Theorem konigsberglem5 30138

Description: Lemma 5 for konigsberg 30139: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsberglem4 30137	. 2 ⊢ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
5	1	ovexi 7453	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	rabex 5335	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V
7		hashss 14404	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
8	6, 7	mpan 688	. 2 ⊢ ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
9		0ne1 12316	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
10		1re 11246	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		1lt3 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
12	10, 11	ltneii 11359	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
13		3ne0 12351	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
14	9, 12, 13	3pm3.2i 1336	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
15		c0ex 11240	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16		1ex 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
17		3ex 12327	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
18		hashtpg 14482	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
20	14, 19	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (♯‘{0, 1, 3}) = 3
21	20	breq1i 5156	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
22		df-3 12309	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	breq1i 5156	. . . 4 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
24		2z 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		fzfi 13973	. . . . . . . 8 ⊢ (0...3) ∈ Fin
26	1, 25	eqeltri 2821	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ Fin
27		rabfi 9294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
28		hashcl 14351	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
29	26, 27, 28	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
30	29	nn0zi 12620	. . . . 5 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
31		zltp1le 12645	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
32	24, 30, 31	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
33	23, 32	sylbb2 237	. . 3 ⊢ (3 ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
34	21, 33	sylbi 216	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
35	4, 8, 34	mp2b 10	1 ⊢ 2 < (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  {cpr 4632  {ctp 4634  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280   ≤ cle 11281  2c2 12300  3c3 12301  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ...cfz 13519  ♯chash 14325  ⟨“cs7 14833   ∥ cdvds 16234  VtxDegcvtxdg 29351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-s4 14837  df-s5 14838  df-s6 14839  df-s7 14840  df-dvds 16235  df-vtx 28883  df-iedg 28884  df-vtxdg 29352

This theorem is referenced by:  konigsberg  30139