MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgreghash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fusgreghash2wsp 29571
Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgreghash2wsp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
fusgreghash2wsp ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉
Proof of Theorem fusgreghash2wsp
Dummy variables π‘Ž 𝑠 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgreghash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 fveq1 6887 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (π‘ β€˜1) = (π‘‘β€˜1))
32eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((π‘ β€˜1) = π‘Ž ↔ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž))
43cbvrabv 3443 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž} = {𝑑 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž}
54mpteq2i 5252 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž}) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑑 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘‘β€˜1) = π‘Ž})
61, 5fusgreg2wsp 29569 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (2 WSPathsN 𝐺) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (2 WSPathsN 𝐺) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
87fveq2d 6892 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
91fusgrvtxfi 28556 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ 𝑉 ∈ Fin)
10 eqeq2 2745 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((π‘ β€˜1) = π‘Ž ↔ (π‘ β€˜1) = 𝑦))
1110rabbidv 3441 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑦 β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž}) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})
13 ovex 7437 . . . . . . . . 9 (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
1413rabex 5331 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ V
1511, 12, 14fvmpt 6994 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
1615adantl 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦})
17 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
1817fusgrvtxfi 28556 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin)
19 wspthnfi 29153 . . . . . . . 8 ((Vtxβ€˜πΊ) ∈ Fin β†’ (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20 rabfi 9265 . . . . . . . 8 ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2221adantr 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = 𝑦} ∈ Fin)
2316, 22eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦) ∈ Fin)
241, 52wspmdisj 29570 . . . . . 6 Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ Disj 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦))
269, 23, 25hashiun 15764 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
2726ad2antrr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑉 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
281, 5fusgreghash2wspv 29568 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
29 ralim 3087 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3231imp 408 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
33 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)))
3433eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ↔ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
3534rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘£)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
3632, 35sylan 581 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
3736sumeq2dv 15645 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))
389adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ 𝑉 ∈ Fin)
39 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
401, 39fusgrregdegfi 28806 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
4140imp 408 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
4241nn0cnd 12530 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
43 kcnktkm1cn 11641 . . . . . 6 (𝐾 ∈ β„‚ β†’ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
45 fsumconst 15732 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4638, 44, 45syl2an2r 684 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4737, 46eqtrd 2773 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ Σ𝑦 ∈ 𝑉 (β™―β€˜((π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (π‘ β€˜1) = π‘Ž})β€˜π‘¦)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
488, 27, 473eqtrd 2777 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1))))
4948ex 414 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜(2 WSPathsN 𝐺)) = ((β™―β€˜π‘‰) Β· (𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  βˆ…c0 4321  βˆͺ ciun 4996  Disj wdisj 5112   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  1c1 11107   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Ξ£csu 15628  Vtxcvtx 28236  FinUSGraphcfusgr 28553  VtxDegcvtxdg 28702   WSPathsN cwwspthsn 29062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-vtx 28238  df-iedg 28239  df-edg 28288  df-uhgr 28298  df-ushgr 28299  df-upgr 28322  df-umgr 28323  df-uspgr 28390  df-usgr 28391  df-fusgr 28554  df-nbgr 28570  df-vtxdg 28703  df-wlks 28836  df-wlkson 28837  df-trls 28929  df-trlson 28930  df-pths 28953  df-spths 28954  df-pthson 28955  df-spthson 28956  df-wwlks 29064  df-wwlksn 29065  df-wwlksnon 29066  df-wspthsn 29067  df-wspthsnon 29068
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  29573
  Copyright terms: Public domain W3C validator