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Theorem numclwwlk3lem2 29637
Description: Lemma 1 for numclwwlk3 29638: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk3lem2.c 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3lem2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑀   𝑛,𝑁,𝑣,𝑀   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑀)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3lem2.c . . . . 5 𝐢 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) = 𝑣})
2 numclwwlk3lem2.h . . . . 5 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↦ {𝑀 ∈ (𝑣(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑛) ∣ (π‘€β€˜(𝑛 βˆ’ 2)) β‰  𝑣})
31, 2numclwwlk3lem2lem 29636 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
43adantll 713 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁)))
54fveq2d 6896 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))))
62numclwwlkovh0 29625 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
76adantll 713 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋})
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
98fusgrvtxfi 28576 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
118clwwlknonfin 29347 . . . . 5 ((Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin β†’ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin)
12 rabfi 9269 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∈ Fin)
147, 13eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
1512clwwlk 29600 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
1615adantll 713 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋})
17 rabfi 9269 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∈ Fin β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1810, 11, 173syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1916, 18eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin)
207, 16ineq12d 4214 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}))
21 inrab 4307 . . . . 5 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)}
22 exmid 894 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
23 ianor 981 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
24 nne 2945 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ↔ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2524orbi1i 913 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2623, 25bitri 275 . . . . . . . 8 (Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋) ↔ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋 ∨ Β¬ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
2722, 26mpbir 230 . . . . . . 7 Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
2827rgenw 3066 . . . . . 6 βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)
29 rabeq0 4385 . . . . . 6 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) Β¬ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋))
3028, 29mpbir 230 . . . . 5 {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ ((π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋 ∧ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋)} = βˆ…
3121, 30eqtri 2761 . . . 4 ({𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) β‰  𝑋} ∩ {𝑀 ∈ (𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁) ∣ (π‘€β€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑋}) = βˆ…
3220, 31eqtrdi 2789 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…)
33 hashun 14342 . . 3 (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐢𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐢𝑁)) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
3414, 19, 32, 33syl3anc 1372 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜((𝑋𝐻𝑁) βˆͺ (𝑋𝐢𝑁))) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
355, 34eqtrd 2773 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (β™―β€˜(𝑋(ClWWalksNOnβ€˜πΊ)𝑁)) = ((β™―β€˜(𝑋𝐻𝑁)) + (β™―β€˜(𝑋𝐢𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Fincfn 8939   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β„€β‰₯cuz 12822  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  FinUSGraphcfusgr 28573  ClWWalksNOncclwwlknon 29340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-fusgr 28574  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  29638
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