Theorem prmgrpsimpgd 20148

Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgrpsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
prmgrpsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgrpsimpgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		prmgrpsimpgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
6	2	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
7		hashsng 14404	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
9	5, 8	eqtr3d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10		prmgrpsimpgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
12	9, 11	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13		1nprm 16712	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
15	12, 14	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ {(0g‘𝐺)} = 𝐵)
16		nsgsubg 19188	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
18	1	fvexi 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		prmnn 16707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23		hashvnfin 14395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
25	17, 24	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
27	1	subgss 19157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
28	27	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
30	26, 28, 29	phphashrd 14502	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
31	30	olcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
33	2	subg0cl 19164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
34	33	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
35		vex 3481	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
37	32, 34, 36	hash1elsn 14406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
38	37	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
39	1	lagsubg 19225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
40	25, 39	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
41	40	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
42	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
43	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
44	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	ssfid 9298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46		hashcl 14391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
48	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
49	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
50	48, 49	hashelne0d 14403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
51	50	neqned 2944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52		elnnne0 12537	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
53	47, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54		dvdsprime 16720	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
55	42, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
56	41, 55	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
57	31, 38, 56	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
58	16, 57	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
59	1, 2, 3, 15, 58	2nsgsimpgd 20136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ♯chash 14365   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16704  Basecbs 17244  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18963  SubGrpcsubg 19150  NrmSGrpcnsg 19151  SimpGrpcsimpg 20124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-prm 16705  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-simpg 20125

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20150  prmsimpcyc  33216