Theorem nn0ssz 12271

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12164	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12270	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12260	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4716	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4115	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3951	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  nn0z  12273  nn0zi  12275  nn0zd  12353  nn0ssq  12626  nthruz  15890  oddnn02np1  15985  evennn02n  15987  bitsf1ocnv  16079  pclem  16467  0ram  16649  0ram2  16650  0ramcl  16652  gexex  19369  iscmet3lem3  24359  plyeq0lem  25276  dgrlem  25295  2sqreultblem  26501  archirngz  31345  dffltz  40387  diophrw  40497  diophin  40510  diophun  40511  eq0rabdioph  40514  eqrabdioph  40515  rabdiophlem1  40539  diophren  40551  etransclem48  43713