Theorem prmgrpsimpgd 20050

Description: A group of prime order is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgrpsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
prmgrpsimpgd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
prmgrpsimpgd.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
prmgrpsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Proof of Theorem prmgrpsimpgd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgrpsimpgd.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		prmgrpsimpgd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ ({(0g‘𝐺)} = 𝐵 → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = (♯‘𝐵))
6	2	fvexi 6849	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
7		hashsng 14297	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
8	6, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘{(0g‘𝐺)}) = 1)
9	5, 8	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) = 1)
10		prmgrpsimpgd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
12	9, 11	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → 1 ∈ ℙ)
13		1nprm 16611	. . . 4 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ {(0g‘𝐺)} = 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℙ)
15	12, 14	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ {(0g‘𝐺)} = 𝐵)
16		nsgsubg 19092	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘𝐵)
18	1	fvexi 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		prmnn 16606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℙ → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
23		hashvnfin 14288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
24	19, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐵) = (♯‘𝐵) → 𝐵 ∈ Fin))
25	17, 24	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
27	1	subgss 19062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
28	27	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵))
30	26, 28, 29	phphashrd 14395	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → 𝑥 = 𝐵)
31	30	olcd 875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐵)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (♯‘𝑥) = 1)
33	2	subg0cl 19069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
34	33	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
35		vex 3445	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 ∈ V)
37	32, 34, 36	hash1elsn 14299	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → 𝑥 = {(0g‘𝐺)})
38	37	orcd 874	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑥) = 1) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
39	1	lagsubg 19129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
40	25, 39	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
41	40	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵))
42	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝐵) ∈ ℙ)
43	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐵 ∈ Fin)
44	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
45	43, 44	ssfid 9174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ Fin)
46		hashcl 14284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
48	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑥)
49	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ V)
50	48, 49	hashelne0d 14296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ¬ (♯‘𝑥) = 0)
51	50	neqned 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ≠ 0)
52		elnnne0 12420	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ≠ 0))
53	47, 51, 52	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
54		dvdsprime 16619	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
55	42, 53, 54	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) ∥ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1)))
56	41, 55	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐵) ∨ (♯‘𝑥) = 1))
57	31, 38, 56	mpjaodan 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
58	16, 57	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = {(0g‘𝐺)} ∨ 𝑥 = 𝐵))
59	1, 2, 3, 15, 58	2nsgsimpgd 20038	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  Fincfn 8888  0cc0 11031  1c1 11032  ℕcn 12150  ℕ₀cn0 12406  ♯chash 14258   ∥ cdvds 16184  ℙcprime 16603  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  SubGrpcsubg 19055  NrmSGrpcnsg 19056  SimpGrpcsimpg 20026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-sum 15615  df-dvds 16185  df-prm 16604  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-eqg 19060  df-simpg 20027

This theorem is referenced by:  ablsimpgd  20052  prmsimpcyc  33314