MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfisnn0 27838
Description: The degree of a vertex in a graph of finite size is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisnn0 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfisnn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdg0e.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdgfisnn0.a . . 3 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgfival 27832 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
5 rabfi 9020 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin)
6 hashcl 14067 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
8 rabfi 9020 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
9 hashcl 14067 . . . . 5 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
117, 10nn0addcld 12295 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) ∈ ℕ0)
1211adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) ∈ ℕ0)
134, 12eqeltrd 2841 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  {crab 3070  {csn 4567  dom cdm 5589  cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8714   + caddc 10873  0cn0 12231  chash 14040  Vtxcvtx 27362  iEdgciedg 27363  VtxDegcvtxdg 27828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-xadd 12846  df-hash 14041  df-vtxdg 27829
This theorem is referenced by:  vtxdgfisf  27839  vtxdfiun  27845  vdegp1bi  27900  vtxdginducedm1fi  27907  finsumvtxdg2ssteplem4  27911  finsumvtxdg2sstep  27912  vtxdgoddnumeven  27916
  Copyright terms: Public domain W3C validator