Theorem nsgmgclem 31129

Description: Lemma for nsgmgc 31130. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgclem	⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}))
2		eqidd 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 3986	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6		nsgmgclem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	sseqtrdi 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8		sneq 4535	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → {𝑎} = {(0g‘𝐺)})
9	8	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁))
10	9	eleq1d 2836	. . 3 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
11		nsgmgclem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12		nsgsubg 18390	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		subgrcl 18364	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
16		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	6, 16	grpidcl 18211	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
19		nsgmgclem.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
20	16, 19	lsm02 18878	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
22		nsgmgclem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23		nsgmgclem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
24	23	nsgqus0 31128	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)
25	11, 22, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)
26	21, 25	eqeltrd 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
27	10, 18, 26	elrabd 3606	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
28		sneq 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)})
29	28	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
30	29	eleq1d 2836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
31	15	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32		elrabi 3598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		elrabi 3598	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	6, 36	grpcl 18190	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
39	13	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	6, 19, 39, 38	quslsm 31126	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
41	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
43	23, 6, 36, 42	qusadd 18417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
44	41, 33, 35, 43	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
45	22	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
46	6, 19, 39, 33	quslsm 31126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
47		sneq 4535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
48	47	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
49	48	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
50	49	elrab 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
51	50	simprbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
52	51	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
53	46, 52	eqeltrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
54	6, 19, 39, 35	quslsm 31126	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
55		sneq 4535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
56	55	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
57	56	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
58	57	elrab 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
59	58	simprbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
60	59	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
61	54, 60	eqeltrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
62	42	subgcl 18369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
63	45, 53, 61, 62	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
64	44, 63	eqeltrrd 2853	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
65	40, 64	eqeltrrd 2853	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
66	30, 38, 65	elrabd 3606	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
67	66	3impa 1107	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
68		sneq 4535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg‘𝐺)‘𝑥)})
69	68	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
70	69	eleq1d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
71		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
72	6, 71	grpinvcl 18231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	15, 72	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
76	23, 6, 71, 75	qusinv 18419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
77	11, 76	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
78	13	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	6, 19, 78, 79	quslsm 31126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
81	80	fveq2d 6667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)))
82	6, 19, 78, 73	quslsm 31126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
83	77, 81, 82	3eqtr3d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
84	83	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
85	22	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
87	75	subginvcl 18368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
88	85, 86, 87	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
89	84, 88	eqeltrrd 2853	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
90	70, 74, 89	elrabd 3606	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
91	90	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
92	50, 91	sylan2b 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
93	1, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15	issubgrpd2 18375	1 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  [cec 8303  Basecbs 16554   ↾_s cress 16555  +_gcplusg 16636  0_gc0g 16784   /_s cqus 16849  Grpcgrp 18182  inv_gcminusg 18183  SubGrpcsubg 18353  NrmSGrpcnsg 18354   ~_QG cqg 18355  LSSumclsm 18839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-0g 16786  df-imas 16852  df-qus 16853  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-subg 18356  df-nsg 18357  df-eqg 18358  df-oppg 18554  df-lsm 18841

This theorem is referenced by:  nsgmgc  31130  nsgqusf1olem2  31132  nsgqusf1olem3  31133