MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclem 16710
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
Assertion
Ref Expression
pclem ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑛,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑛)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
21ssrab3 4040 . . . 4 𝐴 ⊆ ℕ0
3 nn0ssz 12522 . . . 4 0 ⊆ ℤ
42, 3sstri 3953 . . 3 𝐴 ⊆ ℤ
54a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
6 0nn0 12428 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ ℕ0)
8 eluzelcn 12775 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
109exp0d 14045 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) = 1)
11 1dvds 16153 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1211ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 ∥ 𝑁)
1310, 12eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) ∥ 𝑁)
14 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑃𝑛) = (𝑃↑0))
1514breq1d 5115 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
1615, 1elrab2 3648 . . . 4 (0 ∈ 𝐴 ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
177, 13, 16sylanbrc 583 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ 𝐴)
1817ne0d 4295 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
19 nnssz 12521 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
20 zcn 12504 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2120abscld 15321 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2221ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
23 eluzelre 12774 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
25 eluz2gt1 12845 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
2625adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 < 𝑃)
27 expnbnd 14135 . . . . 5 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1371 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
29 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
30 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑦))
3130breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3231, 1elrab2 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3329, 32sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3433simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∥ 𝑁)
35 eluz2nn 12809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3733simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3836, 37nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
3938nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
40 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ≠ 0)
42 dvdsleabs 16193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4434, 43mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁))
4538nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
4622adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4723ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℝ)
48 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
4948ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5047, 49reexpcld 14068 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
51 lelttr 11245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5245, 46, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5344, 52mpand 693 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5437nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
55 nnz 12520 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5655ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
5725ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 1 < 𝑃)
5847, 54, 56, 57ltexp2d 14154 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5953, 58sylibrd 258 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
6037nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
61 nnre 12160 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6261ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
63 ltle 11243 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6460, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6559, 64syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
6665anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
6766ralrimdva 3151 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6867reximdva 3165 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
6928, 68mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
70 ssrexv 4011 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7119, 69, 70mpsyl 68 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
725, 18, 713jca 1128 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cexp 13967  abscabs 15119  cdvds 16136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137
This theorem is referenced by:  pcprecl  16711  pcprendvds  16712  pcpremul  16715
  Copyright terms: Public domain W3C validator