MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusadd 18002
Description: Value of the group operation in a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
qusadd.p + = (+g𝐺)
qusadd.a = (+g𝐻)
Assertion
Ref Expression
qusadd ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))

Proof of Theorem qusadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusgrp.h . . 3 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
21a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
3 qusadd.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
5 nsgsubg 17977 . . 3 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2825 . . . 4 (𝐺 ~QG 𝑆) = (𝐺 ~QG 𝑆)
73, 6eqger 17995 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
85, 7syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑆) Er 𝑉)
9 subgrcl 17950 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
105, 9syl 17 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11 qusadd.p . . 3 + = (+g𝐺)
123, 6, 11eqgcpbl 17999 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑎(𝐺 ~QG 𝑆)𝑝𝑏(𝐺 ~QG 𝑆)𝑞) → (𝑎 + 𝑏)(𝐺 ~QG 𝑆)(𝑝 + 𝑞)))
133, 11grpcl 17784 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝𝑉𝑞𝑉) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
14133expb 1155 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
1510, 14sylan 577 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ 𝑉)
16 qusadd.a . 2 = (+g𝐻)
172, 4, 8, 10, 12, 15, 11, 16qusaddval 16566 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) [𝑌](𝐺 ~QG 𝑆)) = [(𝑋 + 𝑌)](𝐺 ~QG 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  cfv 6123  (class class class)co 6905   Er wer 8006  [cec 8007  Basecbs 16222  +gcplusg 16305   /s cqus 16518  Grpcgrp 17776  SubGrpcsubg 17939  NrmSGrpcnsg 17940   ~QG cqg 17941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-ec 8011  df-qs 8015  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-0g 16455  df-imas 16521  df-qus 16522  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-subg 17942  df-nsg 17943  df-eqg 17944
This theorem is referenced by:  qus0  18003  qusinv  18004  qussub  18005  qusghm  18048  qusabl  18621
  Copyright terms: Public domain W3C validator