Theorem clwwlknclwwlkdifnum 29942

Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdif.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b	⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdifnum	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknclwwlkdif.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2		clwwlknclwwlkdif.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
4	1, 2, 3	clwwlknclwwlkdif 29941	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
5	4	fveq2i 6829	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7		clwwlknclwwlkdifnum.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eleq1i 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
9	8	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12		wwlksnfi 29869	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
13		rabfi 9172	. . . 4 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
15	7	iswwlksnon 29816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)}
16		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
17	16	rabbii 3402	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
18	15, 17	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
20	2, 19	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
23	22	ss2rabi 4030	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
24	20, 23	eqsstrdi 3982	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
26		hashssdif 14337	. . 3 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
27	14, 25, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
28		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
30		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
32		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	7	rusgrnumwwlkg 29939	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
37	29, 31, 33, 35, 36	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
38	37	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))
39	6, 27, 38	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3396   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11028   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986  ♯chash 14255  lastSclsw 14487  Vtxcvtx 28959   RegUSGraph crusgr 29520   WWalksN cwwlksn 29789   WWalksNOn cwwlksnon 29790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-vtx 28961  df-iedg 28962  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-ushgr 29022  df-upgr 29045  df-umgr 29046  df-uspgr 29113  df-usgr 29114  df-fusgr 29280  df-nbgr 29296  df-vtxdg 29430  df-rgr 29521  df-rusgr 29522  df-wwlks 29793  df-wwlksn 29794  df-wwlksnon 29795

This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  30337