Theorem nvmul0or 30721

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmul0or.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmul0or.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmul0or.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmul0or	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2933	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
3	2	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4		recid2 11824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
6	5	3ad2antl2 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
7		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
8		reccl 11816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ 𝑋)
12		nvmul0or.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13		nvmul0or.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14	12, 13	nvsass 30699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
15	7, 9, 10, 11, 14	syl13anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
16	12, 13	nvsid 30698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
17	16	3adant2 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
19	6, 15, 18	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
20	19	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
21		nvmul0or.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
22	13, 21	nvsz 30709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
23	8, 22	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
24	23	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25	24	3adantl3 1170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
26	25	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
27	3, 20, 26	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 𝑍)
28	27	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 𝑍))
29	1, 28	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 𝑍))
30	29	orrd 864	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍))
31	30	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
32	12, 13, 21	nv0 30708	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐵) = 𝑍)
33		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = (0𝑆𝐵))
34	33	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐵) = 𝑍))
35	32, 34	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
36	35	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
37	13, 21	nvsz 30709	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴𝑆𝑍))
39	38	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
40	37, 39	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
41	40	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
42	36, 41	jaod 860	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍) → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
43	31, 42	impbid 212	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  NrmCVeccnv 30655  BaseSetcba 30657   ·_𝑠OLD cns 30658  0_veccn0v 30659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-nmcv 30671

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  30864