Theorem clwwlknclwwlkdifnum 30331

Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdif.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b	⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdifnum	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknclwwlkdif.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2		clwwlknclwwlkdif.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
4	1, 2, 3	clwwlknclwwlkdif 30330	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
5	4	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7		clwwlknclwwlkdifnum.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eleq1i 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
9	8	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11		wwlksnfi 30255	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
12		rabfi 9227	. . . 4 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
14	7	iswwlksnon 30202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)}
15		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
16	15	rabbii 3421	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
17	14, 16	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
19	2, 18	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
20		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
22	21	ss2rabi 4030	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
23	19, 22	eqsstrdi 3981	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
24	23	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
25		hashssdif 14445	. . 3 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
26	13, 24, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
27		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
29		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
31		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	31	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	7	rusgrnumwwlkg 30328	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
36	28, 30, 32, 34, 35	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
37	36	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))
38	6, 26, 37	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  0cc0 11095   − cmin 11436  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  lastSclsw 14595  Vtxcvtx 29346   RegUSGraph crusgr 29906   WWalksN cwwlksn 30175   WWalksNOn cwwlksnon 30176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-vtx 29348  df-iedg 29349  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-ushgr 29409  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-fusgr 29667  df-nbgr 29683  df-vtxdg 29816  df-rgr 29907  df-rusgr 29908  df-wwlks 30179  df-wwlksn 30180  df-wwlksnon 30181

This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  30726