Theorem nn0ssz 12642

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12533	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12641	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 12630	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4748	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4140	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3980	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587  0cc0 11128  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620

This theorem is used by:  nn0z  12643  nn0zd  12644  nn0zi  12647  nn0ssq  13010  nthruz  16347  oddnn02np1  16444  evennn02n  16446  bitsf1ocnv  16540  pclem  16936  0ram  17118  0ram2  17119  0ramcl  17121  gexex  19986  iscmet3lem3  25524  plyeq0lem  26443  dgrlem  26462  2sqreultblem  27692  archirngz  33637  dffltz  43488  diophrw  43612  diophin  43625  diophun  43626  eq0rabdioph  43629  eqrabdioph  43630  rabdiophlem1  43650  diophren  43662  etransclem48  47118