Theorem nn0ssz 12616

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12507	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12615	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12604	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4766	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4171	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4010	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  {csn 4606  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594

This theorem is referenced by:  nn0z  12618  nn0zd  12619  nn0zi  12622  nn0ssq  12978  nthruz  16276  oddnn02np1  16372  evennn02n  16374  bitsf1ocnv  16468  pclem  16863  0ram  17045  0ram2  17046  0ramcl  17048  gexex  19839  iscmet3lem3  25247  plyeq0lem  26172  dgrlem  26191  2sqreultblem  27416  archirngz  33192  dffltz  42624  diophrw  42749  diophin  42762  diophun  42763  eq0rabdioph  42766  eqrabdioph  42767  rabdiophlem1  42791  diophren  42803  etransclem48  46278