Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknclwwlkdifnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknclwwlkdifnum 27444
 Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknclwwlkdif.a 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknclwwlkdifnum (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum
StepHypRef Expression
1 clwwlknclwwlkdif.a . . . . 5 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2 clwwlknclwwlkdif.b . . . . 5 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3 eqid 2797 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
41, 2, 3clwwlknclwwlkdif 27443 . . . 4 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
54fveq2i 6548 . . 3 (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
65a1i 11 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7 clwwlknclwwlkdifnum.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87eleq1i 2875 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
98biimpi 217 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
109adantl 482 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12 wwlksnfi 27370 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
13 rabfi 8596 . . . 4 ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
1411, 12, 133syl 18 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
157iswwlksnon 27317 . . . . . . . 8 (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋)}
16 ancom 461 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
1716rabbii 3421 . . . . . . . 8 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
1815, 17eqtri 2821 . . . . . . 7 (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
1918a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
202, 19syl5eq 2845 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
21 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
2322ss2rabi 3980 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
2420, 23syl6eqss 3948 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
2524adantl 482 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
26 hashssdif 13625 . . 3 (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
2714, 25, 26syl2anc 584 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
28 simpl 483 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2928adantr 481 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
30 simpr 485 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
3130adantr 481 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
32 simpl 483 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋𝑉)
3332adantl 482 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋𝑉)
34 simpr 485 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
367rusgrnumwwlkg 27441 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
3729, 31, 33, 35, 36syl13anc 1365 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾𝑁))
3837oveq1d 7038 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
396, 27, 383eqtrd 2837 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾𝑁) − (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  {crab 3111   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  0cc0 10390   − cmin 10723  ℕ0cn0 11751  ↑cexp 13283  ♯chash 13544  lastSclsw 13764  Vtxcvtx 26468  RegUSGraphcrusgr 27025   WWalksN cwwlksn 27290   WWalksNOn cwwlksnon 27291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-xadd 12362  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-word 13712  df-lsw 13765  df-concat 13773  df-s1 13798  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-vtx 26470  df-iedg 26471  df-edg 26520  df-uhgr 26530  df-ushgr 26531  df-upgr 26554  df-umgr 26555  df-uspgr 26622  df-usgr 26623  df-fusgr 26786  df-nbgr 26802  df-vtxdg 26935  df-rgr 27026  df-rusgr 27027  df-wwlks 27294  df-wwlksn 27295  df-wwlksnon 27296 This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  27842
 Copyright terms: Public domain W3C validator