Theorem nn0ssz 12512

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12403	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12511	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12500	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11128	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4739	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4144	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3984	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579  0cc0 11028  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490

This theorem is referenced by:  nn0z  12514  nn0zd  12515  nn0zi  12518  nn0ssq  12876  nthruz  16180  oddnn02np1  16277  evennn02n  16279  bitsf1ocnv  16373  pclem  16768  0ram  16950  0ram2  16951  0ramcl  16953  gexex  19750  iscmet3lem3  25206  plyeq0lem  26131  dgrlem  26150  2sqreultblem  27375  archirngz  33141  dffltz  42607  diophrw  42732  diophin  42745  diophun  42746  eq0rabdioph  42749  eqrabdioph  42750  rabdiophlem1  42774  diophren  42786  etransclem48  46264