Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem5 28030
 Description: Lemma 5 for konigsberg 28031: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsberglem5 2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5
StepHypRef Expression
1 konigsberg.v . . 3 𝑉 = (0...3)
2 konigsberg.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3 konigsberg.g . . 3 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
41, 2, 3konigsberglem4 28029 . 2 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
51ovexi 7172 . . . 4 𝑉 ∈ V
65rabex 5216 . . 3 {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V
7 hashss 13764 . . 3 (({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
86, 7mpan 689 . 2 ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
9 0ne1 11694 . . . . . 6 0 ≠ 1
10 1re 10626 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 1lt3 11796 . . . . . . 7 1 < 3
1210, 11ltneii 10738 . . . . . 6 1 ≠ 3
13 3ne0 11729 . . . . . 6 3 ≠ 0
149, 12, 133pm3.2i 1336 . . . . 5 (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
15 c0ex 10620 . . . . . 6 0 ∈ V
16 1ex 10622 . . . . . 6 1 ∈ V
17 3ex 11705 . . . . . 6 3 ∈ V
18 hashtpg 13837 . . . . . 6 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3))
1915, 16, 17, 18mp3an 1458 . . . . 5 ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (♯‘{0, 1, 3}) = 3)
2014, 19mpbi 233 . . . 4 (♯‘{0, 1, 3}) = 3
2120breq1i 5054 . . 3 ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
22 df-3 11687 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2322breq1i 5054 . . . 4 (3 ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
24 2z 12000 . . . . 5 2 ∈ ℤ
25 fzfi 13333 . . . . . . . 8 (0...3) ∈ Fin
261, 25eqeltri 2912 . . . . . . 7 𝑉 ∈ Fin
27 rabfi 8727 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
28 hashcl 13711 . . . . . . 7 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . 6 (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
3029nn0zi 11993 . . . . 5 (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
31 zltp1le 12018 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
3224, 30, 31mp2an 691 . . . 4 (2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
3323, 32sylbb2 241 . . 3 (3 ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
3421, 33sylbi 220 . 2 ((♯‘{0, 1, 3}) ≤ (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
354, 8, 34mp2b 10 1 2 < (♯‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  {crab 3136  Vcvv 3479   ⊆ wss 3918  {cpr 4550  {ctp 4552  ⟨cop 4554   class class class wbr 5047  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  Fincfn 8492  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525   < clt 10660   ≤ cle 10661  2c2 11678  3c3 11679  ℕ0cn0 11883  ℤcz 11967  ...cfz 12883  ♯chash 13684  ⟨“cs7 14197   ∥ cdvds 15596  VtxDegcvtxdg 27244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-xadd 12494  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939  df-s2 14199  df-s3 14200  df-s4 14201  df-s5 14202  df-s6 14203  df-s7 14204  df-dvds 15597  df-vtx 26780  df-iedg 26781  df-vtxdg 27245 This theorem is referenced by:  konigsberg  28031
 Copyright terms: Public domain W3C validator