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Theorem numclwwlk3lem2 29905
Description: Lemma 1 for numclwwlk3 29906: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk3lem2.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3lem2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3lem2.c . . . . 5 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
2 numclwwlk3lem2.h . . . . 5 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
31, 2numclwwlk3lem2lem 29904 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
43adantll 711 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
54fveq2d 6895 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))))
62numclwwlkovh0 29893 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
76adantll 711 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
98fusgrvtxfi 28844 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
109ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
118clwwlknonfin 29615 . . . . 5 ((Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
12 rabfi 9273 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
147, 13eqeltrd 2832 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
1512clwwlk 29868 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
1615adantll 711 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
17 rabfi 9273 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1810, 11, 173syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1916, 18eqeltrd 2832 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin)
207, 16ineq12d 4213 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}))
21 inrab 4306 . . . . 5 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)}
22 exmid 892 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
23 ianor 979 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
24 nne 2943 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ↔ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2524orbi1i 911 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . 8 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2722, 26mpbir 230 . . . . . . 7 Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2827rgenw 3064 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
29 rabeq0 4384 . . . . . 6 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
3028, 29mpbir 230 . . . . 5 {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ…
3121, 30eqtri 2759 . . . 4 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = βˆ…
3220, 31eqtrdi 2787 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…)
33 hashun 14347 . . 3 (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
3414, 19, 32, 33syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
355, 34eqtrd 2771 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Fincfn 8943   + caddc 11117   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  β„€β‰₯cuz 12827  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28524  FinUSGraphcfusgr 28841  ClWWalksNOncclwwlknon 29608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-fusgr 28842  df-clwwlk 29503  df-clwwlkn 29546  df-clwwlknon 29609
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  29906
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