Theorem usgrfilem 27117

Description: In a finite simple graph, the number of edges is finite iff the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrfilem.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
usgrfilem	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem usgrfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfilem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
2		rabfi 8727	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2894	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
4		uncom 4080	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
5		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
6	5, 1	elnelun 4297	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
7	4, 6	eqtr2i 2822	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
8		fusgredgfi.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		fusgredgfi.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	8, 9	fusgredgfi 27115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
11	10	anim1ci 618	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12		unfi 8769	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrid 2894	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
15	14	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
16	3, 15	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  {crab 3110   ∪ cun 3879  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840  FinUSGraphcfusgr 27106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-edg 26841  df-upgr 26875  df-uspgr 26943  df-usgr 26944  df-fusgr 27107

This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  27119  cusgrsizeinds  27242