Theorem nn0ssz 12697

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12588	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12696	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12685	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11281	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4745	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4137	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  0cc0 11181  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675

This theorem is used by:  nn0z  12698  nn0zd  12699  nn0zi  12702  nn0ssq  13065  nthruz  16401  oddnn02np1  16498  evennn02n  16500  bitsf1ocnv  16594  pclem  16996  0ram  17178  0ram2  17179  0ramcl  17181  gexex  20047  iscmet3lem3  25591  plyeq0lem  26509  dgrlem  26528  2sqreultblem  27757  archirngz  33732  dffltz  43624  diophrw  43723  diophin  43736  diophun  43737  eq0rabdioph  43740  eqrabdioph  43741  rabdiophlem1  43761  diophren  43773  etransclem48  47236