Theorem nn0ssz 12341

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12234	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12340	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12330	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10969	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4719	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4119	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3955	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561  0cc0 10871  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by:  nn0z  12343  nn0zi  12345  nn0zd  12424  nn0ssq  12697  nthruz  15962  oddnn02np1  16057  evennn02n  16059  bitsf1ocnv  16151  pclem  16539  0ram  16721  0ram2  16722  0ramcl  16724  gexex  19454  iscmet3lem3  24454  plyeq0lem  25371  dgrlem  25390  2sqreultblem  26596  archirngz  31443  dffltz  40471  diophrw  40581  diophin  40594  diophun  40595  eq0rabdioph  40598  eqrabdioph  40599  rabdiophlem1  40623  diophren  40635  etransclem48  43823