Theorem ecqusaddcl 19159

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2		ecqusaddd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ecqusaddd.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ecqusaddd.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 19158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))
6	1	elfvexd 6863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		nsgsubg 19124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
8		subgrcl 19098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
9	1, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	anim1i 621	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11		3anass 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	2, 13	grpcl 18908	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
16		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17	3, 4, 2, 16	quseccl0 19151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
18	6, 15, 17	syl2an2r 691	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
19	5, 18	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  [cec 8631  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   /_s cqus 17460  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21292