Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqus0 33418
Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgqus0.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
Assertion
Ref Expression
nsgqus0 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2 nsgsubg 19189 . . 3 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2735 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2735 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsm02 19705 . . 3 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
61, 2, 53syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7 nsgqus0.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
87, 3qus0 19220 . . . . 5 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
98adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
10 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
112adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 subgrcl 19162 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
132, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
1510, 3grpidcl 18996 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1710, 4, 11, 16quslsm 33413 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
189, 17eqtr3d 2777 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
2019subg0cl 19165 . . . 4 (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2120adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2218, 21eqeltrrd 2840 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
236, 22eqeltrrd 2840 1 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  Basecbs 17245  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-oppg 19377  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  nsgmgclem  33419  nsgmgc  33420  nsgqusf1olem2  33422  nsgqusf1olem3  33423
  Copyright terms: Public domain W3C validator