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Theorem numclwwlk3lem2 27769
Description: Lemma 1 for numclwwlk3 27770: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk3lem2.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3lem2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2
StepHypRef Expression
1 numclwwlk3lem2.c . . . . 5 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
2 numclwwlk3lem2.h . . . . 5 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
31, 2numclwwlk3lem2lem 27768 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
43adantll 706 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
54fveq2d 6415 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))))
62numclwwlkovh0 27745 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
76adantll 706 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
8 eqid 2799 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
98fusgrvtxfi 26553 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
109ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
118clwwlknonfin 27432 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
13 rabfi 8427 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
157, 14eqeltrd 2878 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
1612clwwlk 27701 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
1716adantll 706 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
18 rabfi 8427 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
1912, 18syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
2017, 19eqeltrd 2878 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin)
217, 17ineq12d 4013 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
22 inrab 4099 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
23 exmid 919 . . . . . . . 8 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
24 ianor 1005 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
25 nne 2975 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2625orbi1i 938 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
2724, 26bitri 267 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
2823, 27mpbir 223 . . . . . . 7 ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
2928rgenw 3105 . . . . . 6 𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
30 rabeq0 4157 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
3129, 30mpbir 223 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅
3222, 31eqtri 2821 . . . 4 ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = ∅
3321, 32syl6eq 2849 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅)
34 hashun 13421 . . 3 (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
3515, 20, 33, 34syl3anc 1491 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
365, 35eqtrd 2833 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  {crab 3093  cun 3767  cin 3768  c0 4115  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  Fincfn 8195   + caddc 10227  cmin 10556  2c2 11368  cuz 11930  chash 13370  Vtxcvtx 26231  FinUSGraphcfusgr 26550  ClWWalksNOncclwwlknon 27423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-word 13535  df-fusgr 26551  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328  df-clwwlknon 27424
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