Theorem nn0ssz 12582

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12474	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12581	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12570	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11209	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4784	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4180	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4011	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623  0cc0 11109  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560

This theorem is referenced by:  nn0z  12584  nn0zd  12585  nn0zi  12588  nn0ssq  12942  nthruz  16201  oddnn02np1  16296  evennn02n  16298  bitsf1ocnv  16390  pclem  16778  0ram  16960  0ram2  16961  0ramcl  16963  gexex  19771  iscmet3lem3  25169  plyeq0lem  26095  dgrlem  26114  2sqreultblem  27332  archirngz  32839  dffltz  41935  diophrw  42056  diophin  42069  diophun  42070  eq0rabdioph  42073  eqrabdioph  42074  rabdiophlem1  42098  diophren  42110  etransclem48  45551