Theorem nsgmgclem 32510

Description: Lemma for nsgmgc 32511. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nsgmgclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nsgmgclem.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
nsgmgclem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
nsgmgclem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
nsgmgclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
nsgmgclem	⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   ⊕ ,𝑎   𝐵,𝑎   𝐹,𝑎   𝐺,𝑎   𝑁,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑄(𝑎)

Proof of Theorem nsgmgclem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) = (𝐺 ↾s {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}))
2		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺))
3		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		ssrab2 4076	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ 𝐵)
6		nsgmgclem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	sseqtrdi 4031	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ⊆ (Base‘𝐺))
8		sneq 4637	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → {𝑎} = {(0g‘𝐺)})
9	8	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁))
10	9	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑎 = (0g‘𝐺) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
11		nsgmgclem.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12		nsgsubg 19032	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		subgrcl 19005	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
16		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	6, 16	grpidcl 18846	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
19		nsgmgclem.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
20	16, 19	lsm02 19534	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
21	13, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) = 𝑁)
22		nsgmgclem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
23		nsgmgclem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑁))
24	23	nsgqus0 32509	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄)) → 𝑁 ∈ 𝐹)
25	11, 22, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐹)
26	21, 25	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝐺)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
27	10, 18, 26	elrabd 3684	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
28		sneq 4637	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → {𝑎} = {(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)})
29	28	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
30	29	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
31	15	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐺 ∈ Grp)
32		elrabi 3676	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑥 ∈ 𝐵)
33	32	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑥 ∈ 𝐵)
34		elrabi 3676	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
37	6, 36	grpcl 18823	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
39	13	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
40	6, 19, 39, 38	quslsm 32504	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁))
41	11	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
42		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
43	23, 6, 36, 42	qusadd 19061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
44	41, 33, 35, 43	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) = [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁))
45	22	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
46	6, 19, 39, 33	quslsm 32504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
47		sneq 4637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → {𝑎} = {𝑥})
48	47	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
49	48	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
50	49	elrab 3682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
51	50	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
52	51	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
53	46, 52	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
54	6, 19, 39, 35	quslsm 32504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
55		sneq 4637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑎} = {𝑦})
56	55	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({𝑦} ⊕ 𝑁))
57	56	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
58	57	elrab 3682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
59	58	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({𝑦} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
61	54, 60	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
62	42	subgcl 19010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹 ∧ [𝑦](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
63	45, 53, 61, 62	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ([𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)(+g‘𝑄)[𝑦](𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ 𝐹)
64	44, 63	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → [(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)](𝐺 ~QG 𝑁) ∈ 𝐹)
65	40, 64	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ({(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
66	30, 38, 65	elrabd 3684	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
67	66	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∧ 𝑦 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
68		sneq 4637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → {𝑎} = {((invg‘𝐺)‘𝑥)})
69	68	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → ({𝑎} ⊕ 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
70	69	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((invg‘𝐺)‘𝑥) → (({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹 ↔ ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹))
71		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
72	6, 71	grpinvcl 18868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	15, 72	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
76	23, 6, 71, 75	qusinv 19063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
77	11, 76	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁))
78	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
79		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	6, 19, 78, 79	quslsm 32504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥](𝐺 ~QG 𝑁) = ({𝑥} ⊕ 𝑁))
81	80	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝑁)) = ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)))
82	6, 19, 78, 73	quslsm 32504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [((invg‘𝐺)‘𝑥)](𝐺 ~QG 𝑁) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
83	77, 81, 82	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
84	83	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) = ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁))
85	22	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄))
86		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
87	75	subginvcl 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (SubGrp‘𝑄) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
88	85, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝑄)‘({𝑥} ⊕ 𝑁)) ∈ 𝐹)
89	84, 88	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ({((invg‘𝐺)‘𝑥)} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)
90	70, 74, 89	elrabd 3684	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
91	90	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ({𝑥} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
92	50, 91	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹}) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹})
93	1, 2, 3, 7, 27, 67, 92, 15	issubgrpd2 19016	1 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∈ 𝐵 ∣ ({𝑎} ⊕ 𝑁) ∈ 𝐹} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  [cec 8697  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381   /_s cqus 17447  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  NrmSGrpcnsg 18995   ~_QG cqg 18996  LSSumclsm 19496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-oppg 19204  df-lsm 19498

This theorem is referenced by:  nsgmgc  32511  nsgqusf1olem2  32513  nsgqusf1olem3  32514