Theorem nn0ssz 12498

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12389	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12497	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11113	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4736	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4140	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  {csn 4575  0cc0 11013  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476

This theorem is referenced by:  nn0z  12499  nn0zd  12500  nn0zi  12503  nn0ssq  12857  nthruz  16164  oddnn02np1  16261  evennn02n  16263  bitsf1ocnv  16357  pclem  16752  0ram  16934  0ram2  16935  0ramcl  16937  gexex  19767  iscmet3lem3  25218  plyeq0lem  26143  dgrlem  26162  2sqreultblem  27387  archirngz  33165  dffltz  42752  diophrw  42876  diophin  42889  diophun  42890  eq0rabdioph  42893  eqrabdioph  42894  rabdiophlem1  42918  diophren  42930  etransclem48  46404