MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem5 29203
Description: Lemma 5 for konigsberg 29204: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
konigsberg.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
Assertion
Ref Expression
konigsberglem5 2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem konigsberglem5
StepHypRef Expression
1 konigsberg.v . . 3 𝑉 = (0...3)
2 konigsberg.e . . 3 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
3 konigsberg.g . . 3 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
41, 2, 3konigsberglem4 29202 . 2 {0, 1, 3} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}
51ovexi 7392 . . . 4 𝑉 ∈ V
65rabex 5290 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V
7 hashss 14310 . . 3 (({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V ∧ {0, 1, 3} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β†’ (β™―β€˜{0, 1, 3}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
86, 7mpan 689 . 2 ({0, 1, 3} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} β†’ (β™―β€˜{0, 1, 3}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
9 0ne1 12225 . . . . . 6 0 β‰  1
10 1re 11156 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 1lt3 12327 . . . . . . 7 1 < 3
1210, 11ltneii 11269 . . . . . 6 1 β‰  3
13 3ne0 12260 . . . . . 6 3 β‰  0
149, 12, 133pm3.2i 1340 . . . . 5 (0 β‰  1 ∧ 1 β‰  3 ∧ 3 β‰  0)
15 c0ex 11150 . . . . . 6 0 ∈ V
16 1ex 11152 . . . . . 6 1 ∈ V
17 3ex 12236 . . . . . 6 3 ∈ V
18 hashtpg 14385 . . . . . 6 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) β†’ ((0 β‰  1 ∧ 1 β‰  3 ∧ 3 β‰  0) ↔ (β™―β€˜{0, 1, 3}) = 3))
1915, 16, 17, 18mp3an 1462 . . . . 5 ((0 β‰  1 ∧ 1 β‰  3 ∧ 3 β‰  0) ↔ (β™―β€˜{0, 1, 3}) = 3)
2014, 19mpbi 229 . . . 4 (β™―β€˜{0, 1, 3}) = 3
2120breq1i 5113 . . 3 ((β™―β€˜{0, 1, 3}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ↔ 3 ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
22 df-3 12218 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2322breq1i 5113 . . . 4 (3 ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ↔ (2 + 1) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
24 2z 12536 . . . . 5 2 ∈ β„€
25 fzfi 13878 . . . . . . . 8 (0...3) ∈ Fin
261, 25eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝑉 ∈ Fin
27 rabfi 9214 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ Fin)
28 hashcl 14257 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ β„•0)
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . 6 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ β„•0
3029nn0zi 12529 . . . . 5 (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ β„€
31 zltp1le 12554 . . . . 5 ((2 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ∈ β„€) β†’ (2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ↔ (2 + 1) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})))
3224, 30, 31mp2an 691 . . . 4 (2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) ↔ (2 + 1) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
3323, 32sylbb2 237 . . 3 (3 ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β†’ 2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
3421, 33sylbi 216 . 2 ((β™―β€˜{0, 1, 3}) ≀ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β†’ 2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
354, 8, 34mp2b 10 1 2 < (β™―β€˜{π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3408  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  {cpr 4589  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190   ≀ cle 11191  2c2 12209  3c3 12210  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  ...cfz 13425  β™―chash 14231  βŸ¨β€œcs7 14736   βˆ₯ cdvds 16137  VtxDegcvtxdg 28416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-concat 14460  df-s1 14485  df-s2 14738  df-s3 14739  df-s4 14740  df-s5 14741  df-s6 14742  df-s7 14743  df-dvds 16138  df-vtx 27952  df-iedg 27953  df-vtxdg 28417
This theorem is referenced by:  konigsberg  29204
  Copyright terms: Public domain W3C validator