Theorem nn0ssz 12586

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12478	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12585	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12574	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11213	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4789	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4185	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4016	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  0cc0 11114  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564

This theorem is referenced by:  nn0z  12588  nn0zd  12589  nn0zi  12592  nn0ssq  12946  nthruz  16201  oddnn02np1  16296  evennn02n  16298  bitsf1ocnv  16390  pclem  16776  0ram  16958  0ram2  16959  0ramcl  16961  gexex  19763  iscmet3lem3  25039  plyeq0lem  25960  dgrlem  25979  2sqreultblem  27188  archirngz  32606  dffltz  41679  diophrw  41800  diophin  41813  diophun  41814  eq0rabdioph  41817  eqrabdioph  41818  rabdiophlem1  41842  diophren  41854  etransclem48  45297