Theorem qus0g 33422

Description: The identity element of a quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
qus0g.1	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
qus0g	⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝑄) = 𝑁)

Proof of Theorem qus0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3		nsgsubg 19172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19145	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	grpidcl 18979	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	quslsm 33420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
9		qus0g.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10	9, 5	qus0 19203	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
11	5, 2	lsm02 19686	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝑄) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4624  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  [cec 8739  Basecbs 17243  0_gc0g 17480   /_s cqus 17546  Grpcgrp 18947  SubGrpcsubg 19134  NrmSGrpcnsg 19135   ~_QG cqg 19136  LSSumclsm 19648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-ec 8743  df-qs 8747  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-0g 17482  df-imas 17549  df-qus 17550  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-oppg 19360  df-lsm 19650

This theorem is referenced by:  qsdrnglem2  33511