Theorem nn0ssz 12523

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12414	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12522	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4743	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4145	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3982	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582  0cc0 11038  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  nn0z  12524  nn0zd  12525  nn0zi  12528  nn0ssq  12882  nthruz  16190  oddnn02np1  16287  evennn02n  16289  bitsf1ocnv  16383  pclem  16778  0ram  16960  0ram2  16961  0ramcl  16963  gexex  19794  iscmet3lem3  25258  plyeq0lem  26183  dgrlem  26202  2sqreultblem  27427  archirngz  33282  dffltz  42986  diophrw  43110  diophin  43123  diophun  43124  eq0rabdioph  43127  eqrabdioph  43128  rabdiophlem1  43152  diophren  43164  etransclem48  46634