Theorem nn0ssz 12588

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12479	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12587	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12576	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11170	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4742	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 232	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4143	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3982	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4581  0cc0 11070  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566

This theorem is referenced by:  nn0z  12589  nn0zd  12590  nn0zi  12593  nn0ssq  12955  nthruz  16268  oddnn02np1  16365  evennn02n  16367  bitsf1ocnv  16461  pclem  16857  0ram  17039  0ram2  17040  0ramcl  17042  gexex  19876  iscmet3lem3  25332  plyeq0lem  26250  dgrlem  26269  2sqreultblem  27489  archirngz  33330  dffltz  43180  diophrw  43304  diophin  43317  diophun  43318  eq0rabdioph  43321  eqrabdioph  43322  rabdiophlem1  43342  diophren  43354  etransclem48  46820