Theorem alzdvds 15530

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 11814	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		zcn 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	abscld 14657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4		arch 11704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6		ssrexv 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
7	1, 5, 6	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8		zre 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
9		ltnle 10520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
10	3, 8, 9	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
11	10	rexbidva 3241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12		rexnal 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
13	11, 12	syl6bb 279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
14	7, 13	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
15	14	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16		ralim 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17		dvdsleabs 15521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3expb 1100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
19	18	expcom 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
20	19	ralrimiv 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
21	16, 20	syl11 33	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
22	21	expdimp 445	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
23	15, 22	mtod 190	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24		nne 2971	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
25	23, 24	sylib 210	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
26	25	expcom 406	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
27		dvds0 15485	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
28		breq2 4933	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 0))
29	27, 28	syl5ibr 238	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	ralrimiv 3131	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁)
31	26, 30	impbid1 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3829   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  ℝcr 10334  0cc0 10335   < clt 10474   ≤ cle 10475  ℕcn 11439  ℤcz 11793  abscabs 14454   ∥ cdvds 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468

This theorem is referenced by: (None)