Theorem numclwwlk3lem2 30872

Description: Lemma 1 for numclwwlk3 30873: The number of closed vertices of a fixed length 𝑁 on a fixed vertex 𝑉 is the sum of the number of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex being 𝑉 and the set of closed walks of length 𝑁 at 𝑉 with the last but one vertex not being 𝑉. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk3lem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
numclwwlk3lem2.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem2	⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwwlk3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk3lem2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
2		numclwwlk3lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
3	1, 2	numclwwlk3lem2lem 30871	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
4	3	adantll 727	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = ((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁)))
5	4	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))))
6	2	numclwwlkovh0 30860	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
7	6	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋})
8		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9	8	fusgrvtxfi 29787	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	8	clwwlknonfin 30572	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
12		rabfi 9245	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∈ Fin)
14	7, 13	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin)
15	1	2clwwlk 30835	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
16	15	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
17		rabfi 9245	. . . . 5 ⊢ ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
18	10, 11, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
19	16, 18	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin)
20	7, 16	ineq12d 4170	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
21		inrab 4265	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
22		exmid 908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
23		ianor 997	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
24		nne 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
25	24	orbi1i 927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
26	23, 25	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
27	22, 26	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
28	27	rgenw 3082	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
29		rabeq0 4341	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ¬ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
30	28, 29	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} = ∅
31	21, 30	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ 𝑋} ∩ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) = ∅
32	20, 31	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅)
33		hashun 14450	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑋𝐶𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑋𝐻𝑁) ∩ (𝑋𝐶𝑁)) = ∅) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
34	14, 19, 32, 33	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘((𝑋𝐻𝑁) ∪ (𝑋𝐶𝑁))) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))
35	5, 34	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋𝐻𝑁)) + (♯‘(𝑋𝐶𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956   + caddc 11131   − cmin 11469  2c2 12323  ℤ_≥cuz 12891  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  FinUSGraphcfusgr 29784  ClWWalksNOncclwwlknon 30565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-fusgr 29785  df-clwwlk 30460  df-clwwlkn 30503  df-clwwlknon 30566

This theorem is used by:  numclwwlk3  30873