Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmul0or 28537
 Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmul0or.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmul0or.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvmul0or.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmul0or ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2952 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 7163 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
32ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4 recid2 11356 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
54oveq1d 7170 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
653ad2antl2 1183 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
7 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
8 reccl 11348 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
983ad2antl2 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵𝑋)
12 nvmul0or.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 nvmul0or.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1412, 13nvsass 28515 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
157, 9, 10, 11, 14syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
1612, 13nvsid 28514 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
17163adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
1817adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
196, 15, 183eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
2019adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
21 nvmul0or.6 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0vec𝑈)
2213, 21nvsz 28525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
238, 22sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2423anassrs 471 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25243adantl3 1165 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2625adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
273, 20, 263eqtr3d 2801 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 𝑍)
2827ex 416 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 𝑍))
291, 28syl5bir 246 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 𝑍))
3029orrd 860 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍))
3130ex 416 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
3212, 13, 21nv0 28524 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (0𝑆𝐵) = 𝑍)
33 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = (0𝑆𝐵))
3433eqeq1d 2760 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐵) = 𝑍))
3532, 34syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
36353adant2 1128 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
3713, 21nvsz 28525 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38 oveq2 7163 . . . . . 6 (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴𝑆𝑍))
3938eqeq1d 2760 . . . . 5 (𝐵 = 𝑍 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
4037, 39syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
41403adant3 1129 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
4236, 41jaod 856 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍) → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
4331, 42impbid 215 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   · cmul 10585   / cdiv 11340  NrmCVeccnv 28471  BaseSetcba 28473   ·𝑠OLD cns 28474  0veccn0v 28475 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-grpo 28380  df-gid 28381  df-ginv 28382  df-ablo 28432  df-vc 28446  df-nv 28479  df-va 28482  df-ba 28483  df-sm 28484  df-0v 28485  df-nmcv 28487 This theorem is referenced by:  nmlno0lem  28680
 Copyright terms: Public domain W3C validator