MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgrpsimpgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgrpsimpgd 20073
Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgrpsimpgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
Assertion
Ref Expression
prmgrpsimpgd (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmgrpsimpgd.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2725 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 prmgrpsimpgd.2 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 fveq2 6890 . . . . . 6 ({(0g𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘𝐵))
54adantl 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘𝐵))
62fvexi 6904 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
7 hashsng 14358 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
95, 8eqtr3d 2767 . . . 4 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10 prmgrpsimpgd.3 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
1110adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
129, 11eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13 1nprm 16647 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
1512, 14pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ {(0g𝐺)} = 𝐵)
16 nsgsubg 19115 . . 3 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2725 . . . . . . . 8 (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
181fvexi 6904 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ V)
20 prmnn 16642 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2110, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2221nnnn0d 12560 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23 hashvnfin 14349 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
2419, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
2517, 24mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2625ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
271subgss 19084 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝐵)
2827ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥𝐵)
29 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
3026, 28, 29phphashrd 14458 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
3130olcd 872 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
332subg0cl 19091 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
3433ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
35 vex 3467 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
3732, 34, 36hash1elsn 14360 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g𝐺)})
3837orcd 871 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
391lagsubg 19152 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4025, 39sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4140ancoms 457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4210adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
4325adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
4427adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥𝐵)
4543, 44ssfid 9288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46 hashcl 14345 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
4833adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
4935a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
5048, 49hashelne0d 14357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5150neqned 2937 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52 elnnne0 12514 . . . . . . 7 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
5347, 51, 52sylanbrc 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54 dvdsprime 16655 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
5542, 53, 54syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
5641, 55mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
5731, 38, 56mpjaodan 956 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
5816, 57sylan2 591 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
591, 2, 3, 15, 582nsgsimpgd 20061 1 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  Vcvv 3463  wss 3939  {csn 4622   class class class wbr 5141  cfv 6541  Fincfn 8960  0cc0 11136  1c1 11137  cn 12240  0cn0 12500  chash 14319  cdvds 16228  cprime 16639  Basecbs 17177  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  SubGrpcsubg 19077  NrmSGrpcnsg 19078  SimpGrpcsimpg 20049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-dvds 16229  df-prm 16640  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-nsg 19081  df-eqg 19082  df-simpg 20050
This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20075  prmsimpcyc  32952
  Copyright terms: Public domain W3C validator