Theorem cusgrsizeinds 29470

Description: Part 1 of induction step in cusgrsize 29472. The size of a complete simple graph with 𝑛 vertices is (𝑛 − 1) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsizeinds	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsizeinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 29436	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		cusgrsizeindb0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	isfusgr 29335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
4		fusgrfis 29347	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
5	3, 4	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
6	5	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin))
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
9	8	3imp 1111	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
11		cusgrsizeinds.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
12	10, 11	elnelun 4393	. . . . . 6 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
13	12	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
14	13	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)))
16		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	16	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = 𝐸
18	17	eleq1i 2832	. . . . . 6 ⊢ ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin)
19		rabfi 9303	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
20	18, 19	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
22	1	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
23	22, 3	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
24	2, 16, 11	usgrfilem 29344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
25	23, 24	stoic3 1776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
26	18, 25	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
27	26	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
28	10, 11	elneldisj 4392	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅)
30		hashun 14421	. . . 4 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin ∧ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅) → (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)))
32	2, 16	cusgrsizeindslem 29469	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
34	33	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
35	15, 31, 34	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
36	9, 35	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  {crab 3436   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  USGraphcusgr 29166  FinUSGraphcfusgr 29333  ComplUSGraphccusgr 29427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-fusgr 29334  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428  df-cusgr 29429

This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29471