Theorem numclwwlk3lem2 30532

Description: Lemma 1 for numclwwlk3 30533: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk3lem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem2	⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3lem2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
2		numclwwlk3lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
3	1, 2	numclwwlk3lem2lem 30531	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
4	3	adantll 724	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
5	4	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))))
6	2	numclwwlkovh0 30520	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
7	6	adantll 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9	8	fusgrvtxfi 29466	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	8	clwwlknonfin 30242	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12		rabfi 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
15	1	2clwwlk 30495	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
16	15	adantll 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
17		rabfi 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
18	10, 11, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
19	16, 18	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin)
20	7, 16	ineq12d 4173	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
21		inrab 4268	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
22		exmid 905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
23		ianor 994	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
24		nne 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
25	24	orbi1i 924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
26	23, 25	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
27	22, 26	mpbir 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
28	27	rgenw 3079	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
29		rabeq0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
30	28, 29	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅
31	21, 30	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = ∅
32	20, 31	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅)
33		hashun 14392	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
34	14, 19, 32, 33	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
35	5, 34	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  {crab 3413   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  Fincfn 8923   + caddc 11073   − cmin 11411  2c2 12269  ℤ_≥cuz 12836  ♯chash 14340  Vtxcvtx 29143  FinUSGraphcfusgr 29463  ClWWalksNOncclwwlknon 30235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-fusgr 29464  df-clwwlk 30130  df-clwwlkn 30173  df-clwwlknon 30236

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30533