Theorem nn0ssz 12511

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12402	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12510	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12499	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11126	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4741	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4143	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3980	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  {csn 4580  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489

This theorem is referenced by:  nn0z  12512  nn0zd  12513  nn0zi  12516  nn0ssq  12870  nthruz  16178  oddnn02np1  16275  evennn02n  16277  bitsf1ocnv  16371  pclem  16766  0ram  16948  0ram2  16949  0ramcl  16951  gexex  19782  iscmet3lem3  25246  plyeq0lem  26171  dgrlem  26190  2sqreultblem  27415  archirngz  33271  dffltz  42873  diophrw  42997  diophin  43010  diophun  43011  eq0rabdioph  43014  eqrabdioph  43015  rabdiophlem1  43039  diophren  43051  etransclem48  46522