MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfisnn0 26840
Description: The degree of a vertex in a graph of finite size is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisnn0 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfisnn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdg0e.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdgfisnn0.a . . 3 𝐴 = dom 𝐼
41, 2, 3vtxdgfival 26834 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
5 rabfi 8475 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin)
6 hashcl 13468 . . . . 5 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0)
8 rabfi 8475 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin)
9 hashcl 13468 . . . . 5 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0)
117, 10nn0addcld 11711 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) ∈ ℕ0)
1211adantr 474 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) + (♯‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) ∈ ℕ0)
134, 12eqeltrd 2859 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  {csn 4398  dom cdm 5357  cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243   + caddc 10277  0cn0 11647  chash 13441  Vtxcvtx 26361  iEdgciedg 26362  VtxDegcvtxdg 26830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-xadd 12263  df-hash 13442  df-vtxdg 26831
This theorem is referenced by:  vtxdgfisf  26841  vtxdfiun  26847  vdegp1bi  26902  vtxdginducedm1fi  26909  finsumvtxdg2ssteplem4  26913  finsumvtxdg2sstep  26914  vtxdgoddnumeven  26918
  Copyright terms: Public domain W3C validator