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Theorem numclwwlk3lem2 29370
Description: Lemma 1 for numclwwlk3 29371: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk3lem2.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3lem2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3lem2.c . . . . 5 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
2 numclwwlk3lem2.h . . . . 5 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
31, 2numclwwlk3lem2lem 29369 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
43adantll 713 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
54fveq2d 6851 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))))
62numclwwlkovh0 29358 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
76adantll 713 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
98fusgrvtxfi 28309 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
118clwwlknonfin 29080 . . . . 5 ((Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
12 rabfi 9220 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
147, 13eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
1512clwwlk 29333 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
1615adantll 713 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
17 rabfi 9220 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1810, 11, 173syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1916, 18eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin)
207, 16ineq12d 4178 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}))
21 inrab 4271 . . . . 5 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)}
22 exmid 894 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
23 ianor 981 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
24 nne 2948 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ↔ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2524orbi1i 913 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . 8 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2722, 26mpbir 230 . . . . . . 7 Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2827rgenw 3069 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
29 rabeq0 4349 . . . . . 6 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
3028, 29mpbir 230 . . . . 5 {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ…
3121, 30eqtri 2765 . . . 4 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = βˆ…
3220, 31eqtrdi 2793 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…)
33 hashun 14289 . . 3 (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
3414, 19, 32, 33syl3anc 1372 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
355, 34eqtrd 2777 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Fincfn 8890   + caddc 11061   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„€β‰₯cuz 12770  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  FinUSGraphcfusgr 28306  ClWWalksNOncclwwlknon 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-fusgr 28307  df-clwwlk 28968  df-clwwlkn 29011  df-clwwlknon 29074
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  29371
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