MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmfnnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmfnnval 15955
Description: The value of the lcm function for a subset of the positive integers. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmfnnval ((𝑍 ⊆ ℕ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑍,𝑛

Proof of Theorem lcmfnnval
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑍 ⊆ ℕ → 𝑍 ⊆ ℕ)
2 nnssz 11988 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
31, 2sstrdi 3963 . . 3 (𝑍 ⊆ ℕ → 𝑍 ⊆ ℤ)
43adantr 484 . 2 ((𝑍 ⊆ ℕ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑍 ⊆ ℤ)
5 simpr 488 . 2 ((𝑍 ⊆ ℕ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 𝑍 ∈ Fin)
6 0nnn 11659 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
76nelir 3120 . . . 4 0 ∉ ℕ
8 ssel 3945 . . . . 5 (𝑍 ⊆ ℕ → (0 ∈ 𝑍 → 0 ∈ ℕ))
98nelcon3d 3129 . . . 4 (𝑍 ⊆ ℕ → (0 ∉ ℕ → 0 ∉ 𝑍))
107, 9mpi 20 . . 3 (𝑍 ⊆ ℕ → 0 ∉ 𝑍)
1110adantr 484 . 2 ((𝑍 ⊆ ℕ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → 0 ∉ 𝑍)
12 lcmfn0val 15954 . 2 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
134, 5, 11, 12syl3anc 1368 1 ((𝑍 ⊆ ℕ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm𝑍) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3117  wral 3132  {crab 3136  wss 3918   class class class wbr 5047  cfv 6336  Fincfn 8492  infcinf 8889  cr 10521  0cc0 10522   < clt 10660  cn 11623  cz 11967  cdvds 15596  lcmclcmf 15920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-prod 15249  df-dvds 15597  df-lcmf 15922
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator