MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem4 19492
Description: Lemma for sylow3 19495, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of ๐บ reduced by the size of a Sylow subgroup of ๐บ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
sylow3.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow3.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
sylow3lem1.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.m โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
sylow3lem2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
sylow3lem2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
sylow3lem2.n ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง, โˆ’   ๐‘ข, โŠ• ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข, + ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘ƒ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘ข)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 sylow3.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 sylow3.xf . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 sylow3.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
5 sylow3lem1.a . . 3 + = (+gโ€˜๐บ)
6 sylow3lem1.d . . 3 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
7 sylow3lem1.m . . 3 โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
8 sylow3lem2.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
9 sylow3lem2.h . . 3 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
10 sylow3lem2.n . . 3 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 19491 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
12 slwsubg 19472 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐‘)
1510, 1, 5, 14nmznsg 19042 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
16 nsgsubg 19032 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1910, 1, 5nmzsubg 19039 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2114subgbas 19004 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
231subgss 19001 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
253, 24ssfid 9263 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2622, 25eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆˆ Fin)
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))
2827lagsubg 19066 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆง (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
2918, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
3022fveq2d 6892 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
3129, 30breqtrrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘))
32 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3332subg0cl 19008 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3413, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3534ne0d 4334 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  โˆ…)
361subgss 19001 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โŠ† ๐‘‹)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โŠ† ๐‘‹)
383, 37ssfid 9263 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
39 hashnncl 14322 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
4135, 40mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4241nnzd 12581 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
43 hashcl 14312 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4425, 43syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4544nn0zd 12580 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
46 pwfi 9174 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
473, 46sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ ~QG ๐‘) = (๐บ ~QG ๐‘)
491, 48eqger 19052 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
5020, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
5150qsss 8768 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
5247, 51ssfid 9263 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin)
53 hashcl 14312 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
5554nn0zd 12580 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
56 dvdscmul 16222 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘))))
5742, 45, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘))))
5831, 57mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
59 hashcl 14312 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
603, 59syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
6160nn0cnd 12530 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6241nncnd 12224 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
6341nnne0d 12258 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)
6461, 62, 63divcan1d 11987 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) = (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
651, 48, 20, 3lagsubg2 19065 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6664, 65eqtrd 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6758, 66breqtrrd 5175 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)))
681lagsubg 19066 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
6913, 3, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
7060nn0zd 12580 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
71 dvdsval2 16196 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค))
7242, 63, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค))
7369, 72mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค)
74 dvdsmulcr 16225 . . . . 5 (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ))))
7555, 73, 42, 63, 74syl112anc 1374 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ))))
7667, 75mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)))
771, 3, 8slwhash 19486 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
7877oveq2d 7421 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
7976, 78breqtrd 5173 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
8011, 79eqbrtrd 5169 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โŠ† wss 3947  โˆ…c0 4321  ๐’ซ cpw 4601   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  ran crn 5676  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   Er wer 8696   / cqs 8698  Fincfn 8935  0cc0 11106   ยท cmul 11111   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ†‘cexp 14023  โ™ฏchash 14286   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604   pCnt cpc 16765  Basecbs 17140   โ†พs cress 17169  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~QG cqg 18996   pSyl cslw 19389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-ga 19148  df-od 19390  df-pgp 19392  df-slw 19393
This theorem is referenced by:  sylow3  19495
  Copyright terms: Public domain W3C validator