Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqus0 31120
 Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgqus0.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
Assertion
Ref Expression
nsgqus0 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2 nsgsubg 18382 . . 3 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2758 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2758 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsm02 18870 . . 3 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
61, 2, 53syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7 nsgqus0.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
87, 3qus0 18410 . . . . 5 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
98adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
10 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
112adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 subgrcl 18356 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
132, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1413adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
1510, 3grpidcl 18203 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1710, 4, 11, 16quslsm 31118 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
189, 17eqtr3d 2795 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
2019subg0cl 18359 . . . 4 (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2120adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2218, 21eqeltrrd 2853 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
236, 22eqeltrrd 2853 1 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  [cec 8302  Basecbs 16546  0gc0g 16776   /s cqus 16841  Grpcgrp 18174  SubGrpcsubg 18345  NrmSGrpcnsg 18346   ~QG cqg 18347  LSSumclsm 18831 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-0g 16778  df-imas 16844  df-qus 16845  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-subg 18348  df-nsg 18349  df-eqg 18350  df-oppg 18546  df-lsm 18833 This theorem is referenced by:  nsgmgclem  31121  nsgmgc  31122  nsgqusf1olem2  31124  nsgqusf1olem3  31125
 Copyright terms: Public domain W3C validator