Theorem nn0ssz 12488

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12379	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12487	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12476	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11103	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4737	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4141	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3981	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4576  0cc0 11003  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466

This theorem is referenced by:  nn0z  12490  nn0zd  12491  nn0zi  12494  nn0ssq  12852  nthruz  16159  oddnn02np1  16256  evennn02n  16258  bitsf1ocnv  16352  pclem  16747  0ram  16929  0ram2  16930  0ramcl  16932  gexex  19763  iscmet3lem3  25215  plyeq0lem  26140  dgrlem  26159  2sqreultblem  27384  archirngz  33153  dffltz  42666  diophrw  42791  diophin  42804  diophun  42805  eq0rabdioph  42808  eqrabdioph  42809  rabdiophlem1  42833  diophren  42845  etransclem48  46319