Theorem nn0ssz 12538

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12429	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12537	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12526	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11129	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4729	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4132	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3969	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  nn0z  12539  nn0zd  12540  nn0zi  12543  nn0ssq  12898  nthruz  16211  oddnn02np1  16308  evennn02n  16310  bitsf1ocnv  16404  pclem  16800  0ram  16982  0ram2  16983  0ramcl  16985  gexex  19819  iscmet3lem3  25267  plyeq0lem  26185  dgrlem  26204  2sqreultblem  27425  archirngz  33265  dffltz  43081  diophrw  43205  diophin  43218  diophun  43219  eq0rabdioph  43222  eqrabdioph  43223  rabdiophlem1  43247  diophren  43259  etransclem48  46728