Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsgmgclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgmgclem 31117
 Description: Lemma for nsgmgc 31118. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nsgmgclem.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
nsgmgclem (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2759 . 2 (𝜑 → (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺s {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}))
2 eqidd 2759 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐺))
3 eqidd 2759 . 2 (𝜑 → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 ssrab2 3984 . . . 4 {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6 nsgmgclem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6sseqtrdi 3942 . 2 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8 sneq 4532 . . . . 5 (𝑎 = (0g𝐺) → {𝑎} = {(0g𝐺)})
98oveq1d 7165 . . . 4 (𝑎 = (0g𝐺) → ({𝑎} 𝑁) = ({(0g𝐺)} 𝑁))
109eleq1d 2836 . . 3 (𝑎 = (0g𝐺) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹))
11 nsgmgclem.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12 nsgsubg 18377 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 subgrcl 18351 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
176, 16grpidcl 18198 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
1815, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 nsgmgclem.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
2016, 19lsm02 18865 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
2113, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) = 𝑁)
22 nsgmgclem.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23 nsgmgclem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
2423nsgqus0 31116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁𝐹)
2511, 22, 24syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑁𝐹)
2621, 25eqeltrd 2852 . . 3 (𝜑 → ({(0g𝐺)} 𝑁) ∈ 𝐹)
2710, 18, 26elrabd 3604 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
28 sneq 4532 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g𝐺)𝑦)})
2928oveq1d 7165 . . . . 5 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → ({𝑎} 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
3029eleq1d 2836 . . . 4 (𝑎 = (𝑥(+g𝐺)𝑦) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹))
3115ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32 elrabi 3596 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥𝐵)
3332ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥𝐵)
34 elrabi 3596 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦𝐵)
3534adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦𝐵)
36 eqid 2758 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
376, 36grpcl 18177 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3831, 33, 35, 37syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
3913ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
406, 19, 39, 38quslsm 31114 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁))
4111ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑄) = (+g𝑄)
4323, 6, 36, 42qusadd 18404 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4441, 33, 35, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
4522ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
466, 19, 39, 33quslsm 31114 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
47 sneq 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
4847oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
4948eleq1d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5049elrab 3602 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹))
5150simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5251ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
5346, 52eqeltrd 2852 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
546, 19, 39, 35quslsm 31114 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
55 sneq 4532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
5655oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} 𝑁) = ({𝑦} 𝑁))
5756eleq1d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5857elrab 3602 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦𝐵 ∧ ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹))
5958simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6059adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} 𝑁) ∈ 𝐹)
6154, 60eqeltrd 2852 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6242subgcl 18356 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6345, 53, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
6444, 63eqeltrrd 2853 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
6540, 64eqeltrrd 2853 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g𝐺)𝑦)} 𝑁) ∈ 𝐹)
6630, 38, 65elrabd 3604 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
67663impa 1107 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
68 sneq 4532 . . . . . . 7 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg𝐺)‘𝑥)})
6968oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
7069eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑎 = ((invg𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹))
71 eqid 2758 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
726, 71grpinvcl 18218 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7315, 72sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7473adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (invg𝑄) = (invg𝑄)
7623, 6, 71, 75qusinv 18406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7711, 76sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
7813adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
806, 19, 78, 79quslsm 31114 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} 𝑁))
8180fveq2d 6662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)))
826, 19, 78, 73quslsm 31114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → [((invg𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8377, 81, 823eqtr3d 2801 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8483adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) = ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁))
8522ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)
8775subginvcl 18355 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8885, 86, 87syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝑄)‘({𝑥} 𝑁)) ∈ 𝐹)
8984, 88eqeltrrd 2853 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg𝐺)‘𝑥)} 𝑁) ∈ 𝐹)
9070, 74, 89elrabd 3604 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9190anasss 470 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵 ∧ ({𝑥} 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
9250, 91sylan2b 596 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹})
931, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15issubgrpd2 18362 1 (𝜑 → {𝑎𝐵 ∣ ({𝑎} 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  [cec 8297  Basecbs 16541   ↾s cress 16542  +gcplusg 16623  0gc0g 16771   /s cqus 16836  Grpcgrp 18169  invgcminusg 18170  SubGrpcsubg 18340  NrmSGrpcnsg 18341   ~QG cqg 18342  LSSumclsm 18826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-ec 8301  df-qs 8305  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-0g 16773  df-imas 16839  df-qus 16840  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343  df-nsg 18344  df-eqg 18345  df-oppg 18541  df-lsm 18828 This theorem is referenced by:  nsgmgc  31118  nsgqusf1olem2  31120  nsgqusf1olem3  31121
 Copyright terms: Public domain W3C validator