Theorem nn0ssz 12580

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12472	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12579	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11207	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4789	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4185	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4016	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  0cc0 11109  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558

This theorem is referenced by:  nn0z  12582  nn0zd  12583  nn0zi  12586  nn0ssq  12940  nthruz  16195  oddnn02np1  16290  evennn02n  16292  bitsf1ocnv  16384  pclem  16770  0ram  16952  0ram2  16953  0ramcl  16955  gexex  19720  iscmet3lem3  24806  plyeq0lem  25723  dgrlem  25742  2sqreultblem  26948  archirngz  32330  dffltz  41377  diophrw  41487  diophin  41500  diophun  41501  eq0rabdioph  41504  eqrabdioph  41505  rabdiophlem1  41529  diophren  41541  etransclem48  44988