Theorem hashwwlksnext 28279

Description: Number of walks (as words) extended by an edge as a sum over the prefixes. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
hashwwlksnext	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝐺   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem hashwwlksnext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
2		wwlksnfi 28271	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
3		ssrab2 4013	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)
4		ssfi 8956	. . . 4 ⊢ (((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
6	1, 5	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑌 ∈ Fin)
7		wwlksnextprop.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8		wwlksnfi 28271	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
9	7, 8	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
10		rabfi 9044	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
13		wwlksnextprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	7, 13, 1	disjxwwlkn 28278	. . 3 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)})
16	6, 12, 15	hashrabrex 15537	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  {cpr 4563  Disj wdisj 5039  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ♯chash 14044  lastSclsw 14265   prefix cpfx 14383  Σcsu 15397  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417   WWalksN cwwlksn 28191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlks  28339