Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusima 33025
Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
qusima.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p = (LSSum‘𝐺)
qusima.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
qusima.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h (𝜑𝐻𝑆)
qusima.s (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
qusima (𝜑 → (𝐸𝐻) = (𝐹𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ,𝐹   ,𝐻,𝑥   𝑆,   𝜑,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   (𝑥,)   𝑄(𝑥,)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,)   𝑁(𝑥,)

Proof of Theorem qusima
StepHypRef Expression
1 qusima.e . 2 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2 qusima.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
32reseq1i 5970 . . . . . 6 (𝐹𝐻) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4 qusima.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5 qusima.h . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝑆)
64, 5sseldd 3978 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 qusima.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
87subgss 19052 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝐵)
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐵)
109resmptd 6033 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11 qusima.p . . . . . . . . 9 = (LSSum‘𝐺)
12 qusima.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13 nsgsubg 19083 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
169sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝑥𝐵)
177, 11, 15, 16quslsm 33022 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
1817mpteq2dva 5241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1910, 18eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
203, 19eqtr2id 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑 = 𝐻) → (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
2221rneqd 5930 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝐹𝐻))
23 mpteq1 5234 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2423rneqd 5930 . . . 4 ( = 𝐻 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2524adantl 481 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
26 df-ima 5682 . . . 4 (𝐹𝐻) = ran (𝐹𝐻)
2726a1i 11 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → (𝐹𝐻) = ran (𝐹𝐻))
2822, 25, 273eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
297fvexi 6898 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3029mptex 7219 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
312, 30eqeltri 2823 . . 3 𝐹 ∈ V
32 imaexg 7902 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐻) ∈ V)
3331, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
341, 28, 5, 33fvmptd2 6999 1 (𝜑 → (𝐸𝐻) = (𝐹𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  {csn 4623  cmpt 5224  ran crn 5670  cres 5671  cima 5672  cfv 6536  (class class class)co 7404  [cec 8700  Basecbs 17151   /s cqus 17458  SubGrpcsubg 19045  NrmSGrpcnsg 19046   ~QG cqg 19047  LSSumclsm 19552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-ec 8704  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-eqg 19050  df-oppg 19260  df-lsm 19554
This theorem is referenced by:  qusrn  33026  nsgmgc  33029
  Copyright terms: Public domain W3C validator