Theorem nn0ssz 12638

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12529	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12637	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12626	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11256	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4784	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4190	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4029	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  {csn 4625  0cc0 11156  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is referenced by:  nn0z  12640  nn0zd  12641  nn0zi  12644  nn0ssq  13000  nthruz  16290  oddnn02np1  16386  evennn02n  16388  bitsf1ocnv  16482  pclem  16877  0ram  17059  0ram2  17060  0ramcl  17062  gexex  19872  iscmet3lem3  25325  plyeq0lem  26250  dgrlem  26269  2sqreultblem  27493  archirngz  33197  dffltz  42649  diophrw  42775  diophin  42788  diophun  42789  eq0rabdioph  42792  eqrabdioph  42793  rabdiophlem1  42817  diophren  42829  etransclem48  46302