Theorem clwwlknclwwlkdifnum 27917

Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdif.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b	⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdifnum	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknclwwlkdif.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2		clwwlknclwwlkdif.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
4	1, 2, 3	clwwlknclwwlkdif 27916	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
5	4	fveq2i 6677	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7		clwwlknclwwlkdifnum.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eleq1i 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
9	8	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
12		wwlksnfi 27844	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
13		rabfi 8821	. . . 4 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
15	7	iswwlksnon 27791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)}
16		ancom 464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
17	16	rabbii 3374	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
18	15, 17	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
20	2, 19	syl5eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
21		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
23	22	ss2rabi 3966	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
24	20, 23	eqsstrdi 3931	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
25	24	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
26		hashssdif 13865	. . 3 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
27	14, 25, 26	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
28		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
29	28	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
30		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
31	30	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
32		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	32	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
34		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	7	rusgrnumwwlkg 27914	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
37	29, 31, 33, 35, 36	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
38	37	oveq1d 7185	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))
39	6, 27, 38	3eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  {crab 3057   ∖ cdif 3840   ⊆ wss 3843   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  0cc0 10615   − cmin 10948  ℕ₀cn0 11976  ↑cexp 13521  ♯chash 13782  lastSclsw 14003  Vtxcvtx 26941   RegUSGraph crusgr 27498   WWalksN cwwlksn 27764   WWalksNOn cwwlksnon 27765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-xadd 12591  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-vtx 26943  df-iedg 26944  df-edg 26993  df-uhgr 27003  df-ushgr 27004  df-upgr 27027  df-umgr 27028  df-uspgr 27095  df-usgr 27096  df-fusgr 27259  df-nbgr 27275  df-vtxdg 27408  df-rgr 27499  df-rusgr 27500  df-wwlks 27768  df-wwlksn 27769  df-wwlksnon 27770

This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  28312