Theorem nn0ssz 12545

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12436	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12544	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12533	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4723	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 231	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4127	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3968	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  0cc0 11036  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523

This theorem is referenced by:  nn0z  12546  nn0zd  12547  nn0zi  12550  nn0ssq  12905  nthruz  16218  oddnn02np1  16315  evennn02n  16317  bitsf1ocnv  16411  pclem  16807  0ram  16989  0ram2  16990  0ramcl  16992  gexex  19826  iscmet3lem3  25282  plyeq0lem  26200  dgrlem  26219  2sqreultblem  27436  archirngz  33277  dffltz  43091  diophrw  43215  diophin  43228  diophun  43229  eq0rabdioph  43232  eqrabdioph  43233  rabdiophlem1  43253  diophren  43265  etransclem48  46732