MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgrpsimpgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgrpsimpgd 20036
Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgrpsimpgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
Assertion
Ref Expression
prmgrpsimpgd (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmgrpsimpgd.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2726 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 prmgrpsimpgd.2 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 fveq2 6885 . . . . . 6 ({(0g𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘𝐵))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g𝐺)}) = (♯‘𝐵))
62fvexi 6899 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
7 hashsng 14334 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
86, 7mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
95, 8eqtr3d 2768 . . . 4 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10 prmgrpsimpgd.3 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
129, 11eqeltrrd 2828 . . 3 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13 1nprm 16623 . . . 4 ¬ 1 ∈ ℙ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ {(0g𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
1512, 14pm2.65da 814 . 2 (𝜑 → ¬ {(0g𝐺)} = 𝐵)
16 nsgsubg 19085 . . 3 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2726 . . . . . . . 8 (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
181fvexi 6899 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ V)
20 prmnn 16618 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2110, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
2221nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23 hashvnfin 14325 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
2419, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
2517, 24mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
2625ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
271subgss 19054 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝐵)
2827ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥𝐵)
29 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
3026, 28, 29phphashrd 14434 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
3130olcd 871 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
332subg0cl 19061 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
3433ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
35 vex 3472 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
3732, 34, 36hash1elsn 14336 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g𝐺)})
3837orcd 870 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
391lagsubg 19121 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4025, 39sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4140ancoms 458 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
4210adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
4325adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
4427adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥𝐵)
4543, 44ssfid 9269 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46 hashcl 14321 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
4833adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g𝐺) ∈ 𝑥)
4935a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
5048, 49hashelne0d 14333 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
5150neqned 2941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52 elnnne0 12490 . . . . . . 7 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
5347, 51, 52sylanbrc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54 dvdsprime 16631 . . . . . 6 (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
5542, 53, 54syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
5641, 55mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
5731, 38, 56mpjaodan 955 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
5816, 57sylan2 592 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
591, 2, 3, 15, 582nsgsimpgd 20024 1 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  Vcvv 3468  wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  cfv 6537  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113  cn 12216  0cn0 12476  chash 14295  cdvds 16204  cprime 16615  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  NrmSGrpcnsg 19048  SimpGrpcsimpg 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-simpg 20013
This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20038  prmsimpcyc  32879
  Copyright terms: Public domain W3C validator