MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsext 20669
Description: For any linearly independent subset 𝐢 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
lbsex.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lbsex.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lbsext ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐢 βŠ† 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐽 𝐢 βŠ† 𝑠)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝐢   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,π‘₯   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem lbsext
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
32pwex 5339 . . . 4 𝒫 𝑉 ∈ V
4 numth3 10414 . . . 4 (𝒫 𝑉 ∈ V β†’ 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . 3 𝒫 𝑉 ∈ dom card
65jctr 526 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (π‘Š ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card))
7 lbsex.j . . 3 𝐽 = (LBasisβ€˜π‘Š)
8 lbsex.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
97, 1, 8lbsextg 20668 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐢 βŠ† 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐽 𝐢 βŠ† 𝑠)
106, 9syl3an1 1164 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐢 βŠ† 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝐢 βˆ– {π‘₯}))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐽 𝐢 βŠ† 𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  cardccrd 9879  Basecbs 17091  LSpanclspn 20476  LBasisclbs 20579  LVecclvec 20607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lbs 20580  df-lvec 20608
This theorem is referenced by:  islinds4  21264
  Copyright terms: Public domain W3C validator