Theorem ecqusaddcl 19235

Description: Closure of the addition in a quotient group. (Contributed by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddcl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Proof of Theorem ecqusaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2		ecqusaddd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ecqusaddd.g	. . 3 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
4		ecqusaddd.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	1, 2, 3, 4	ecqusaddd 19234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))
6	1	elfvexd 6904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		nsgsubg 19200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
8		subgrcl 19174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
9	1, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10	9	anim1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11		3anass 1107	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12	10, 11	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	2, 13	grpcl 18984	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17	3, 4, 2, 16	quseccl0 19227	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐴(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝐵) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
18	6, 15, 17	syl2an2r 695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ ∈ (Base‘𝑄))
19	5, 18	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) ∈ (Base‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  [cec 8677  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287   /_s cqus 17536  Grpcgrp 18976  SubGrpcsubg 19163  NrmSGrpcnsg 19164   ~_QG cqg 19165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-ec 8681  df-qs 8685  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-0g 17471  df-imas 17539  df-qus 17540  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-subg 19166  df-nsg 19167  df-eqg 19168

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21370