Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrfilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrfilem 27025
 Description: In a finite simple graph, the number of edges is finite iff the number of edges not containing one of the vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgredgfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrfilem.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
usgrfilem ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem usgrfilem
StepHypRef Expression
1 usgrfilem.f . . 3 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
2 rabfi 8735 . . 3 (𝐸 ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
31, 2eqeltrid 2921 . 2 (𝐸 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin)
4 uncom 4132 . . . . 5 (𝐹 ∪ {𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)
5 eqid 2825 . . . . . 6 {𝑒𝐸𝑁𝑒} = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
65, 1elnelun 4346 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
74, 6eqtr2i 2849 . . . 4 𝐸 = (𝐹 ∪ {𝑒𝐸𝑁𝑒})
8 fusgredgfi.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9 fusgredgfi.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
108, 9fusgredgfi 27023 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
1110anim1ci 615 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin))
12 unfi 8777 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Fin ∧ {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒𝐸𝑁𝑒}) ∈ Fin)
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∪ {𝑒𝐸𝑁𝑒}) ∈ Fin)
147, 13eqeltrid 2921 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
1514ex 413 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐹 ∈ Fin → 𝐸 ∈ Fin))
163, 15impbid2 227 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3127  {crab 3146   ∪ cun 3937  ‘cfv 6351  Fincfn 8501  Vtxcvtx 26697  Edgcedg 26748  FinUSGraphcfusgr 27014 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-hash 13684  df-edg 26749  df-upgr 26783  df-uspgr 26851  df-usgr 26852  df-fusgr 27015 This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  27027  cusgrsizeinds  27150
 Copyright terms: Public domain W3C validator