MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem4 19498
Description: Lemma for sylow3 19501, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of ๐บ reduced by the size of a Sylow subgroup of ๐บ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
sylow3.xf (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow3.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
sylow3lem1.a + = (+gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.d โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
sylow3lem1.m โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
sylow3lem2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
sylow3lem2.h ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
sylow3lem2.n ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง, โˆ’   ๐‘ข, โŠ• ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข, + ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ข,๐‘ƒ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐ป(๐‘ง,๐‘ข)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
2 sylow3.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 sylow3.xf . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
4 sylow3.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
5 sylow3lem1.a . . 3 + = (+gโ€˜๐บ)
6 sylow3lem1.d . . 3 โˆ’ = (-gโ€˜๐บ)
7 sylow3lem1.m . . 3 โŠ• = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†ฆ ran (๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ โ†ฆ ((๐‘ฅ + ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ฅ)))
8 sylow3lem2.k . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ))
9 sylow3lem2.h . . 3 ๐ป = {๐‘ข โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ข โŠ• ๐พ) = ๐พ}
10 sylow3lem2.n . . 3 ๐‘ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 19497 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) = (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))))
12 slwsubg 19478 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (๐‘ƒ pSyl ๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โ†พs ๐‘) = (๐บ โ†พs ๐‘)
1510, 1, 5, 14nmznsg 19048 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
16 nsgsubg 19038 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (NrmSGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
1910, 1, 5nmzsubg 19045 . . . . . . . . . . 11 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2114subgbas 19010 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)))
231subgss 19007 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โŠ† ๐‘‹)
253, 24ssfid 9267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2622, 25eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆˆ Fin)
27 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) = (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))
2827lagsubg 19072 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆง (Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘)) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
2918, 26, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
3022fveq2d 6896 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) = (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜(๐บ โ†พs ๐‘))))
3129, 30breqtrrd 5177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3332subg0cl 19014 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3413, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ ๐พ)
3534ne0d 4336 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  โˆ…)
361subgss 19007 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐พ โŠ† ๐‘‹)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โŠ† ๐‘‹)
383, 37ssfid 9267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Fin)
39 hashnncl 14326 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โ†” ๐พ โ‰  โˆ…))
4135, 40mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
4241nnzd 12585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
43 hashcl 14316 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4425, 43syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
4544nn0zd 12584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
46 pwfi 9178 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
473, 46sylib 217 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (๐บ ~QG ๐‘) = (๐บ ~QG ๐‘)
491, 48eqger 19058 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
5020, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ~QG ๐‘) Er ๐‘‹)
5150qsss 8772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
5247, 51ssfid 9267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin)
53 hashcl 14316 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
5554nn0zd 12584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
56 dvdscmul 16226 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘))))
5742, 45, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘))))
5831, 57mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
59 hashcl 14316 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
603, 59syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„•0)
6160nn0cnd 12534 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6241nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
6341nnne0d 12262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)
6461, 62, 63divcan1d 11991 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) = (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
651, 48, 20, 3lagsubg2 19071 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6664, 65eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘)))
6758, 66breqtrrd 5177 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)))
681lagsubg 19072 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
6913, 3, 68syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
7060nn0zd 12584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
71 dvdsval2 16200 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค))
7242, 63, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค))
7369, 72mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค)
74 dvdsmulcr 16229 . . . . 5 (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆˆ โ„ค โˆง ((โ™ฏโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ))))
7555, 73, 42, 63, 74syl112anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โˆฅ (((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) ยท (โ™ฏโ€˜๐พ)) โ†” (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ))))
7667, 75mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)))
771, 3, 8slwhash 19492 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐พ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹))))
7877oveq2d 7425 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (โ™ฏโ€˜๐พ)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
7976, 78breqtrd 5175 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / (๐บ ~QG ๐‘))) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
8011, 79eqbrtrd 5171 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ƒ pSyl ๐บ)) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   Er wer 8700   / cqs 8702  Fincfn 8939  0cc0 11110   ยท cmul 11115   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608   pCnt cpc 16769  Basecbs 17144   โ†พs cress 17173  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000  NrmSGrpcnsg 19001   ~QG cqg 19002   pSyl cslw 19395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-ga 19154  df-od 19396  df-pgp 19398  df-slw 19399
This theorem is referenced by:  sylow3  19501
  Copyright terms: Public domain W3C validator