MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssz 12617
Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssz 0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz
StepHypRef Expression
1 df-n0 12509 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssz 12616 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
3 0z 12605 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 c0ex 11244 . . . . 5 0 ∈ V
54snss 4792 . . . 4 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
63, 5mpbi 229 . . 3 {0} ⊆ ℤ
72, 6unssi 4185 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
81, 7eqsstri 4014 1 0 ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  cun 3945  wss 3947  {csn 4630  0cc0 11144  cn 12248  0cn0 12508  cz 12594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595
This theorem is referenced by:  nn0z  12619  nn0zd  12620  nn0zi  12623  nn0ssq  12977  nthruz  16235  oddnn02np1  16330  evennn02n  16332  bitsf1ocnv  16424  pclem  16812  0ram  16994  0ram2  16995  0ramcl  16997  gexex  19813  iscmet3lem3  25236  plyeq0lem  26162  dgrlem  26181  2sqreultblem  27399  archirngz  32915  dffltz  42061  diophrw  42182  diophin  42195  diophun  42196  eq0rabdioph  42199  eqrabdioph  42200  rabdiophlem1  42224  diophren  42236  etransclem48  45672
  Copyright terms: Public domain W3C validator