Theorem cusgrsizeinds 30063

Description: Part 1 of induction step in cusgrsize 30065. The size of a complete simple graph with 𝑛 vertices is (𝑛 − 1) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsizeinds	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsizeinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrusgr 30030	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		cusgrsizeindb0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	isfusgr 29929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
4		fusgrfis 29941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
5	3, 4	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
6	5	a1d 26	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin))
7	6	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
8	1, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
9	8	3imp 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}
11		cusgrsizeinds.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
12	10, 11	elnelun 4346	. . . . . 6 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
13	12	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)
14	13	fveq2i 6911	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)))
16		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	16	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = 𝐸
18	17	eleq1i 2855	. . . . . 6 ⊢ ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin)
19		rabfi 9290	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
20	18, 19	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin)
22	1	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
23	22, 3	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
24	2, 16, 11	usgrfilem 29938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
25	23, 24	stoic3 1809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
26	18, 25	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
27	26	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
28	10, 11	elneldisj 4345	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅)
30		hashun 14553	. . . 4 ⊢ (({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin ∧ ({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∩ 𝐹) = ∅) → (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)))
31	21, 27, 29, 30	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘({𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)))
32	2, 16	cusgrsizeindslem 30062	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
34	33	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
35	15, 31, 34	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
36	9, 35	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  {crab 3416   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  USGraphcusgr 29760  FinUSGraphcfusgr 29927  ComplUSGraphccusgr 30021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-vtx 29606  df-iedg 29607  df-edg 29656  df-uhgr 29666  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-uspgr 29761  df-usgr 29762  df-fusgr 29928  df-nbgr 29944  df-uvtx 29997  df-cplgr 30022  df-cusgr 30023

This theorem is used by:  cusgrsize2inds  30064