Theorem fusgreghash2wsp 28120

Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
fusgreghash2wsp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fusgreghash2wsp	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem fusgreghash2wsp

Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fusgreghash2wsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fveq1 6672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠‘1) = (𝑡‘1))
3	2	eqeq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑡‘1) = 𝑎))
4	3	cbvrabv 3494	. . . . . . 7 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎}
5	4	mpteq2i 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎})
6	1, 5	fusgreg2wsp 28118	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
7	6	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (2 WSPathsN 𝐺) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
8	7	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
9	1	fusgrvtxfi 27104	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
10		eqeq2 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑠‘1) = 𝑦))
11	10	rabbidv 3483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
12		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})
13		ovex 7192	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
14	13	rabex 5238	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ V
15	11, 12, 14	fvmpt 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
16	15	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
17		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
18	17	fusgrvtxfi 27104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
19		wspthnfi 27701	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20		rabfi 8746	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
22	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
23	16, 22	eqeltrd 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) ∈ Fin)
24	1, 5	2wspmdisj 28119	. . . . . 6 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
26	9, 23, 25	hashiun 15180	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
27	26	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘∪ 𝑦 ∈ 𝑉 ((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
28	1, 5	fusgreghash2wspv 28117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
29		ralim 3165	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
31	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
32	31	imp 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
33		2fveq3 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
34	33	eqeq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
35	34	rspccva 3625	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
36	32, 35	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
37	36	sumeq2dv 15063	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)))
38	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
39		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
40	1, 39	fusgrregdegfi 27354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → 𝐾 ∈ ℕ0))
41	40	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
42	41	nn0cnd 11960	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
43		kcnktkm1cn 11074	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
45		fsumconst 15148	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
46	38, 44, 45	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
47	37, 46	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦 ∈ 𝑉 (♯‘((𝑎 ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
48	8, 27, 47	3eqtrd 2863	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
49	48	ex 415	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  {crab 3145  ∅c0 4294  ∪ ciun 4922  Disj wdisj 5034   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  ℂcc 10538  1c1 10541   · cmul 10545   − cmin 10873  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693  Σcsu 15045  Vtxcvtx 26784  FinUSGraphcfusgr 27101  VtxDegcvtxdg 27250   WSPathsN cwwspthsn 27609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-ac2 9888  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-ac 9545  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-vtx 26786  df-iedg 26787  df-edg 26836  df-uhgr 26846  df-ushgr 26847  df-upgr 26870  df-umgr 26871  df-uspgr 26938  df-usgr 26939  df-fusgr 27102  df-nbgr 27118  df-vtxdg 27251  df-wlks 27384  df-wlkson 27385  df-trls 27477  df-trlson 27478  df-pths 27500  df-spths 27501  df-pthson 27502  df-spthson 27503  df-wwlks 27611  df-wwlksn 27612  df-wwlksnon 27613  df-wspthsn 27614  df-wspthsnon 27615

This theorem is referenced by:  frrusgrord0  28122