Theorem qusima 33468

Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusima.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusima.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
qusima.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
qusima.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusima	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻,𝑥   𝑆,ℎ   𝜑,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   ⊕ (𝑥,ℎ)   𝑄(𝑥,ℎ)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝑁(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem qusima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusima.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
2		qusima.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	reseq1i 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐻) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4		qusima.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5		qusima.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		qusima.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	subgss 19103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ 𝐵)
10	9	resmptd 6005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11		qusima.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		qusima.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		nsgsubg 19133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	9	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	7, 11, 15, 16	quslsm 33465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
18	17	mpteq2dva 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
19	10, 18	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
20	3, 19	eqtr2id 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
22	21	rneqd 5893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
23		mpteq1 5174	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
24	23	rneqd 5893	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
26		df-ima 5644	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 “ 𝐻))
29	7	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	mptex 7178	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
32		imaexg 7864	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
33	31, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
34	1, 28, 5, 33	fvmptd2 6956	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  [cec 8641  Basecbs 17179   /_s cqus 17469  SubGrpcsubg 19096  NrmSGrpcnsg 19097   ~_QG cqg 19098  LSSumclsm 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-ec 8645  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-oppg 19321  df-lsm 19611

This theorem is referenced by:  qusrn  33469  nsgmgc  33472