MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrsizeinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrsizeinds 29305
Description: Part 1 of induction step in cusgrsize 29307. The size of a complete simple graph with 𝑛 vertices is (𝑛 − 1) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsizeinds ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsizeinds
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29271 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrsizeindb0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32isfusgr 29170 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
4 fusgrfis 29182 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
53, 4sylbir 234 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
65a1d 25 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin))
76ex 411 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
81, 7syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
983imp 1108 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10 eqid 2725 . . . . . . 7 {𝑒𝐸𝑁𝑒} = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
11 cusgrsizeinds.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
1210, 11elnelun 4386 . . . . . 6 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
1312eqcomi 2734 . . . . 5 𝐸 = ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)
1413fveq2i 6893 . . . 4 (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹))
1514a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)))
16 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1716eqcomi 2734 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = 𝐸
1817eleq1i 2816 . . . . . 6 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin)
19 rabfi 9287 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2018, 19sylbi 216 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2120adantl 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
221anim1i 613 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2322, 3sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
242, 16, 11usgrfilem 29179 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2523, 24stoic3 1770 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2618, 25bitrid 282 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2726biimpa 475 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
2810, 11elneldisj 4385 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅
2928a1i 11 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅)
30 hashun 14368 . . . 4 (({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin ∧ ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1368 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
322, 16cusgrsizeindslem 29304 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3332adantr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3433oveq1d 7428 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
3515, 31, 343eqtrd 2769 . 2 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
369, 35mpdan 685 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3036  {crab 3419  cun 3939  cin 3940  c0 4319  cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  1c1 11134   + caddc 11136  cmin 11469  chash 14316  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  USGraphcusgr 29001  FinUSGraphcfusgr 29168  ComplUSGraphccusgr 29262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-vtx 28850  df-iedg 28851  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003  df-fusgr 29169  df-nbgr 29185  df-uvtx 29238  df-cplgr 29263  df-cusgr 29264
This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29306
  Copyright terms: Public domain W3C validator