Theorem sylow3lem4 19571

Description: Lemma for sylow3 19574, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow3.xf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow3lem1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		sylow3lem1.d	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		sylow3lem1.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
8		sylow3lem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3lem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
10		sylow3lem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sylow3lem3 19570	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12		slwsubg 19551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑁) = (𝐺 ↾s 𝑁)
15	10, 1, 5, 14	nmznsg 19109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
16		nsgsubg 19099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
19	10, 1, 5	nmzsubg 19106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	14	subgbas 19072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
23	1	subgss 19069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝑋)
25	3, 24	ssfid 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
26	22, 25	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin)
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))
28	27	lagsubg 19136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
29	18, 26, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
30	22	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
31	29, 30	breqtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁))
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	32	subg0cl 19076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
34	13, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
35	34	ne0d 4296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
36	1	subgss 19069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
37	13, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
38	3, 37	ssfid 9181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
39		hashnncl 14301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
41	35, 40	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
43		hashcl 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	25, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℤ)
46		pwfi 9231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
47	3, 46	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
49	1, 48	eqger 19119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
50	20, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
51	50	qsss 8724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
52	47, 51	ssfid 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
53		hashcl 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
56		dvdscmul 16221	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
57	42, 45, 55, 56	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
58	31, 57	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
59		hashcl 14291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
60	3, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
62	41	nncnd 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
63	41	nnne0d 12207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
64	61, 62, 63	divcan1d 11930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = (♯‘𝑋))
65	1, 48, 20, 3	lagsubg2 19135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
66	64, 65	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
67	58, 66	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)))
68	1	lagsubg 19136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
69	13, 3, 68	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
70	60	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
71		dvdsval2 16194	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
72	42, 63, 70, 71	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
73	69, 72	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ)
74		dvdsmulcr 16224	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
75	55, 73, 42, 63, 74	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
76	67, 75	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)))
77	1, 3, 8	slwhash 19565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78	77	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
79	76, 78	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	11, 79	eqbrtrd 5122	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   Er wer 8642   / cqs 8644  Fincfn 8895  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ↑cexp 13996  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  SubGrpcsubg 19062  NrmSGrpcnsg 19063   ~_QG cqg 19064   pSyl cslw 19468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-ga 19231  df-od 19469  df-pgp 19471  df-slw 19472

This theorem is referenced by:  sylow3  19574