Theorem nn0ssz 12547

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12438	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12546	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12535	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4728	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4131	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3968	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  nn0z  12548  nn0zd  12549  nn0zi  12552  nn0ssq  12907  nthruz  16220  oddnn02np1  16317  evennn02n  16319  bitsf1ocnv  16413  pclem  16809  0ram  16991  0ram2  16992  0ramcl  16994  gexex  19828  iscmet3lem3  25257  plyeq0lem  26175  dgrlem  26194  2sqreultblem  27411  archirngz  33250  dffltz  43067  diophrw  43191  diophin  43204  diophun  43205  eq0rabdioph  43208  eqrabdioph  43209  rabdiophlem1  43229  diophren  43241  etransclem48  46710