MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgreghash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fusgreghash2wsp 30060
Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgreghash2wsp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
fusgreghash2wsp ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉
Proof of Theorem fusgreghash2wsp
Dummy variables π‘Ž 𝑠 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgreghash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 fveq1 6880 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (π‘ β€˜1) = (π‘‘β€˜1))
32eqeq1d 2726 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((π‘ β€˜1) = π‘Ž ↔ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž))
43cbvrabv 3434 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž} = {𝑑 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž}
54mpteq2i 5243 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž}) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑑 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž})
61, 5fusgreg2wsp 30058 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (2 WSPathsN 𝐺) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (2 WSPathsN 𝐺) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
87fveq2d 6885 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
91fusgrvtxfi 29045 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ 𝑉 ∈ Fin)
10 eqeq2 2736 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((π‘ β€˜1) = π‘Ž ↔ (π‘ β€˜1) = 𝑦))
1110rabbidv 3432 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑦 β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
12 eqid 2724 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž}) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})
13 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
1413rabex 5322 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ V
1511, 12, 14fvmpt 6988 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
17 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
1817fusgrvtxfi 29045 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
19 wspthnfi 29642 . . . . . . . 8 ((Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin β†’ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20 rabfi 9265 . . . . . . . 8 ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2316, 22eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) ∈ Fin)
241, 52wspmdisj 30059 . . . . . 6 Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
269, 23, 25hashiun 15765 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
2726ad2antrr 723 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
281, 5fusgreghash2wspv 30057 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
29 ralim 3078 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3231imp 406 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
33 2fveq3 6886 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
3433eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ↔ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3534rspccva 3603 . . . . . 6 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
3632, 35sylan 579 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
3736sumeq2dv 15646 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
389adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
39 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
401, 39fusgrregdegfi 29295 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
4140imp 406 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4241nn0cnd 12531 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
43 kcnktkm1cn 11642 . . . . . 6 (𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
45 fsumconst 15733 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4638, 44, 45syl2an2r 682 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4737, 46eqtrd 2764 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
488, 27, 473eqtrd 2768 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4948ex 412 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  {crab 3424  βˆ…c0 4314  βˆͺ ciun 4987  Disj wdisj 5103   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  1c1 11107   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11441  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β™―chash 14287  Ξ£csu 15629  Vtxcvtx 28725  FinUSGraphcfusgr 29042  VtxDegcvtxdg 29191   WSPathsN cwwspthsn 29551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-vtx 28727  df-iedg 28728  df-edg 28777  df-uhgr 28787  df-ushgr 28788  df-upgr 28811  df-umgr 28812  df-uspgr 28879  df-usgr 28880  df-fusgr 29043  df-nbgr 29059  df-vtxdg 29192  df-wlks 29325  df-wlkson 29326  df-trls 29418  df-trlson 29419  df-pths 29442  df-spths 29443  df-pthson 29444  df-spthson 29445  df-wwlks 29553  df-wwlksn 29554  df-wwlksnon 29555  df-wspthsn 29556  df-wspthsnon 29557
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30062
  Copyright terms: Public domain W3C validator