Theorem nsgqus0 33439

Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgqus0.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
nsgqus0	⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		nsgsubg 19177	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsm02 19691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
6	1, 2, 5	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7		nsgqus0.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
8	7, 3	qus0 19208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		subgrcl 19150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
15	10, 3	grpidcl 18984	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
17	10, 4, 11, 16	quslsm 33434	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
18	9, 17	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
20	19	subg0cl 19153	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
22	18, 21	eqeltrrd 2841	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
23	6, 22	eqeltrrd 2841	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  Basecbs 17248  0_gc0g 17485   /_s cqus 17551  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  NrmSGrpcnsg 19140   ~_QG cqg 19141  LSSumclsm 19653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-oppg 19365  df-lsm 19655

This theorem is referenced by:  nsgmgclem  33440  nsgmgc  33441  nsgqusf1olem2  33443  nsgqusf1olem3  33444