Theorem nn0ssz 12743

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12634	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12742	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12731	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11327	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4745	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4192	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3959	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721

This theorem is used by:  nn0z  12744  nn0zd  12745  nn0zi  12748  nn0ssq  13111  nthruz  16450  oddnn02np1  16547  evennn02n  16549  bitsf1ocnv  16643  pclem  17045  0ram  17227  0ram2  17228  0ramcl  17230  gexex  20097  iscmet3lem3  25641  plyeq0lem  26559  dgrlem  26578  2sqreultblem  27805  archirngz  33820  dffltz  43863  diophrw  43963  diophin  43976  diophun  43977  eq0rabdioph  43980  eqrabdioph  43981  rabdiophlem1  44001  diophren  44013  etransclem48  47497