Theorem qusima 33386

Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusima.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusima.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
qusima.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
qusima.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusima	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻,𝑥   𝑆,ℎ   𝜑,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   ⊕ (𝑥,ℎ)   𝑄(𝑥,ℎ)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝑁(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem qusima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusima.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
2		qusima.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	reseq1i 5949	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐻) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4		qusima.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5		qusima.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		qusima.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	subgss 19066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ 𝐵)
10	9	resmptd 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11		qusima.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		qusima.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		nsgsubg 19097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	9	sselda 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	7, 11, 15, 16	quslsm 33383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
18	17	mpteq2dva 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
19	10, 18	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
20	3, 19	eqtr2id 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
22	21	rneqd 5905	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
23		mpteq1 5199	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
24	23	rneqd 5905	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
26		df-ima 5654	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 “ 𝐻))
29	7	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	mptex 7200	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
32		imaexg 7892	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
33	31, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
34	1, 28, 5, 33	fvmptd2 6979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  [cec 8672  Basecbs 17186   /_s cqus 17475  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~_QG cqg 19061  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-ec 8676  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-oppg 19285  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  qusrn  33387  nsgmgc  33390