Theorem prmgrpsimpgd 20128

Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgrpsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
prmgrpsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgrpsimpgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2752	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		prmgrpsimpgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		fveq2 6852	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
5	4	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
6	2	fvexi 6866	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
7		hashsng 14368	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
9	5, 8	eqtr3d 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10		prmgrpsimpgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
11	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
12	9, 11	eqeltrrd 2853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13		1nprm 16685	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
15	12, 14	pm2.65da 824	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ {(0g‘𝐺)} = 𝐵)
16		nsgsubg 19171	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
18	1	fvexi 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		prmnn 16680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23		hashvnfin 14359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
24	19, 22, 23	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
25	17, 24	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
27	1	subgss 19141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
28	27	ad2antlr 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
29		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
30	26, 28, 29	phphashrd 14466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
31	30	olcd 883	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
33	2	subg0cl 19148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
34	33	ad2antlr 735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
35		vex 3448	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
37	32, 34, 36	hash1elsn 14370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
38	37	orcd 882	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
39	1	lagsubg 19208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
40	25, 39	sylan2 601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
41	40	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
42	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
43	25	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
44	27	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	ssfid 9198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46		hashcl 14355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
48	33	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
49	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
50	48, 49	hashelne0d 14367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
51	50	neqned 2954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52		elnnne0 12481	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
53	47, 51, 52	sylanbrc 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54		dvdsprime 16693	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
55	42, 53, 54	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
56	41, 55	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
57	31, 38, 56	mpjaodan 969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
58	16, 57	sylan2 601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
59	1, 2, 3, 15, 58	2nsgsimpgd 20116	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895  {csn 4572   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  Fincfn 8912  0cc0 11059  1c1 11060  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ♯chash 14329   ∥ cdvds 16258  ℙcprime 16677  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  Grpcgrp 18947  SubGrpcsubg 19134  NrmSGrpcnsg 19135  SimpGrpcsimpg 20104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5058  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-sum 15686  df-dvds 16259  df-prm 16678  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-simpg 20105

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20130  prmsimpcyc  33358