Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmquskerlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmquskerlem 33063
Description: The mapping 𝐽 induced by a ring homomorphism 𝐹 from the quotient group 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾 is a ring homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0gβ€˜π»)
rhmqusker.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (◑𝐹 β€œ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmquskerlem.j 𝐽 = (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ π‘ž))
rhmquskerlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
rhmquskerlem (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘ž   𝐺,π‘ž   𝐻,π‘ž   𝐽,π‘ž   𝐾,π‘ž   𝑄,π‘ž   πœ‘,π‘ž
Allowed substitution hint:   0 (π‘ž)

Proof of Theorem rhmquskerlem
Dummy variables π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
2 eqid 2727 . 2 (1rβ€˜π‘„) = (1rβ€˜π‘„)
3 eqid 2727 . 2 (1rβ€˜π») = (1rβ€˜π»)
4 eqid 2727 . 2 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
5 eqid 2727 . 2 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
6 rhmqusker.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
7 rhmrcl1 20397 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Ring)
9 rhmqusker.k . . . . . 6 𝐾 = (◑𝐹 β€œ { 0 })
10 eqid 2727 . . . . . . . 8 (LIdealβ€˜πΊ) = (LIdealβ€˜πΊ)
11 rhmqusker.1 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π»)
1210, 11kerlidl 33058 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
136, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
149, 13eqeltrid 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
15 rhmquskerlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CRing)
1610crng2idl 21155 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CRing β†’ (LIdealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ))
1814, 17eleqtrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (2Idealβ€˜πΊ))
19 rhmqusker.q . . . . 5 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
20 eqid 2727 . . . . 5 (2Idealβ€˜πΊ) = (2Idealβ€˜πΊ)
21 eqid 2727 . . . . 5 (1rβ€˜πΊ) = (1rβ€˜πΊ)
2219, 20, 21qus1 21150 . . . 4 ((𝐺 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ (2Idealβ€˜πΊ)) β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„)))
238, 18, 22syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„)))
2423simpld 494 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
25 rhmrcl2 20398 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
266, 25syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Ring)
27 rhmghm 20405 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
286, 27syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
29 rhmquskerlem.j . . . 4 𝐽 = (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↦ βˆͺ (𝐹 β€œ π‘ž))
30 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3130, 21ringidcl 20184 . . . . 5 (𝐺 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
328, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3311, 28, 9, 19, 29, 32ghmquskerlem1 19218 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜[(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)))
3423simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ [(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾) = (1rβ€˜π‘„))
3534fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜[(1rβ€˜πΊ)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (π½β€˜(1rβ€˜π‘„)))
3621, 3rhm1 20410 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)) = (1rβ€˜π»))
376, 36syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜πΊ)) = (1rβ€˜π»))
3833, 35, 373eqtr3d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (π½β€˜(1rβ€˜π‘„)) = (1rβ€˜π»))
396ad6antr 735 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
4019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
41 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
42 ovexd 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
4340, 41, 42, 15qusbas 17512 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Baseβ€˜π‘„))
4411ghmker 19180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ { 0 }) ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
469, 45eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ))
47 nsgsubg 19097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
48 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
4930, 48eqger 19117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
5046, 47, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
5150qsss 8786 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5243, 51eqsstrrd 4017 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘„) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5352sselda 3978 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5453elpwid 4607 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5554ad5antr 733 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
56 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
5755, 56sseldd 3979 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5852sselda 3978 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5958elpwid 4607 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6059adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6160ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
62 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑠)
6361, 62sseldd 3979 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
64 eqid 2727 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΊ) = (.rβ€˜πΊ)
6530, 64, 5rhmmul 20407 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
6639, 57, 63, 65syl3anc 1369 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
6750ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ))
68 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
6943ad6antr 735 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Baseβ€˜π‘„))
7068, 69eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
71 qsel 8804 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘Ÿ ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) β†’ π‘Ÿ = [π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾))
7267, 70, 56, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ π‘Ÿ = [π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾))
73 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
7473, 69eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
75 qsel 8804 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ ((Baseβ€˜πΊ) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) β†’ 𝑠 = [𝑦](𝐺 ~QG 𝐾))
7667, 74, 62, 75syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑠 = [𝑦](𝐺 ~QG 𝐾))
7772, 76oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠) = ([π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾)(.rβ€˜π‘„)[𝑦](𝐺 ~QG 𝐾)))
7815ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ CRing)
7914ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐾 ∈ (LIdealβ€˜πΊ))
8019, 30, 64, 4, 78, 79, 57, 63qusmul 33041 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ([π‘₯](𝐺 ~QG 𝐾)(.rβ€˜π‘„)[𝑦](𝐺 ~QG 𝐾)) = [(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾))
8177, 80eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ [(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾) = (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠))
8281fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜[(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)))
8339, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
8439, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐺 ∈ Ring)
8530, 64, 84, 57, 63ringcld 20181 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8611, 83, 9, 19, 29, 85ghmquskerlem1 19218 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜[(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)](𝐺 ~QG 𝐾)) = (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)))
8782, 86eqtr3d 2769 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = (πΉβ€˜(π‘₯(.rβ€˜πΊ)𝑦)))
88 simpllr 775 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯))
89 simpr 484 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦))
9088, 89oveq12d 7432 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(πΉβ€˜π‘¦)))
9166, 87, 903eqtr4d 2777 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑠) ∧ (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
9228ad4antr 731 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
93 simpllr 775 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
9411, 92, 9, 19, 29, 93ghmquskerlem2 19220 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑠 (π½β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘¦))
9591, 94r19.29a 3157 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ) ∧ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
9628ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
97 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„))
9811, 96, 9, 19, 29, 97ghmquskerlem2 19220 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Ÿ (π½β€˜π‘Ÿ) = (πΉβ€˜π‘₯))
9995, 98r19.29a 3157 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
10099anasss 466 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘„))) β†’ (π½β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘„)𝑠)) = ((π½β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜π»)(π½β€˜π‘ )))
10111, 28, 9, 19, 29ghmquskerlem3 19221 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 GrpHom 𝐻))
1021, 2, 3, 4, 5, 24, 26, 38, 100, 101isrhm2d 20408 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (𝑄 RingHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   Er wer 8713  [cec 8714   / cqs 8715  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  0gc0g 17406   /s cqus 17472  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~QG cqg 19061   GrpHom cghm 19151  1rcur 20105  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158   RingHom crh 20390  LIdealclidl 21084  2Idealc2idl 21125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-imas 17475  df-qus 17476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-rhm 20393  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-rsp 21087  df-2idl 21126
This theorem is referenced by:  rhmqusker  33064  algextdeglem4  33311
  Copyright terms: Public domain W3C validator