Theorem numclwwlk3lem2 30403

Description: Lemma 1 for numclwwlk3 30404: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk3lem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem2	⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3lem2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
2		numclwwlk3lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
3	1, 2	numclwwlk3lem2lem 30402	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
4	3	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
5	4	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))))
6	2	numclwwlkovh0 30391	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
7	6	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9	8	fusgrvtxfi 29336	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	8	clwwlknonfin 30113	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12		rabfi 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
15	1	2clwwlk 30366	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
16	15	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
17		rabfi 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
18	10, 11, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
19	16, 18	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin)
20	7, 16	ineq12d 4221	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
21		inrab 4316	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
22		exmid 895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
23		ianor 984	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
24		nne 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
25	24	orbi1i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
26	23, 25	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
27	22, 26	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
28	27	rgenw 3065	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
29		rabeq0 4388	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
30	28, 29	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅
31	21, 30	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = ∅
32	20, 31	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅)
33		hashun 14421	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
34	14, 19, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
35	5, 34	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985   + caddc 11158   − cmin 11492  2c2 12321  ℤ_≥cuz 12878  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  FinUSGraphcfusgr 29333  ClWWalksNOncclwwlknon 30106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-fusgr 29334  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044  df-clwwlknon 30107

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30404