Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmquskerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmquskerlem 33185
Description: The mapping 𝐽 induced by a ring homomorphism 𝐹 from the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0gβ€˜π»)
rhmqusker.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (◑𝐹 β€œ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmquskerlem.j 𝐽 = (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ π‘ž))
rhmquskerlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
rhmquskerlem (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘ž   𝐺,π‘ž   𝐻,π‘ž   𝐽,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑄,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   0 (π‘ž)

Proof of Theorem rhmquskerlem
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
2 eqid 2725 . 2 (1rβ€˜π‘„) = (1rβ€˜π‘„)
3 eqid 2725 . 2 (1rβ€˜π») = (1rβ€˜π»)
4 eqid 2725 . 2 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
5 eqid 2725 . 2 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
6 rhmqusker.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
7 rhmrcl1 20414 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Ring)
9 rhmqusker.k . . . . . 6 𝐾 = (◑𝐹 β€œ { 0 })
10 eqid 2725 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜πΊ) = (LIdealβ€˜πΊ)
11 rhmqusker.1 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π»)
1210, 11kerlidl 33179 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
136, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
149, 13eqeltrid 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
15 rhmquskerlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CRing)
1610crng2idl 21172 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CRing β†’ (LIdealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ))
1814, 17eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (2Idealβ€˜πΊ))
19 rhmqusker.q . . . . 5 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
20 eqid 2725 . . . . 5 (2Idealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ)
21 eqid 2725 . . . . 5 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
2219, 20, 21qus1 21167 . . . 4 ((𝐺 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (2Idealβ€˜πΊ)) β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„)))
238, 18, 22syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„)))
2423simpld 493 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
25 rhmrcl2 20415 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
266, 25syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Ring)
27 rhmghm 20422 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
286, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29 rhmquskerlem.j . . . 4 𝐽 = (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ π‘ž))
30 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3130, 21ringidcl 20201 . . . . 5 (𝐺 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
328, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3311, 28, 9, 19, 29, 32ghmquskerlem1 19233 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜[(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)))
3423simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„))
3534fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜[(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (π½β€˜(1rβ€˜π‘„)))
3621, 3rhm1 20427 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)) = (1rβ€˜π»))
376, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)) = (1rβ€˜π»))
3833, 35, 373eqtr3d 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (π½β€˜(1rβ€˜π‘„)) = (1rβ€˜π»))
396ad6antr 734 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
4019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
41 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
42 ovexd 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
4340, 41, 42, 15qusbas 17521 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Baseβ€˜π‘„))
4411ghmker 19195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
469, 45eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
47 nsgsubg 19112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
4930, 48eqger 19132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
5150qsss 8790 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5243, 51eqsstrrd 4013 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘„) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5352sselda 3973 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5453elpwid 4608 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5554ad5antr 732 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
56 simp-4r 782 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
5755, 56sseldd 3974 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5852sselda 3973 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5958elpwid 4608 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6059adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6160ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
62 simplr 767 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑠)
6361, 62sseldd 3974 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
64 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΊ) = (.rβ€˜πΊ)
6530, 64, 5rhmmul 20424 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
6639, 57, 63, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
6750ad6antr 734 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
68 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
6943ad6antr 734 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Baseβ€˜π‘„))
7068, 69eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
71 qsel 8808 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = [π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾))
7267, 70, 56, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ = [π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾))
73 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
7473, 69eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
75 qsel 8808 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑠 = [𝑦](𝐺 ~QG 𝐾))
7667, 74, 62, 75syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 = [𝑦](𝐺 ~QG 𝐾))
7772, 76oveq12d 7431 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠) = ([π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾)(.rβ€˜π‘„)[𝑦](𝐺 ~QG 𝐾)))
7815ad6antr 734 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ CRing)
7914ad6antr 734 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐾 ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
8019, 30, 64, 4, 78, 79, 57, 63qusmul 33159 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ([π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾)(.rβ€˜π‘„)[𝑦](𝐺 ~QG 𝐾)) = [(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾))
8177, 80eqtr2d 2766 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ [(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾) = (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠))
8281fveq2d 6894 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜[(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)))
8339, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
8439, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
8530, 64, 84, 57, 63ringcld 20198 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8611, 83, 9, 19, 29, 85ghmquskerlem1 19233 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜[(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)))
8782, 86eqtr3d 2767 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)))
88 simpllr 774 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯))
89 simpr 483 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦))
9088, 89oveq12d 7431 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
9166, 87, 903eqtr4d 2775 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
9228ad4antr 730 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
93 simpllr 774 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
9411, 92, 9, 19, 29, 93ghmquskerlem2 19235 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦))
9591, 94r19.29a 3152 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
9628ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
97 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
9811, 96, 9, 19, 29, 97ghmquskerlem2 19235 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Ÿ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯))
9995, 98r19.29a 3152 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
10099anasss 465 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
10111, 28, 9, 19, 29ghmquskerlem3 19236 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
1021, 2, 3, 4, 5, 24, 26, 38, 100, 101isrhm2d 20425 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4599  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   Er wer 8715  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  0gc0g 17415   /s cqus 17481  SubGrpcsubg 19074  NrmSGrpcnsg 19075   ~QG cqg 19076   GrpHom cghm 19166  1rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20407  LIdealclidl 21101  2Idealc2idl 21142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-rhm 20410  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-2idl 21143
This theorem is referenced by:  rhmqusker  33186  algextdeglem4  33441
  Copyright terms: Public domain W3C validator