Theorem nn0ssz 12552

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12443	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12551	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12540	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11168	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4749	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4154	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3993	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  0cc0 11068  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  nn0z  12554  nn0zd  12555  nn0zi  12558  nn0ssq  12916  nthruz  16221  oddnn02np1  16318  evennn02n  16320  bitsf1ocnv  16414  pclem  16809  0ram  16991  0ram2  16992  0ramcl  16994  gexex  19783  iscmet3lem3  25190  plyeq0lem  26115  dgrlem  26134  2sqreultblem  27359  archirngz  33143  dffltz  42622  diophrw  42747  diophin  42760  diophun  42761  eq0rabdioph  42764  eqrabdioph  42765  rabdiophlem1  42789  diophren  42801  etransclem48  46280