MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quseccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quseccl 18338
Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusgrp.h 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
quseccl.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
quseccl ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl
StepHypRef Expression
1 ovex 7184 . . . 4 (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V
21ecelqsi 8351 . . 3 (𝑋𝑉 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)))
32adantl 485 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)))
4 qusgrp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
54a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
6 qusadd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
76a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
81a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
9 nsgsubg 18312 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 subgrcl 18286 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
135, 7, 8, 12qusbas 16820 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝐻))
14 quseccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐻)
1513, 14eqtr4di 2877 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)) = 𝐵)
163, 15eleqtrd 2918 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cfv 6345  (class class class)co 7151  [cec 8285   / cqs 8286  Basecbs 16485   /s cqus 16780  Grpcgrp 18105  SubGrpcsubg 18275  NrmSGrpcnsg 18276   ~QG cqg 18277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ec 8289  df-qs 8293  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-imas 16783  df-qus 16784  df-subg 18278  df-nsg 18279
This theorem is referenced by:  qus0  18340  qusinv  18341  qussub  18342  qusghm  18397  qustgplem  22735
  Copyright terms: Public domain W3C validator