Theorem fusgreghash2wsp 30939

Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgreghash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgreghash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem fusgreghash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgreghash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fveq1 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠‘1) = (𝑡‘1))
3	2	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑡‘1) = 𝑎))
4	3	cbvrabv 3423	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎}
5	4	mpteq2i 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎})
6	1, 5	fusgreg2wsp 30937	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
7	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
8	7	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
9	1	fusgrvtxfi 29900	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
10		eqeq2 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑠‘1) = 𝑦))
11	10	rabbidv 3420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})
13		ovex 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
14	13	rabex 5300	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ V
15	11, 12, 14	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
18	17	fusgrvtxfi 29900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
19		wspthnfi 30508	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20		rabfi 9262	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
23	16, 22	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) ∈ Fin)
24	1, 5	2wspmdisj 30938	. . . . . 6 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
26	9, 23, 25	hashiun 15989	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
27	26	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
28	1, 5	fusgreghash2wspv 30936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
29		ralim 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
32	31	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
33		2fveq3 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
34	33	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
35	34	rspccva 3576	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
36	32, 35	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
37	36	sumeq2dv 15869	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)))
38	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
39		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
40	1, 39	fusgrregdegfi 30150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
41	40	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
42	41	nn0cnd 12669	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
43		kcnktkm1cn 11747	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
44	42, 43	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
45		fsumconst 15956	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
46	38, 44, 45	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
47	37, 46	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
48	8, 27, 47	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
49	48	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  1c1 11201   · cmul 11205   − cmin 11541  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ♯chash 14474  Σcsu 15853  Vtxcvtx 29574  FinUSGraphcfusgr 29897  VtxDegcvtxdg 30046   WSPathsN cwwspthsn 30417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-vtx 29576  df-iedg 29577  df-edg 29626  df-uhgr 29636  df-ushgr 29637  df-upgr 29660  df-umgr 29661  df-uspgr 29731  df-usgr 29732  df-fusgr 29898  df-nbgr 29914  df-vtxdg 30047  df-wlks 30180  df-wlkson 30181  df-trls 30275  df-trlson 30276  df-pths 30299  df-spths 30300  df-pthson 30301  df-spthson 30302  df-wwlks 30419  df-wwlksn 30420  df-wwlksnon 30421  df-wspthsn 30422  df-wspthsnon 30423

This theorem is used by:  frrusgrord0  30941