Theorem clwwlknonfin 28149

Description: In a finite graph 𝐺, the set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
clwwlknonfin.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonfin	⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem clwwlknonfin

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon 28145	. 2 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
2		clwwlknonfin.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	eleq1i 2824	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		clwwlknfi 28100	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
5	3, 4	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6		rabfi 8889	. . 3 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
8	1, 7	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3058  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Fincfn 8615  0cc0 10712  Vtxcvtx 27059   ClWWalksN cclwwlkn 28079  ClWWalksNOncclwwlknon 28142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-oadd 8195  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-word 14053  df-clwwlk 28037  df-clwwlkn 28080  df-clwwlknon 28143

This theorem is referenced by:  numclwwlk1  28416  clwlknon2num  28423  numclwlk1lem2  28425  numclwwlk3lem2  28439  numclwwlk3  28440  numclwwlk4  28441  numclwwlk5  28443  numclwwlk6  28445