Theorem sylow3lem4 19837

Description: Lemma for sylow3 19840, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧, 𝑢)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow3.xf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow3lem1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		sylow3lem1.d	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		sylow3lem1.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
8		sylow3lem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3lem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
10		sylow3lem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sylow3lem3 19836	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12		slwsubg 19817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑁) = (𝐺 ↾s 𝑁)
15	10, 1, 5, 14	nmznsg 19371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
16		nsgsubg 19361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
18	13, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
19	10, 1, 5	nmzsubg 19368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	2, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	14	subgbas 19333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
23	1	subgss 19330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
24	20, 23	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝑋)
25	3, 24	ssfid 9253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
26	22, 25	eqeltrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin)
27		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))
28	27	lagsubg 19403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
29	18, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
30	22	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
31	29, 30	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
33	32	subg0cl 19337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
34	13, 33	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
35	34	ne0d 4288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
36	1	subgss 19330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
37	13, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
38	3, 37	ssfid 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
39		hashnncl 14503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
41	35, 40	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
42	41	nnzd 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
43		hashcl 14493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
44	25, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℤ)
46		pwfi 9303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
47	3, 46	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
48		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
49	1, 48	eqger 19383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
50	20, 49	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
51	50	qsss 8789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
52	47, 51	ssfid 9253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
53		hashcl 14493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
55	54	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
56		dvdscmul 16445	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
57	42, 45, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
58	31, 57	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
59		hashcl 14493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
60	3, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12662	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
62	41	nncnd 12344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
63	41	nnne0d 12381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
64	61, 62, 63	divcan1d 12087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = (♯‘𝑋))
65	1, 48, 20, 3	lagsubg2 19402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
66	64, 65	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
67	58, 66	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)))
68	1	lagsubg 19403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
69	13, 3, 68	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
70	60	nn0zd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
71		dvdsval2 16418	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
72	42, 63, 70, 71	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
73	69, 72	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ)
74		dvdsmulcr 16448	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
75	55, 73, 42, 63, 74	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
76	67, 75	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)))
77	1, 3, 8	slwhash 19831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
78	77	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
79	76, 78	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
80	11, 79	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420   Er wer 8707   / cqs 8709  Fincfn 8966  0cc0 11193   · cmul 11198   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ↑cexp 14197  ♯chash 14467   ∥ cdvds 16415  ℙcprime 16839   pCnt cpc 17007  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  -_gcsg 19139  SubGrpcsubg 19323  NrmSGrpcnsg 19324   ~_QG cqg 19325   pSyl cslw 19734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-ec 8712  df-qs 8716  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840  df-pc 17008  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-nsg 19327  df-eqg 19328  df-ghm 19421  df-ga 19497  df-od 19735  df-pgp 19737  df-slw 19738

This theorem is used by:  sylow3  19840