Theorem nsgqus0 33961

Description: A normal subgroup 𝑁 is a member of all subgroups 𝐹 of the quotient group by 𝑁. In fact, it is the identity element of the quotient group. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgqus0.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
nsgqus0	⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem nsgqus0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
2		nsgsubg 19368	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
5	3, 4	lsm02 19886	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
6	1, 2, 5	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) = 𝑁)
7		nsgqus0.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
8	7, 3	qus0 19404	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = (0g‘𝑄))
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		subgrcl 19341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
13	2, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝐺 ∈ Grp)
15	10, 3	grpidcl 19176	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
17	10, 4, 11, 16	quslsm 33956	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → [(0g‘𝐺)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
18	9, 17	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) = ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁))
19		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
20	19	subg0cl 19344	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
21	20	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → (0g‘𝑄) ∈ 𝐹)
22	18, 21	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → ({(0g‘𝐺)} (LSSum‘𝐺)𝑁) ∈ 𝐹)
23	6, 22	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   /_s cqus 17677  Grpcgrp 19144  SubGrpcsubg 19330  NrmSGrpcnsg 19331   ~_QG cqg 19332  LSSumclsm 19848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-oppg 19560  df-lsm 19850

This theorem is used by:  nsgmgclem  33962  nsgmgc  33963  nsgqusf1olem2  33965  nsgqusf1olem3  33966