MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolss 24068
Description: The volume of a set is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolss ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))

Proof of Theorem ovolss
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . 2 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
2 eqid 2821 . 2 {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
31, 2ovolsslem 24067 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ) → (vol*‘𝐴) ≤ (vol*‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wrex 3127  {crab 3130  cin 3909  wss 3910   cuni 4811   class class class wbr 5039   × cxp 5526  ran crn 5529  ccom 5532  cfv 6328  (class class class)co 7130  m cmap 8381  supcsup 8880  cr 10513  1c1 10515   + caddc 10517  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847  cn 11615  (,)cioo 12716  seqcseq 13352  abscabs 14572  vol*covol 24045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-ovol 24047
This theorem is referenced by:  ovolsscl  24069  ovolssnul  24070  ovolunnul  24083  ovolicopnf  24107  ovolre  24108  volss  24116  nulmbl  24118  nulmbl2  24119  voliunlem1  24133  volsup  24139  ioorcl2  24155  uniioovol  24162  uniiccvol  24163  uniioombllem3  24168  uniioombllem5  24170  dyadss  24177  volcn  24189  vitalilem4  24194  vitalilem5  24195  itg1climres  24297  itg2gt0  24343  ftc1a  24619  mblfinlem3  34982  mblfinlem4  34983  ismblfin  34984
  Copyright terms: Public domain W3C validator