Theorem qus0g 33420

Description: The identity element of a quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
qus0g.1	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
qus0g	⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝑄) = 𝑁)

Proof of Theorem qus0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3		nsgsubg 19218	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		subgrcl 19191	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	grpidcl 19025	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2, 3, 7	quslsm 33418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
9		qus0g.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
10	9, 5	qus0 19249	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
11	5, 2	lsm02 19734	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
13	8, 10, 12	3eqtr3d 2788	1 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (0g‘𝑄) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ‘cfv 6576  (class class class)co 7451  [cec 8764  Basecbs 17278  0_gc0g 17519   /_s cqus 17585  Grpcgrp 18993  SubGrpcsubg 19180  NrmSGrpcnsg 19181   ~_QG cqg 19182  LSSumclsm 19696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4933  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-tpos 8270  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-1o 8525  df-er 8766  df-ec 8768  df-qs 8772  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-fin 9010  df-sup 9514  df-inf 9515  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-7 12366  df-8 12367  df-9 12368  df-n0 12559  df-z 12646  df-dec 12766  df-uz 12911  df-fz 13579  df-struct 17214  df-sets 17231  df-slot 17249  df-ndx 17261  df-base 17279  df-ress 17308  df-plusg 17344  df-mulr 17345  df-sca 17347  df-vsca 17348  df-ip 17349  df-tset 17350  df-ple 17351  df-ds 17353  df-0g 17521  df-imas 17588  df-qus 17589  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18839  df-grp 18996  df-minusg 18997  df-subg 19183  df-nsg 19184  df-eqg 19185  df-oppg 19406  df-lsm 19698

This theorem is referenced by:  qsdrnglem2  33509