Theorem fusgreghash2wsp 27809

Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgreghash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgreghash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem fusgreghash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgreghash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fveq1 6537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠‘1) = (𝑡‘1))
3	2	eqeq1d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑡‘1) = 𝑎))
4	3	cbvrabv 3434	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎}
5	4	mpteq2i 5052	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎})
6	1, 5	fusgreg2wsp 27807	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
7	6	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
8	7	fveq2d 6542	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
9	1	fusgrvtxfi 26784	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
10		eqeq2 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑠‘1) = 𝑦))
11	10	rabbidv 3425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
12		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})
13		ovex 7048	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
14	13	rabex 5126	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ V
15	11, 12, 14	fvmpt 6635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
17		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
18	17	fusgrvtxfi 26784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
19		wspthnfi 27385	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20		rabfi 8589	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
23	16, 22	eqeltrd 2883	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) ∈ Fin)
24	1, 5	2wspmdisj 27808	. . . . . 6 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
26	9, 23, 25	hashiun 15010	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
27	26	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
28	1, 5	fusgreghash2wspv 27806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
29		ralim 3129	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
32	31	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
33		2fveq3 6543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
34	33	eqeq1d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
35	34	rspccva 3558	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
36	32, 35	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
37	36	sumeq2dv 14893	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)))
38	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
39		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
40	1, 39	fusgrregdegfi 27034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
41	40	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
42	41	nn0cnd 11805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
43		kcnktkm1cn 10919	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
45		fsumconst 14978	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
46	38, 44, 45	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
47	37, 46	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
48	8, 27, 47	3eqtrd 2835	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
49	48	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  {crab 3109  ∅c0 4211  ∪ ciun 4825  Disj wdisj 4930   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  ℂcc 10381  1c1 10384   · cmul 10388   − cmin 10717  2c2 11540  ℕ₀cn0 11745  ♯chash 13540  Σcsu 14876  Vtxcvtx 26464  FinUSGraphcfusgr 26781  VtxDegcvtxdg 26930   WSPathsN cwwspthsn 27293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-s3 14047  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-vtx 26466  df-iedg 26467  df-edg 26516  df-uhgr 26526  df-ushgr 26527  df-upgr 26550  df-umgr 26551  df-uspgr 26618  df-usgr 26619  df-fusgr 26782  df-nbgr 26798  df-vtxdg 26931  df-wlks 27064  df-wlkson 27065  df-trls 27159  df-trlson 27160  df-pths 27184  df-spths 27185  df-pthson 27186  df-spthson 27187  df-wwlks 27295  df-wwlksn 27296  df-wwlksnon 27297  df-wspthsn 27298  df-wspthsnon 27299

This theorem is referenced by:  frrusgrord0  27811