Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqus0 33145
Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgqus0.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
Assertion
Ref Expression
nsgqus0 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2 nsgsubg 19120 . . 3 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2728 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2728 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsm02 19634 . . 3 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
61, 2, 53syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7 nsgqus0.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
87, 3qus0 19151 . . . . 5 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
98adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
10 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
112adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 subgrcl 19093 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
132, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1413adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
1510, 3grpidcl 18929 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1710, 4, 11, 16quslsm 33140 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
189, 17eqtr3d 2770 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19 eqid 2728 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
2019subg0cl 19096 . . . 4 (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2120adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2218, 21eqeltrrd 2830 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
236, 22eqeltrrd 2830 1 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7426  [cec 8729  Basecbs 17187  0gc0g 17428   /s cqus 17494  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  NrmSGrpcnsg 19083   ~QG cqg 19084  LSSumclsm 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-oppg 19304  df-lsm 19598
This theorem is referenced by:  nsgmgclem  33146  nsgmgc  33147  nsgqusf1olem2  33149  nsgqusf1olem3  33150
  Copyright terms: Public domain W3C validator