Theorem usgrfilem 29938

Description: In a finite simple graph, the number of edges is finite iff the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrfilem.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
usgrfilem	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem usgrfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfilem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
2		rabfi 9290	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒} ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
4		uncom 4160	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
6	5, 1	elnelun 4346	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
7	4, 6	eqtr2i 2787	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
8		fusgredgfi.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9		fusgredgfi.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	8, 9	fusgredgfi 29936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
11	10	anim1ci 628	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin))
12		unfi 9214	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
15	14	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
16	3, 15	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {crab 3416   ∪ cun 4152  ‘cfv 6558  Fincfn 9001  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  FinUSGraphcfusgr 29927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-edg 29656  df-upgr 29690  df-uspgr 29761  df-usgr 29762  df-fusgr 29928

This theorem is used by:  fusgrfisstep  29940  cusgrsizeinds  30063