MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrsizeinds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrsizeinds 29470
Description: Part 1 of induction step in cusgrsize 29472. The size of a complete simple graph with 𝑛 vertices is (𝑛 − 1) plus the size of the complete graph reduced by one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
Assertion
Ref Expression
cusgrsizeinds ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsizeinds
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 29436 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 cusgrsizeindb0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32isfusgr 29335 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
4 fusgrfis 29347 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
53, 4sylbir 235 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
65a1d 25 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin))
76ex 412 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
81, 7syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)))
983imp 1111 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (Edg‘𝐺) ∈ Fin)
10 eqid 2737 . . . . . . 7 {𝑒𝐸𝑁𝑒} = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
11 cusgrsizeinds.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑒𝐸𝑁𝑒}
1210, 11elnelun 4393 . . . . . 6 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹) = 𝐸
1312eqcomi 2746 . . . . 5 𝐸 = ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)
1413fveq2i 6909 . . . 4 (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹))
1514a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)))
16 cusgrsizeindb0.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1716eqcomi 2746 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = 𝐸
1817eleq1i 2832 . . . . . 6 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐸 ∈ Fin)
19 rabfi 9303 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2018, 19sylbi 217 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) ∈ Fin → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
2120adantl 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → {𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin)
221anim1i 615 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2322, 3sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
242, 16, 11usgrfilem 29344 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2523, 24stoic3 1776 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2618, 25bitrid 283 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((Edg‘𝐺) ∈ Fin ↔ 𝐹 ∈ Fin))
2726biimpa 476 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
2810, 11elneldisj 4392 . . . . 5 ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅
2928a1i 11 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅)
30 hashun 14421 . . . 4 (({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin ∧ ({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∩ 𝐹) = ∅) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1373 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘({𝑒𝐸𝑁𝑒} ∪ 𝐹)) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)))
322, 16cusgrsizeindslem 29469 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3332adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) = ((♯‘𝑉) − 1))
3433oveq1d 7446 . . 3 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑒𝐸𝑁𝑒}) + (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
3515, 31, 343eqtrd 2781 . 2 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) ∧ (Edg‘𝐺) ∈ Fin) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
369, 35mpdan 687 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (♯‘𝐸) = (((♯‘𝑉) − 1) + (♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  {crab 3436  cun 3949  cin 3950  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  USGraphcusgr 29166  FinUSGraphcfusgr 29333  ComplUSGraphccusgr 29427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-fusgr 29334  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428  df-cusgr 29429
This theorem is referenced by:  cusgrsize2inds  29471
  Copyright terms: Public domain W3C validator