Theorem prmgrpsimpgd 20097

Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgrpsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
prmgrpsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgrpsimpgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		prmgrpsimpgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
6	2	fvexi 6890	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
7		hashsng 14387	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
9	5, 8	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10		prmgrpsimpgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
12	9, 11	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13		1nprm 16698	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
15	12, 14	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ {(0g‘𝐺)} = 𝐵)
16		nsgsubg 19141	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
18	1	fvexi 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		prmnn 16693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23		hashvnfin 14378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
25	17, 24	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
27	1	subgss 19110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
28	27	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
30	26, 28, 29	phphashrd 14485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
31	30	olcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
33	2	subg0cl 19117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
34	33	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
35		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
37	32, 34, 36	hash1elsn 14389	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
38	37	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
39	1	lagsubg 19178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
40	25, 39	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
41	40	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
42	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
43	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
44	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	ssfid 9273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46		hashcl 14374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
48	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
49	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
50	48, 49	hashelne0d 14386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
51	50	neqned 2939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52		elnnne0 12515	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
53	47, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54		dvdsprime 16706	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
55	42, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
56	41, 55	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
57	31, 38, 56	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
58	16, 57	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
59	1, 2, 3, 15, 58	2nsgsimpgd 20085	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  SubGrpcsubg 19103  NrmSGrpcnsg 19104  SimpGrpcsimpg 20073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-dvds 16273  df-prm 16691  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-simpg 20074

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20099  prmsimpcyc  33225