Theorem quseccl 18802

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusgrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
qusadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
quseccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7302	. . . 4 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V
2	1	ecelqsi 8537	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)))
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)))
4		qusgrp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐻 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝑆)))
6		qusadd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐺)
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
8	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
9		nsgsubg 18776	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		subgrcl 18750	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
13	5, 7, 8, 12	qusbas 17246	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)) = (Base‘𝐻))
14		quseccl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
15	13, 14	eqtr4di 2798	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑉 / (𝐺 ~QG 𝑆)) = 𝐵)
16	3, 15	eleqtrd 2843	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → [𝑋](𝐺 ~QG 𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  [cec 8471   / cqs 8472  Basecbs 16902   /_s cqus 17206  Grpcgrp 18567  SubGrpcsubg 18739  NrmSGrpcnsg 18740   ~_QG cqg 18741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-ec 8475  df-qs 8479  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-sup 9171  df-inf 9172  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-fz 13231  df-struct 16838  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-imas 17209  df-qus 17210  df-subg 18742  df-nsg 18743

This theorem is referenced by:  qus0  18804  qusinv  18805  qussub  18806  qusghm  18861  qustgplem  23262