Theorem nsgmgclem 33664

Description: Lemma for nsgmgc 33665. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgclem	⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}))
2		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4042	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6		nsgmgclem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	sseqtrdi 3985	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8		sneq 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → {𝑎} = {(0g‘𝐺)})
9	8	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁))
10	9	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
11		nsgmgclem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12		nsgsubg 19224	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		subgrcl 19197	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
16		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	6, 16	grpidcl 19032	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
19		nsgmgclem.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
20	16, 19	lsm02 19742	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
21	13, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
22		nsgmgclem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23		nsgmgclem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
24	23	nsgqus0 33663	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)
25	11, 22, 24	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)
26	21, 25	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
27	10, 18, 26	elrabd 3661	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
28		sneq 4604	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)})
29	28	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
30	29	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
31	15	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32		elrabi 3655	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		elrabi 3655	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	6, 36	grpcl 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
39	13	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	6, 19, 39, 38	quslsm 33658	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
41	11	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
43	23, 6, 36, 42	qusadd 19259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
44	41, 33, 35, 43	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
45	22	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
46	6, 19, 39, 33	quslsm 33658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
47		sneq 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
48	47	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
49	48	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
50	49	elrab 3659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
51	50	simprbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
52	51	ad2antlr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
53	46, 52	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
54	6, 19, 39, 35	quslsm 33658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
55		sneq 4604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
56	55	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
57	56	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
58	57	elrab 3659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
59	58	simprbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
60	59	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
61	54, 60	eqeltrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
62	42	subgcl 19202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
63	45, 53, 61, 62	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
64	44, 63	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
65	40, 64	eqeltrrd 2870	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
66	30, 38, 65	elrabd 3661	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
67	66	3impa 1125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
68		sneq 4604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg‘𝐺)‘𝑥)})
69	68	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
70	69	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
71		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
72	6, 71	grpinvcl 19054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	15, 72	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
76	23, 6, 71, 75	qusinv 19261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
77	11, 76	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
78	13	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	6, 19, 78, 79	quslsm 33658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
81	80	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)))
82	6, 19, 78, 73	quslsm 33658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
83	77, 81, 82	3eqtr3d 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
84	83	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
85	22	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
87	75	subginvcl 19201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
88	85, 86, 87	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
89	84, 88	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
90	70, 74, 89	elrabd 3661	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
91	90	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
92	50, 91	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
93	1, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15	issubgrpd2 19209	1 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  [cec 8692  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  0_gc0g 17492   /_s cqus 17559  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  SubGrpcsubg 19186  NrmSGrpcnsg 19187   ~_QG cqg 19188  LSSumclsm 19704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-oppg 19416  df-lsm 19706

This theorem is referenced by:  nsgmgc  33665  nsgqusf1olem2  33667  nsgqusf1olem3  33668