Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qusima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusima 33143
Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
qusima.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p = (LSSum‘𝐺)
qusima.e 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
qusima.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h (𝜑𝐻𝑆)
qusima.s (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
qusima (𝜑 → (𝐸𝐻) = (𝐹𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ,𝐹   ,𝐻,𝑥   𝑆,   𝜑,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   (𝑥,)   𝑄(𝑥,)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,)   𝑁(𝑥,)

Proof of Theorem qusima
StepHypRef Expression
1 qusima.e . 2 𝐸 = (𝑆 ↦ ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2 qusima.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
32reseq1i 5985 . . . . . 6 (𝐹𝐻) = ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4 qusima.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5 qusima.h . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝑆)
64, 5sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 qusima.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
87subgss 19089 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝐵)
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐵)
109resmptd 6049 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11 qusima.p . . . . . . . . 9 = (LSSum‘𝐺)
12 qusima.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13 nsgsubg 19120 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
169sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝑥𝐵)
177, 11, 15, 16quslsm 33140 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
1817mpteq2dva 5252 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
1910, 18eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
203, 19eqtr2id 2781 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
2120adantr 479 . . . 4 ((𝜑 = 𝐻) → (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
2221rneqd 5944 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝐹𝐻))
23 mpteq1 5245 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2423rneqd 5944 . . . 4 ( = 𝐻 → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
2524adantl 480 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = ran (𝑥𝐻 ↦ ({𝑥} 𝑁)))
26 df-ima 5695 . . . 4 (𝐹𝐻) = ran (𝐹𝐻)
2726a1i 11 . . 3 ((𝜑 = 𝐻) → (𝐹𝐻) = ran (𝐹𝐻))
2822, 25, 273eqtr4d 2778 . 2 ((𝜑 = 𝐻) → ran (𝑥 ↦ ({𝑥} 𝑁)) = (𝐹𝐻))
297fvexi 6916 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3029mptex 7241 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
312, 30eqeltri 2825 . . 3 𝐹 ∈ V
32 imaexg 7927 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐻) ∈ V)
3331, 32mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ V)
341, 28, 5, 33fvmptd2 7018 1 (𝜑 → (𝐸𝐻) = (𝐹𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949  {csn 4632  cmpt 5235  ran crn 5683  cres 5684  cima 5685  cfv 6553  (class class class)co 7426  [cec 8729  Basecbs 17187   /s cqus 17494  SubGrpcsubg 19082  NrmSGrpcnsg 19083   ~QG cqg 19084  LSSumclsm 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-ec 8733  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-oppg 19304  df-lsm 19598
This theorem is referenced by:  qusrn  33144  nsgmgc  33147
  Copyright terms: Public domain W3C validator