Theorem nn0ssz 11991

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11886	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 11990	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 11980	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4679	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4112	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3949	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525  0cc0 10526  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  nn0z  11993  nn0zi  11995  nn0zd  12073  nn0ssq  12344  nthruz  15598  oddnn02np1  15689  evennn02n  15691  bitsf1ocnv  15783  pclem  16165  0ram  16346  0ram2  16347  0ramcl  16349  gexex  18966  iscmet3lem3  23894  plyeq0lem  24807  dgrlem  24826  2sqreultblem  26032  archirngz  30868  diophrw  39700  diophin  39713  diophun  39714  eq0rabdioph  39717  eqrabdioph  39718  rabdiophlem1  39742  diophren  39754  etransclem48  42924