MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssz 11978
Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssz 0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz
StepHypRef Expression
1 df-n0 11873 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssz 11977 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
3 0z 11967 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 c0ex 10609 . . . . 5 0 ∈ V
54snss 4690 . . . 4 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
63, 5mpbi 232 . . 3 {0} ⊆ ℤ
72, 6unssi 4136 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
81, 7eqsstri 3976 1 0 ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114  cun 3907  wss 3909  {csn 4539  0cc0 10511  cn 11612  0cn0 11872  cz 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-neg 10847  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957
This theorem is referenced by:  nn0z  11980  nn0zi  11982  nn0zd  12060  nn0ssq  12331  nthruz  15582  oddnn02np1  15673  evennn02n  15675  bitsf1ocnv  15767  pclem  16149  0ram  16330  0ram2  16331  0ramcl  16333  gexex  18948  iscmet3lem3  23869  plyeq0lem  24782  dgrlem  24801  2sqreultblem  26007  archirngz  30822  diophrw  39489  diophin  39502  diophun  39503  eq0rabdioph  39506  eqrabdioph  39507  rabdiophlem1  39531  diophren  39543  etransclem48  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator