MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssz 12529
Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssz 0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz
StepHypRef Expression
1 df-n0 12421 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssz 12528 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
3 0z 12517 . . . 4 0 ∈ ℤ
4 c0ex 11156 . . . . 5 0 ∈ V
54snss 4751 . . . 4 (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
63, 5mpbi 229 . . 3 {0} ⊆ ℤ
72, 6unssi 4150 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
81, 7eqsstri 3983 1 0 ⊆ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  cun 3913  wss 3915  {csn 4591  0cc0 11058  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507
This theorem is referenced by:  nn0z  12531  nn0zd  12532  nn0zi  12535  nn0ssq  12889  nthruz  16142  oddnn02np1  16237  evennn02n  16239  bitsf1ocnv  16331  pclem  16717  0ram  16899  0ram2  16900  0ramcl  16902  gexex  19638  iscmet3lem3  24670  plyeq0lem  25587  dgrlem  25606  2sqreultblem  26812  archirngz  32067  dffltz  41001  diophrw  41111  diophin  41124  diophun  41125  eq0rabdioph  41128  eqrabdioph  41129  rabdiophlem1  41153  diophren  41165  etransclem48  44597
  Copyright terms: Public domain W3C validator