Theorem nvmul0or 30669

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmul0or.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmul0or.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmul0or.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmul0or	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
3	2	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4		recid2 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
6	5	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
7		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
8		reccl 11929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ 𝑋)
12		nvmul0or.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13		nvmul0or.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14	12, 13	nvsass 30647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
15	7, 9, 10, 11, 14	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
16	12, 13	nvsid 30646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
17	16	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
19	6, 15, 18	3eqtr3d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
20	19	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
21		nvmul0or.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
22	13, 21	nvsz 30657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
23	8, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
24	23	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25	24	3adantl3 1169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
26	25	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
27	3, 20, 26	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 𝑍)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 𝑍))
29	1, 28	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 𝑍))
30	29	orrd 864	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍))
31	30	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
32	12, 13, 21	nv0 30656	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐵) = 𝑍)
33		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = (0𝑆𝐵))
34	33	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐵) = 𝑍))
35	32, 34	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
36	35	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
37	13, 21	nvsz 30657	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴𝑆𝑍))
39	38	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
40	37, 39	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
41	40	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
42	36, 41	jaod 860	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍) → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
43	31, 42	impbid 212	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605   ·_𝑠OLD cns 30606  0_veccn0v 30607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30812