Theorem nsgqus0 31497

Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgqus0.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
nsgqus0	⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		nsgsubg 18701	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsm02 19193	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
6	1, 2, 5	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7		nsgqus0.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
8	7, 3	qus0 18729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		subgrcl 18675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
13	2, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
15	10, 3	grpidcl 18522	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
17	10, 4, 11, 16	quslsm 31495	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
18	9, 17	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
20	19	subg0cl 18678	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
22	18, 21	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
23	6, 22	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  [cec 8454  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   /_s cqus 17133  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  NrmSGrpcnsg 18665   ~_QG cqg 18666  LSSumclsm 19154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-nsg 18668  df-eqg 18669  df-oppg 18865  df-lsm 19156

This theorem is referenced by:  nsgmgclem  31498  nsgmgc  31499  nsgqusf1olem2  31501  nsgqusf1olem3  31502