MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvmul0or 29903
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmul0or.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmul0or.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvmul0or.6 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmul0or ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
Proof of Theorem nvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . . . 5 (𝐴 β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7417 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4 recid2 11887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
54oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
653ad2antl2 1187 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
7 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
8 reccl 11879 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
983ad2antl2 1187 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
10 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
12 nvmul0or.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 nvmul0or.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1412, 13nvsass 29881 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
157, 9, 10, 11, 14syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
1612, 13nvsid 29880 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
17163adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
196, 15, 183eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
2019adantlr 714 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
21 nvmul0or.6 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
2213, 21nvsz 29891 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
238, 22sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0)) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2423anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25243adantl3 1169 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2625adantlr 714 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
273, 20, 263eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 = 𝑍)
2827ex 414 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
291, 28biimtrrid 242 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
3029orrd 862 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍))
3130ex 414 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
3212, 13, 21nv0 29890 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (0𝑆𝐡) = 𝑍)
33 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (0𝑆𝐡))
3433eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐡) = 𝑍))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
36353adant2 1132 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
3713, 21nvsz 29891 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴𝑆𝑍))
3938eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝐡 = 𝑍 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
41403adant3 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4236, 41jaod 858 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4331, 42impbid 211 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30046
  Copyright terms: Public domain W3C validator