Theorem numclwwlk3lem2 29391

Description: Lemma 1 for numclwwlk3 29392: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk3lem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem2	⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3lem2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
2		numclwwlk3lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
3	1, 2	numclwwlk3lem2lem 29390	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
4	3	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
5	4	fveq2d 6851	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))))
6	2	numclwwlkovh0 29379	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
7	6	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9	8	fusgrvtxfi 28330	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	8	clwwlknonfin 29101	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12		rabfi 9220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
15	1	2clwwlk 29354	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
16	15	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
17		rabfi 9220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
18	10, 11, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
19	16, 18	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin)
20	7, 16	ineq12d 4178	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
21		inrab 4271	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
22		exmid 893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
23		ianor 980	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
24		nne 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
25	24	orbi1i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
26	23, 25	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
27	22, 26	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
28	27	rgenw 3064	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
29		rabeq0 4349	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
30	28, 29	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅
31	21, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = ∅
32	20, 31	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅)
33		hashun 14292	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
34	14, 19, 32, 33	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
35	5, 34	eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3405   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4287  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Fincfn 8890   + caddc 11063   − cmin 11394  2c2 12217  ℤ_≥cuz 12772  ♯chash 14240  Vtxcvtx 28010  FinUSGraphcfusgr 28327  ClWWalksNOncclwwlknon 29094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-word 14415  df-fusgr 28328  df-clwwlk 28989  df-clwwlkn 29032  df-clwwlknon 29095

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  29392