Theorem clwwlknclwwlkdifnum 30271

Description: In a 𝐾-regular graph, the size of the set 𝐴 of walks of length 𝑁 starting with a fixed vertex 𝑋 and ending not at this vertex is the difference between 𝐾 to the power of 𝑁 and the size of the set 𝐵 of closed walks of length 𝑁 anchored at this vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.) (Revised by AV, 8-Mar-2022.) (Proof shortened by AV, 16-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdif.a	⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
clwwlknclwwlkdif.b	⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
clwwlknclwwlkdifnum.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknclwwlkdifnum	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋   𝑤,𝐾   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐵(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknclwwlkdifnum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknclwwlkdif.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}
2		clwwlknclwwlkdif.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
4	1, 2, 3	clwwlknclwwlkdif 30270	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)
5	4	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵))
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)))
7		clwwlknclwwlkdifnum.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	eleq1i 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin ↔ (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
9	8	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
11		wwlksnfi 30195	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
12		rabfi 9230	. . . 4 ⊢ ((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin)
14	7	iswwlksnon 30142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)}
15		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋) ↔ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
16	15	rabbii 3428	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘𝑁) = 𝑋)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
17	14, 16	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑋) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
19	2, 18	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
20		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) → (𝑤‘0) = 𝑋))
22	21	ss2rabi 4038	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘𝑁) = 𝑋 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
23	19, 22	eqsstrdi 3989	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
24	23	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
25		hashssdif 14448	. . 3 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
26	13, 24, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∖ 𝐵)) = ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)))
27		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
29		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑉 ∈ Fin)
31		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	31	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34	33	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	7	rusgrnumwwlkg 30268	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
36	28, 30, 32, 34, 35	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (𝐾↑𝑁))
37	36	oveq1d 7426	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) − (♯‘𝐵)) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))
38	6, 26, 37	3eqtrd 2808	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘𝐴) = ((𝐾↑𝑁) − (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  0cc0 11099   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096  ♯chash 14365  lastSclsw 14598  Vtxcvtx 29286   RegUSGraph crusgr 29846   WWalksN cwwlksn 30115   WWalksNOn cwwlksnon 30116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-disj 5081  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-vtx 29288  df-iedg 29289  df-edg 29338  df-uhgr 29348  df-ushgr 29349  df-upgr 29372  df-umgr 29373  df-uspgr 29440  df-usgr 29441  df-fusgr 29607  df-nbgr 29623  df-vtxdg 29756  df-rgr 29847  df-rusgr 29848  df-wwlks 30119  df-wwlksn 30120  df-wwlksnon 30121

This theorem is referenced by:  numclwwlkqhash  30666