Theorem qusima 31127

Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusima.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusima.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
qusima.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
qusima.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusima	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻,𝑥   𝑆,ℎ   𝜑,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   ⊕ (𝑥,ℎ)   𝑄(𝑥,ℎ)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝑁(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem qusima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusima.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
2		qusima.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	reseq1i 5824	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐻) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4		qusima.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5		qusima.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		qusima.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	subgss 18360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ 𝐵)
10	9	resmptd 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11		qusima.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		qusima.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		nsgsubg 18390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	9	sselda 3894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	7, 11, 15, 16	quslsm 31126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
18	17	mpteq2dva 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
19	10, 18	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
20	3, 19	syl5req 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
21	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
22	21	rneqd 5784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
23		mpteq1 5124	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
24	23	rneqd 5784	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
25	24	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
26		df-ima 5541	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 “ 𝐻))
29	7	fvexi 6677	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	mptex 6983	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2848	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
32		imaexg 7631	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
33	31, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
34	1, 28, 5, 33	fvmptd2 6772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  {csn 4525   ↦ cmpt 5116  ran crn 5529   ↾ cres 5530   “ cima 5531  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  [cec 8303  Basecbs 16554   /_s cqus 16849  SubGrpcsubg 18353  NrmSGrpcnsg 18354   ~_QG cqg 18355  LSSumclsm 18839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-ec 8307  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-subg 18356  df-nsg 18357  df-eqg 18358  df-oppg 18554  df-lsm 18841

This theorem is referenced by:  nsgmgc  31130