Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgclem 32796
Description: Lemma for nsgmgc 32797. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgclem.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
nsgmgclem (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2731 . 2 (𝜑 → (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}))
2 eqidd 2731 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2731 . 2 (𝜑 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 4076 . . . 4 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6 nsgmgclem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6sseqtrdi 4031 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8 sneq 4637 . . . . 5 (𝑎 = (0g𝐺) → {𝑎} = {(0g𝐺)})
98oveq1d 7426 . . . 4 (𝑎 = (0g𝐺) → ({𝑎} 𝑁) = ({(0g𝐺)} 𝑁))
109eleq1d 2816 . . 3 (𝑎 = (0g𝐺) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹))
11 nsgmgclem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12 nsgsubg 19074 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 subgrcl 19047 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2730 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
176, 16grpidcl 18886 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 nsgmgclem.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
2016, 19lsm02 19581 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
22 nsgmgclem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23 nsgmgclem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
2423nsgqus0 32795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
2511, 22, 24syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝑁𝐹)
2621, 25eqeltrd 2831 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹)
2710, 18, 26elrabd 3684 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
28 sneq 4637 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g𝐺)𝑦)})
2928oveq1d 7426 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ({𝑎} 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
3029eleq1d 2816 . . . 4 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹))
3115ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32 elrabi 3676 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥𝐵)
3332ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥𝐵)
34 elrabi 3676 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦𝐵)
3534adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦𝐵)
36 eqid 2730 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
376, 36grpcl 18863 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3831, 33, 35, 37syl3anc 1369 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3913ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
406, 19, 39, 38quslsm 32790 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
4111ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g𝑄) = (+g𝑄)
4323, 6, 36, 42qusadd 19103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4441, 33, 35, 43syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4522ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
466, 19, 39, 33quslsm 32790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
47 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
4847oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
4948eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5049elrab 3682 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5150simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5251ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5346, 52eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
546, 19, 39, 35quslsm 32790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
55 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
5655oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
5756eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5857elrab 3682 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦𝐵 ∧ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5958simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6059adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6154, 60eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6242subgcl 19052 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6345, 53, 61, 62syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6444, 63eqeltrrd 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6540, 64eqeltrrd 2832 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹)
6630, 38, 65elrabd 3684 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
67663impa 1108 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
68 sneq 4637 . . . . . . 7 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg𝐺)‘𝑥)})
6968oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
7069eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹))
71 eqid 2730 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
726, 71grpinvcl 18908 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7315, 72sylan 578 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7473adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (invg𝑄) = (invg𝑄)
7623, 6, 71, 75qusinv 19105 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7711, 76sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7813adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
806, 19, 78, 79quslsm 32790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8180fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)))
826, 19, 78, 73quslsm 32790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8377, 81, 823eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8483adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8522ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
8775subginvcl 19051 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8885, 86, 87syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8984, 88eqeltrrd 2832 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹)
9070, 74, 89elrabd 3684 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9190anasss 465 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9250, 91sylan2b 592 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
931, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15issubgrpd2 19058 1 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  {crab 3430  wss 3947  {csn 4627  cfv 6542  (class class class)co 7411  [cec 8703  Basecbs 17148  s cress 17177  +gcplusg 17201  0gc0g 17389   /s cqus 17455  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  NrmSGrpcnsg 19037   ~QG cqg 19038  LSSumclsm 19543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-oppg 19251  df-lsm 19545
This theorem is referenced by:  nsgmgc  32797  nsgqusf1olem2  32799  nsgqusf1olem3  32800
  Copyright terms: Public domain W3C validator