MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmul0or 29641
Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmul0or.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmul0or.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvmul0or.6 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmul0or ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . . . 5 (𝐴 β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7369 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4 recid2 11836 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴) Β· 𝐴) = 1)
54oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
653ad2antl2 1187 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = (1𝑆𝐡))
7 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
8 reccl 11828 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
983ad2antl2 1187 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
10 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
12 nvmul0or.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
13 nvmul0or.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1412, 13nvsass 29619 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
157, 9, 10, 11, 14syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((1 / 𝐴) Β· 𝐴)𝑆𝐡) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)))
1612, 13nvsid 29618 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
17163adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
1817adantr 482 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (1𝑆𝐡) = 𝐡)
196, 15, 183eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
2019adantlr 714 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐡)) = 𝐡)
21 nvmul0or.6 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
2213, 21nvsz 29629 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
238, 22sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0)) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2423anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25243adantl3 1169 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2625adantlr 714 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
273, 20, 263eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐡 = 𝑍)
2827ex 414 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
291, 28biimtrrid 242 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (Β¬ 𝐴 = 0 β†’ 𝐡 = 𝑍))
3029orrd 862 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍) β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍))
3130ex 414 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 β†’ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
3212, 13, 21nv0 29628 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (0𝑆𝐡) = 𝑍)
33 oveq1 7368 . . . . . 6 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (0𝑆𝐡))
3433eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐡) = 𝑍))
3532, 34syl5ibrcom 247 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
36353adant2 1132 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
3713, 21nvsz 29629 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴𝑆𝑍))
3938eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝐡 = 𝑍 β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
4037, 39syl5ibrcom 247 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
41403adant3 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 = 𝑍 β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4236, 41jaod 858 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = 𝑍))
4331, 42impbid 211 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝑆𝐡) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐡 = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   / cdiv 11820  NrmCVeccnv 29575  BaseSetcba 29577   ·𝑠OLD cns 29578  0veccn0v 29579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-grpo 29484  df-gid 29485  df-ginv 29486  df-ablo 29536  df-vc 29550  df-nv 29583  df-va 29586  df-ba 29587  df-sm 29588  df-0v 29589  df-nmcv 29591
This theorem is referenced by:  nmlno0lem  29784
  Copyright terms: Public domain W3C validator