Theorem prmgrpsimpgd 19983

Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgrpsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
prmgrpsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgrpsimpgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		prmgrpsimpgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
6	2	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
7		hashsng 14328	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
9	5, 8	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10		prmgrpsimpgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
12	9, 11	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13		1nprm 16615	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
15	12, 14	pm2.65da 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ {(0g‘𝐺)} = 𝐵)
16		nsgsubg 19037	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
18	1	fvexi 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		prmnn 16610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23		hashvnfin 14319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
25	17, 24	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
27	1	subgss 19006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
28	27	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
30	26, 28, 29	phphashrd 14427	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
31	30	olcd 872	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
33	2	subg0cl 19013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
34	33	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
35		vex 3478	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
37	32, 34, 36	hash1elsn 14330	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
38	37	orcd 871	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
39	1	lagsubg 19071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
40	25, 39	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
41	40	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
42	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
43	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
44	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	ssfid 9266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46		hashcl 14315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
48	33	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
49	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
50	48, 49	hashelne0d 14327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
51	50	neqned 2947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52		elnnne0 12485	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
53	47, 51, 52	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54		dvdsprime 16623	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
55	42, 53, 54	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
56	41, 55	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
57	31, 38, 56	mpjaodan 957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
58	16, 57	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
59	1, 2, 3, 15, 58	2nsgsimpgd 19971	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  0cc0 11109  1c1 11110  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ♯chash 14289   ∥ cdvds 16196  ℙcprime 16607  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  NrmSGrpcnsg 19000  SimpGrpcsimpg 19959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-prm 16608  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-simpg 19960

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  19985  prmsimpcyc  32368