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
2019ralrimiv 3140 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2116, 20syl11 33 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2221expdimp 453 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2315, 22mtod 197 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24 nne 2945 . . . 4 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
2523, 24sylib 217 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
2625expcom 414 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
27 dvds0 16088 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
28 breq2 5107 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑥𝑁𝑥 ∥ 0))
2927, 28syl5ibr 245 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑁))
3029ralrimiv 3140 . 2 (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁)
3126, 30impbid1 224 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3908   class class class wbr 5103  cfv 6491  cr 10983  0cc0 10984   < clt 11122  cle 11123  cn 12086  cz 12432  abscabs 15052  cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator