Theorem nn0ssz 12719

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12610	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12718	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12707	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4741	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4189	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3954	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4584  0cc0 11203  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697

This theorem is used by:  nn0z  12720  nn0zd  12721  nn0zi  12724  nn0ssq  13087  nthruz  16426  oddnn02np1  16523  evennn02n  16525  bitsf1ocnv  16619  pclem  17021  0ram  17203  0ram2  17204  0ramcl  17206  gexex  20072  iscmet3lem3  25616  plyeq0lem  26534  dgrlem  26553  2sqreultblem  27780  archirngz  33796  dffltz  43763  diophrw  43863  diophin  43876  diophun  43877  eq0rabdioph  43880  eqrabdioph  43881  rabdiophlem1  43901  diophren  43913  etransclem48  47385