Theorem ovolcl 25379

Description: The volume of a set is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolcl	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem ovolcl

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
2	1	ovolval 25374	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) = inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
3		ssrab2 4043	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ*
4		infxrcl 13294	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))} ⊆ ℝ* → inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
6	2, 5	eqeltrdi 2836	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   × cxp 5636  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  supcsup 9391  infcinf 9392  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕcn 12186  (,)cioo 13306  seqcseq 13966  abscabs 15200  vol*covol 25363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-ovol 25365

This theorem is referenced by:  ovolf  25383  ovollecl  25384  ovolsslem  25385  ovolssnul  25388  ovollb2lem  25389  ovollb2  25390  ovolctb  25391  ovolun  25400  ovolunnul  25401  ovoliunlem2  25404  ovoliun  25406  ovoliunnul  25408  ovolscalem1  25414  ovolscalem2  25415  ovolicc1  25417  ovolicc  25424  ovolicopnf  25425  ovolre  25426  voliunlem3  25453  volsup  25457  uniioovol  25480  uniiccvol  25481  vitalilem4  25512  vitalilem5  25513  itg2gt0  25661  itg2cnlem2  25663  ftc1a  25944  mblfinlem3  37653  mblfinlem4  37654  ismblfin  37655  ovoliunnfl  37656  volsupnfl  37659  ismbl3  45984  ovolsplit  45986  ismbl4  45991