Theorem hashwwlksnext 27687

Description: Number of walks (as words) extended by an edge as a sum over the prefixes. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
hashwwlksnext	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝐺   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem hashwwlksnext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlksnextprop.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
2		wwlksnfi 27678	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
3		ssrab2 4055	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)
4		ssfi 8732	. . . 4 ⊢ (((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ⊆ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} ∈ Fin)
6	1, 5	eqeltrid 2917	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑌 ∈ Fin)
7		wwlksnextprop.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8		wwlksnfi 27678	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
9	7, 8	eqeltrid 2917	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑋 ∈ Fin)
10		rabfi 8737	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
12	11	adantr 483	. 2 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ∈ Fin)
13		wwlksnextprop.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	7, 13, 1	disjxwwlkn 27686	. . 3 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)})
16	6, 12, 15	hashrabrex 15174	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑌 ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}) = Σ𝑦 ∈ 𝑌 (♯‘{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3935  {cpr 4562  Disj wdisj 5023  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ♯chash 13684  lastSclsw 13908   prefix cpfx 14026  Σcsu 15036  Vtxcvtx 26775  Edgcedg 26826   WWalksN cwwlksn 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlks  27747