Theorem fusgreghash2wsp 30541

Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgreghash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgreghash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem fusgreghash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgreghash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fveq1 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠‘1) = (𝑡‘1))
3	2	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑡‘1) = 𝑎))
4	3	cbvrabv 3425	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎}
5	4	mpteq2i 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎})
6	1, 5	fusgreg2wsp 30539	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
7	6	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
8	7	fveq2d 6872	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
9	1	fusgrvtxfi 29521	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
10		eqeq2 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑠‘1) = 𝑦))
11	10	rabbidv 3422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})
13		ovex 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
14	13	rabex 5296	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ V
15	11, 12, 14	fvmpt 6976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
16	15	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
17		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
18	17	fusgrvtxfi 29521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
19		wspthnfi 30120	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20		rabfi 9216	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
22	21	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
23	16, 22	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) ∈ Fin)
24	1, 5	2wspmdisj 30540	. . . . . 6 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
26	9, 23, 25	hashiun 15851	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
27	26	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
28	1, 5	fusgreghash2wspv 30538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
29		ralim 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
32	31	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
33		2fveq3 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
34	33	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
35	34	rspccva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
36	32, 35	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
37	36	sumeq2dv 15730	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)))
38	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
39		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
40	1, 39	fusgrregdegfi 29771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
41	40	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
42	41	nn0cnd 12545	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
43		kcnktkm1cn 11619	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
45		fsumconst 15818	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
46	38, 44, 45	syl2an2r 695	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
47	37, 46	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
48	8, 27, 47	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
49	48	ex 416	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  {crab 3415  ∅c0 4286  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5068   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Fincfn 8928  ℂcc 11072  1c1 11075   · cmul 11079   − cmin 11415  2c2 12273  ℕ₀cn0 12482  ♯chash 14344  Σcsu 15714  Vtxcvtx 29198  FinUSGraphcfusgr 29518  VtxDegcvtxdg 29667   WSPathsN cwwspthsn 30029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5069  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-oi 9459  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-xadd 13116  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-word 14528  df-concat 14585  df-s1 14611  df-s2 14862  df-s3 14863  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-sum 15715  df-vtx 29200  df-iedg 29201  df-edg 29250  df-uhgr 29260  df-ushgr 29261  df-upgr 29284  df-umgr 29285  df-uspgr 29352  df-usgr 29353  df-fusgr 29519  df-nbgr 29535  df-vtxdg 29668  df-wlks 29801  df-wlkson 29802  df-trls 29892  df-trlson 29893  df-pths 29915  df-spths 29916  df-pthson 29917  df-spthson 29918  df-wwlks 30031  df-wwlksn 30032  df-wwlksnon 30033  df-wspthsn 30034  df-wspthsnon 30035

This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30543