Theorem qusima 33355

Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusima.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusima.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
qusima.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
qusima.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusima	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻,𝑥   𝑆,ℎ   𝜑,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   ⊕ (𝑥,ℎ)   𝑄(𝑥,ℎ)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝑁(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem qusima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusima.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
2		qusima.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	reseq1i 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐻) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4		qusima.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5		qusima.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		qusima.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	subgss 19024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ 𝐵)
10	9	resmptd 5995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11		qusima.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		qusima.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		nsgsubg 19055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	9	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	7, 11, 15, 16	quslsm 33352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
18	17	mpteq2dva 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
19	10, 18	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
20	3, 19	eqtr2id 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
22	21	rneqd 5884	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
23		mpteq1 5184	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
24	23	rneqd 5884	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
26		df-ima 5636	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 “ 𝐻))
29	7	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	mptex 7163	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
32		imaexg 7853	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
33	31, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
34	1, 28, 5, 33	fvmptd2 6942	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630  Basecbs 17138   /_s cqus 17427  SubGrpcsubg 19017  NrmSGrpcnsg 19018   ~_QG cqg 19019  LSSumclsm 19531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-ec 8634  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-oppg 19243  df-lsm 19533

This theorem is referenced by:  qusrn  33356  nsgmgc  33359