Theorem nn0ssz 12615

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12506	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12614	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12603	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11201	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4751	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4145	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3984	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4590  0cc0 11101  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593

This theorem is referenced by:  nn0z  12616  nn0zd  12617  nn0zi  12620  nn0ssq  12982  nthruz  16310  oddnn02np1  16407  evennn02n  16409  bitsf1ocnv  16503  pclem  16899  0ram  17081  0ram2  17082  0ramcl  17084  gexex  19924  iscmet3lem3  25430  plyeq0lem  26348  dgrlem  26367  2sqreultblem  27590  archirngz  33487  dffltz  43346  diophrw  43470  diophin  43483  diophun  43484  eq0rabdioph  43487  eqrabdioph  43488  rabdiophlem1  43508  diophren  43520  etransclem48  46976