Theorem nn0ssz 11995

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11890	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 11994	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 11984	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10627	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4710	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 232	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4159	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3999	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3932   ⊆ wss 3934  {csn 4559  0cc0 10529  ℕcn 11630  ℕ₀cn0 11889  ℤcz 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974

This theorem is referenced by:  nn0z  11997  nn0zi  11999  nn0zd  12077  nn0ssq  12348  nthruz  15598  oddnn02np1  15689  evennn02n  15691  bitsf1ocnv  15785  pclem  16167  0ram  16348  0ram2  16349  0ramcl  16351  gexex  18965  iscmet3lem3  23885  plyeq0lem  24792  dgrlem  24811  2sqreultblem  26016  archirngz  30811  diophrw  39346  diophin  39359  diophun  39360  eq0rabdioph  39363  eqrabdioph  39364  rabdiophlem1  39388  diophren  39400  etransclem48  42557