MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvmul0or 29941
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmul0or.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmul0or.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvmul0or.6 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmul0or ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
Proof of Theorem nvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
32ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4 recid2 11889 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
54oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
653ad2antl2 1186 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
7 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
8 reccl 11881 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
983ad2antl2 1186 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
10 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
12 nvmul0or.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 nvmul0or.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1412, 13nvsass 29919 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
157, 9, 10, 11, 14syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
1612, 13nvsid 29918 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
17163adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
196, 15, 183eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
2019adantlr 713 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
21 nvmul0or.6 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
2213, 21nvsz 29929 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
238, 22sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0)) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2423anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25243adantl3 1168 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2625adantlr 713 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
273, 20, 263eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 = 𝑍)
2827ex 413 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
291, 28biimtrrid 242 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
3029orrd 861 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍))
3130ex 413 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
3212, 13, 21nv0 29928 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (0𝑆𝐡) = 𝑍)
33 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (0𝑆𝐡))
3433eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐡) = 𝑍))
3532, 34syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
36353adant2 1131 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
3713, 21nvsz 29929 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38 oveq2 7419 . . . . . 6 (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴𝑆𝑍))
3938eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝐡 = 𝑍 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
4037, 39syl5ibrcom 246 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
41403adant3 1132 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4236, 41jaod 857 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4331, 42impbid 211 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11873  NrmCVeccnv 29875  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  0veccn0v 29879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30084
  Copyright terms: Public domain W3C validator