Theorem nsgqus0 33490

Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgqus0.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
nsgqus0	⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		nsgsubg 19122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsm02 19636	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
6	1, 2, 5	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7		nsgqus0.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
8	7, 3	qus0 19153	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		subgrcl 19096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
15	10, 3	grpidcl 18930	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
17	10, 4, 11, 16	quslsm 33485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
18	9, 17	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
20	19	subg0cl 19099	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
22	18, 21	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
23	6, 22	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  [cec 8632  Basecbs 17168  0_gc0g 17391   /_s cqus 17458  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085  NrmSGrpcnsg 19086   ~_QG cqg 19087  LSSumclsm 19598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-0g 17393  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-oppg 19310  df-lsm 19600

This theorem is referenced by:  nsgmgclem  33491  nsgmgc  33492  nsgqusf1olem2  33494  nsgqusf1olem3  33495