Theorem nn0ssz 12605

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12496	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12604	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12593	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11188	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4146	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3985	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585  0cc0 11088  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583

This theorem is referenced by:  nn0z  12606  nn0zd  12607  nn0zi  12610  nn0ssq  12972  nthruz  16299  oddnn02np1  16396  evennn02n  16398  bitsf1ocnv  16492  pclem  16888  0ram  17070  0ram2  17071  0ramcl  17073  gexex  19914  iscmet3lem3  25410  plyeq0lem  26328  dgrlem  26347  2sqreultblem  27570  archirngz  33422  dffltz  43228  diophrw  43352  diophin  43365  diophun  43366  eq0rabdioph  43369  eqrabdioph  43370  rabdiophlem1  43390  diophren  43402  etransclem48  46854