Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgclem 33419
Description: Lemma for nsgmgc 33420. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgclem.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
nsgmgclem (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}))
2 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4090 . . . 4 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6 nsgmgclem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6sseqtrdi 4046 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8 sneq 4641 . . . . 5 (𝑎 = (0g𝐺) → {𝑎} = {(0g𝐺)})
98oveq1d 7446 . . . 4 (𝑎 = (0g𝐺) → ({𝑎} 𝑁) = ({(0g𝐺)} 𝑁))
109eleq1d 2824 . . 3 (𝑎 = (0g𝐺) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹))
11 nsgmgclem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12 nsgsubg 19189 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 subgrcl 19162 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2735 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
176, 16grpidcl 18996 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 nsgmgclem.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
2016, 19lsm02 19705 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
22 nsgmgclem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23 nsgmgclem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
2423nsgqus0 33418 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
2511, 22, 24syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑁𝐹)
2621, 25eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹)
2710, 18, 26elrabd 3697 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
28 sneq 4641 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g𝐺)𝑦)})
2928oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ({𝑎} 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
3029eleq1d 2824 . . . 4 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹))
3115ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32 elrabi 3690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥𝐵)
3332ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥𝐵)
34 elrabi 3690 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦𝐵)
3534adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦𝐵)
36 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
376, 36grpcl 18972 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3831, 33, 35, 37syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3913ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
406, 19, 39, 38quslsm 33413 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
4111ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝑄) = (+g𝑄)
4323, 6, 36, 42qusadd 19219 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4441, 33, 35, 43syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4522ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
466, 19, 39, 33quslsm 33413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
47 sneq 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
4847oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
4948eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5049elrab 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5150simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5251ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5346, 52eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
546, 19, 39, 35quslsm 33413 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
55 sneq 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
5655oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
5756eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5857elrab 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦𝐵 ∧ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5958simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6059adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6154, 60eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6242subgcl 19167 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6345, 53, 61, 62syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6444, 63eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6540, 64eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹)
6630, 38, 65elrabd 3697 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
67663impa 1109 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
68 sneq 4641 . . . . . . 7 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg𝐺)‘𝑥)})
6968oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
7069eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹))
71 eqid 2735 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
726, 71grpinvcl 19018 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7315, 72sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7473adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (invg𝑄) = (invg𝑄)
7623, 6, 71, 75qusinv 19221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7711, 76sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7813adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
806, 19, 78, 79quslsm 33413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8180fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)))
826, 19, 78, 73quslsm 33413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8377, 81, 823eqtr3d 2783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8483adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8522ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
8775subginvcl 19166 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8984, 88eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹)
9070, 74, 89elrabd 3697 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9190anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9250, 91sylan2b 594 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
931, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15issubgrpd2 19173 1 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-oppg 19377  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  nsgmgc  33420  nsgqusf1olem2  33422  nsgqusf1olem3  33423
  Copyright terms: Public domain W3C validator