Theorem nsgqus0 33719

Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgqus0.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
nsgqus0	⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		nsgsubg 19219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsm02 19737	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
6	1, 2, 5	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7		nsgqus0.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
8	7, 3	qus0 19255	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		subgrcl 19192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
13	2, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	13	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
15	10, 3	grpidcl 19027	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
17	10, 4, 11, 16	quslsm 33714	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
18	9, 17	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
20	19	subg0cl 19195	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
21	20	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
22	18, 21	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
23	6, 22	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688  Basecbs 17264  0_gc0g 17487   /_s cqus 17554  Grpcgrp 18995  SubGrpcsubg 19181  NrmSGrpcnsg 19182   ~_QG cqg 19183  LSSumclsm 19699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-eqg 19186  df-oppg 19411  df-lsm 19701

This theorem is referenced by:  nsgmgclem  33720  nsgmgc  33721  nsgqusf1olem2  33723  nsgqusf1olem3  33724