Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgqus0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgqus0 32236
Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
nsgqus0.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
Assertion
Ref Expression
nsgqus0 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2 nsgsubg 18965 . . 3 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2733 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2733 . . . 4 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsm02 19459 . . 3 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
61, 2, 53syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7 nsgqus0.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
87, 3qus0 18993 . . . . 5 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
98adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g𝑄))
10 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
112adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 subgrcl 18938 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
132, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1413adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
1510, 3grpidcl 18783 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1710, 4, 11, 16quslsm 32234 . . . 4 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
189, 17eqtr3d 2775 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) = ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19 eqid 2733 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
2019subg0cl 18941 . . . 4 (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2120adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g𝑄) ∈ 𝐹)
2218, 21eqeltrrd 2835 . 2 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
236, 22eqeltrrd 2835 1 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4587  cfv 6497  (class class class)co 7358  [cec 8649  Basecbs 17088  0gc0g 17326   /s cqus 17392  Grpcgrp 18753  SubGrpcsubg 18927  NrmSGrpcnsg 18928   ~QG cqg 18929  LSSumclsm 19421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ec 8653  df-qs 8657  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-imas 17395  df-qus 17396  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-subg 18930  df-nsg 18931  df-eqg 18932  df-oppg 19129  df-lsm 19423
This theorem is referenced by:  nsgmgclem  32237  nsgmgc  32238  nsgqusf1olem2  32240  nsgqusf1olem3  32241
  Copyright terms: Public domain W3C validator