Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgclem 32797
Description: Lemma for nsgmgc 32798. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgclem.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
nsgmgclem (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2732 . 2 (𝜑 → (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}))
2 eqidd 2732 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2732 . 2 (𝜑 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4077 . . . 4 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6 nsgmgclem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6sseqtrdi 4032 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8 sneq 4638 . . . . 5 (𝑎 = (0g𝐺) → {𝑎} = {(0g𝐺)})
98oveq1d 7427 . . . 4 (𝑎 = (0g𝐺) → ({𝑎} 𝑁) = ({(0g𝐺)} 𝑁))
109eleq1d 2817 . . 3 (𝑎 = (0g𝐺) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹))
11 nsgmgclem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12 nsgsubg 19075 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 subgrcl 19048 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2731 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
176, 16grpidcl 18887 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 nsgmgclem.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
2016, 19lsm02 19582 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
22 nsgmgclem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23 nsgmgclem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
2423nsgqus0 32796 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
2511, 22, 24syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝑁𝐹)
2621, 25eqeltrd 2832 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹)
2710, 18, 26elrabd 3685 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
28 sneq 4638 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g𝐺)𝑦)})
2928oveq1d 7427 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ({𝑎} 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
3029eleq1d 2817 . . . 4 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹))
3115ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32 elrabi 3677 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥𝐵)
3332ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥𝐵)
34 elrabi 3677 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦𝐵)
3534adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦𝐵)
36 eqid 2731 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
376, 36grpcl 18864 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3831, 33, 35, 37syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3913ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
406, 19, 39, 38quslsm 32791 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
4111ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42 eqid 2731 . . . . . . . 8 (+g𝑄) = (+g𝑄)
4323, 6, 36, 42qusadd 19104 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4441, 33, 35, 43syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4522ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
466, 19, 39, 33quslsm 32791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
47 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
4847oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
4948eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5049elrab 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5150simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5251ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5346, 52eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
546, 19, 39, 35quslsm 32791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
55 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
5655oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
5756eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5857elrab 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦𝐵 ∧ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5958simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6059adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6154, 60eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6242subgcl 19053 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6345, 53, 61, 62syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6444, 63eqeltrrd 2833 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6540, 64eqeltrrd 2833 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹)
6630, 38, 65elrabd 3685 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
67663impa 1109 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
68 sneq 4638 . . . . . . 7 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg𝐺)‘𝑥)})
6968oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
7069eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹))
71 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
726, 71grpinvcl 18909 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7315, 72sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7473adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (invg𝑄) = (invg𝑄)
7623, 6, 71, 75qusinv 19106 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7711, 76sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7813adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
806, 19, 78, 79quslsm 32791 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8180fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)))
826, 19, 78, 73quslsm 32791 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8377, 81, 823eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8483adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8522ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
8775subginvcl 19052 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8885, 86, 87syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8984, 88eqeltrrd 2833 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹)
9070, 74, 89elrabd 3685 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9190anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9250, 91sylan2b 593 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
931, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15issubgrpd2 19059 1 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  wss 3948  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  [cec 8705  Basecbs 17149  s cress 17178  +gcplusg 17202  0gc0g 17390   /s cqus 17456  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038   ~QG cqg 19039  LSSumclsm 19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-oppg 19252  df-lsm 19546
This theorem is referenced by:  nsgmgc  32798  nsgqusf1olem2  32800  nsgqusf1olem3  32801
  Copyright terms: Public domain W3C validator