Theorem sylow3lem4 19528

Description: Lemma for sylow3 19531, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow3.xf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow3lem1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		sylow3lem1.d	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		sylow3lem1.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
8		sylow3lem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3lem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
10		sylow3lem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sylow3lem3 19527	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12		slwsubg 19508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑁) = (𝐺 ↾s 𝑁)
15	10, 1, 5, 14	nmznsg 19066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
16		nsgsubg 19056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
19	10, 1, 5	nmzsubg 19063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	14	subgbas 19028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
23	1	subgss 19025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝑋)
25	3, 24	ssfid 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
26	22, 25	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin)
27		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))
28	27	lagsubg 19093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
29	18, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
30	22	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
31	29, 30	breqtrrd 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁))
32		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	32	subg0cl 19032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
34	13, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
35	34	ne0d 4295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
36	1	subgss 19025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
37	13, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
38	3, 37	ssfid 9170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
39		hashnncl 14292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
41	35, 40	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
43		hashcl 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	25, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℤ)
46		pwfi 9226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
47	3, 46	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
48		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
49	1, 48	eqger 19076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
50	20, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
51	50	qsss 8710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
52	47, 51	ssfid 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
53		hashcl 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
56		dvdscmul 16212	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
57	42, 45, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
58	31, 57	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
59		hashcl 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
60	3, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
62	41	nncnd 12163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
63	41	nnne0d 12197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
64	61, 62, 63	divcan1d 11920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = (♯‘𝑋))
65	1, 48, 20, 3	lagsubg2 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
66	64, 65	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
67	58, 66	breqtrrd 5123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)))
68	1	lagsubg 19093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
69	13, 3, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
70	60	nn0zd 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
71		dvdsval2 16185	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
72	42, 63, 70, 71	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
73	69, 72	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ)
74		dvdsmulcr 16215	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
75	55, 73, 42, 63, 74	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
76	67, 75	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)))
77	1, 3, 8	slwhash 19522	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78	77	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
79	76, 78	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	11, 79	eqbrtrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   Er wer 8629   / cqs 8631  Fincfn 8879  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ↑cexp 13987  ♯chash 14256   ∥ cdvds 16182  ℙcprime 16601   pCnt cpc 16767  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160  +_gcplusg 17180  0_gc0g 17362  Grpcgrp 18831  -_gcsg 18833  SubGrpcsubg 19018  NrmSGrpcnsg 19019   ~_QG cqg 19020   pSyl cslw 19425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-sum 15613  df-dvds 16183  df-gcd 16425  df-prm 16602  df-pc 16768  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-nsg 19022  df-eqg 19023  df-ghm 19111  df-ga 19188  df-od 19426  df-pgp 19428  df-slw 19429

This theorem is referenced by:  sylow3  19531