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Theorem clwwlknclwwlkdifnum 29999
Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknclwwlkdif.a 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknclwwlkdifnum (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum
StepHypRef Expression
1 clwwlknclwwlkdif.a . . . . 5 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2 clwwlknclwwlkdif.b . . . . 5 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3 eqid 2737 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
41, 2, 3clwwlknclwwlkdif 29998 . . . 4 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
54fveq2i 6909 . . 3 (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
65a1i 11 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7 clwwlknclwwlkdifnum.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87eleq1i 2832 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
98biimpi 216 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 wwlksnfi 29926 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
13 rabfi 9303 . . . 4 ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
157iswwlksnon 29873 . . . . . . . 8 (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋)}
16 ancom 460 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
1716rabbii 3442 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
1815, 17eqtri 2765 . . . . . . 7 (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
202, 19eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
2322ss2rabi 4077 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
2420, 23eqsstrdi 4028 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
2524adantl 481 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
26 hashssdif 14451 . . 3 (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
2714, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
28 simpl 482 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2928adantr 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
30 simpr 484 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
3130adantr 480 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
32 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋𝑉)
3332adantl 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝑉)
34 simpr 484 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3534adantl 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
367rusgrnumwwlkg 29996 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
3729, 31, 33, 35, 36syl13anc 1374 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
3837oveq1d 7446 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
396, 27, 383eqtrd 2781 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  cmin 11492  0cn0 12526  cexp 14102  chash 14369  lastSclsw 14600  Vtxcvtx 29013   RegUSGraph crusgr 29574   WWalksN cwwlksn 29846   WWalksNOn cwwlksnon 29847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-fusgr 29334  df-nbgr 29350  df-vtxdg 29484  df-rgr 29575  df-rusgr 29576  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wwlksnon 29852
This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  30394
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