Theorem usgrfilem 27694

Description: In a finite simple graph, the number of edges is finite iff the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrfilem.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
usgrfilem	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem usgrfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfilem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
2		rabfi 9044	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
4		uncom 4087	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
6	5, 1	elnelun 4323	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
7	4, 6	eqtr2i 2767	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
8		fusgredgfi.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		fusgredgfi.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	8, 9	fusgredgfi 27692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
11	10	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12		unfi 8955	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
15	14	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
16	3, 15	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  {crab 3068   ∪ cun 3885  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  FinUSGraphcfusgr 27683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-upgr 27452  df-uspgr 27520  df-usgr 27521  df-fusgr 27684

This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  27696  cusgrsizeinds  27819