Theorem nn0ssz 12634

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12525	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12633	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11253	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4790	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4201	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4030	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  nn0z  12636  nn0zd  12637  nn0zi  12640  nn0ssq  12997  nthruz  16286  oddnn02np1  16382  evennn02n  16384  bitsf1ocnv  16478  pclem  16872  0ram  17054  0ram2  17055  0ramcl  17057  gexex  19886  iscmet3lem3  25338  plyeq0lem  26264  dgrlem  26283  2sqreultblem  27507  archirngz  33179  dffltz  42621  diophrw  42747  diophin  42760  diophun  42761  eq0rabdioph  42764  eqrabdioph  42765  rabdiophlem1  42789  diophren  42801  etransclem48  46238