Theorem nn0ssz 12577

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12468	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12576	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12565	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11159	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4733	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 232	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4134	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3973	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2132   ∪ cun 3893   ⊆ wss 3895  {csn 4572  0cc0 11059  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555

This theorem is referenced by:  nn0z  12578  nn0zd  12579  nn0zi  12582  nn0ssq  12944  nthruz  16257  oddnn02np1  16354  evennn02n  16356  bitsf1ocnv  16450  pclem  16846  0ram  17028  0ram2  17029  0ramcl  17031  gexex  19865  iscmet3lem3  25321  plyeq0lem  26239  dgrlem  26258  2sqreultblem  27478  archirngz  33319  dffltz  43154  diophrw  43278  diophin  43291  diophun  43292  eq0rabdioph  43295  eqrabdioph  43296  rabdiophlem1  43316  diophren  43328  etransclem48  46794