Theorem clwwlknonfin 29943

Description: In a finite graph 𝐺, the set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlknonfin.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonfin	⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknonfin

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 29939	. 2 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
2		clwwlknonfin.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	eleq1i 2816	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		clwwlknfi 29894	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
5	3, 4	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6		rabfi 9287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
8	1, 7	eqeltrid 2829	1 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  0cc0 11133  Vtxcvtx 28848   ClWWalksN cclwwlkn 29873  ClWWalksNOncclwwlknon 29936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-word 14492  df-clwwlk 29831  df-clwwlkn 29874  df-clwwlknon 29937

This theorem is referenced by:  numclwwlk1  30210  clwlknon2num  30217  numclwlk1lem2  30219  numclwwlk3lem2  30233  numclwwlk3  30234  numclwwlk4  30235  numclwwlk5  30237  numclwwlk6  30239