Theorem qusima 31594

Description: The image of a subgroup by the natural map from elements to their cosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusima.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
qusima.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
qusima.e	⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
qusima.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
qusima.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
qusima.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
qusima.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
qusima	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻,𝑥   𝑆,ℎ   𝜑,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   ⊕ (𝑥,ℎ)   𝑄(𝑥,ℎ)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝑁(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem qusima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusima.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (ℎ ∈ 𝑆 ↦ ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
2		qusima.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁))
3	2	reseq1i 5887	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐻) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻)
4		qusima.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺))
5		qusima.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		qusima.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	subgss 18756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ 𝐵)
10	9	resmptd 5948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)))
11		qusima.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
12		qusima.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		nsgsubg 18786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	9	sselda 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	7, 11, 15, 16	quslsm 31593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
18	17	mpteq2dva 5174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
19	10, 18	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ↾ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
20	3, 19	eqtr2id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 ↾ 𝐻))
22	21	rneqd 5847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
23		mpteq1 5167	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐻 → (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
24	23	rneqd 5847	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐻 → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
25	24	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ran (𝑥 ∈ 𝐻 ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)))
26		df-ima 5602	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻)
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → (𝐹 “ 𝐻) = ran (𝐹 ↾ 𝐻))
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ = 𝐻) → ran (𝑥 ∈ ℎ ↦ ({𝑥} ⊕ 𝑁)) = (𝐹 “ 𝐻))
29	7	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
30	29	mptex 7099	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ V
31	2, 30	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
32		imaexg 7762	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
33	31, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐻) ∈ V)
34	1, 28, 5, 33	fvmptd2 6883	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐻) = (𝐹 “ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496  Basecbs 16912   /_s cqus 17216  SubGrpcsubg 18749  NrmSGrpcnsg 18750   ~_QG cqg 18751  LSSumclsm 19239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-ec 8500  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-oppg 18950  df-lsm 19241

This theorem is referenced by:  nsgmgc  31597