MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgreghash2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgreghash2wsp 28931
Description: In a finite k-regular graph with N vertices there are N times "k choose 2" paths with length 2, according to statement 8 in [Huneke] p. 2: "... giving n * ( k 2 ) total paths of length two.", if the direction of traversing the path is not respected. For simple paths of length 2 represented by length 3 strings, however, we have again n*k*(k-1) such paths. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 19-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
fusgreghash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
fusgreghash2wsp ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem fusgreghash2wsp
Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgreghash2wsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fveq1 6818 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠‘1) = (𝑡‘1))
32eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑡‘1) = 𝑎))
43cbvrabv 3413 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎}
54mpteq2i 5194 . . . . . 6 (𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎𝑉 ↦ {𝑡 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑡‘1) = 𝑎})
61, 5fusgreg2wsp 28929 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
87fveq2d 6823 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = (♯‘ 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
91fusgrvtxfi 27916 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
10 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → ((𝑠‘1) = 𝑎 ↔ (𝑠‘1) = 𝑦))
1110rabbidv 3411 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑦 → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎} = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎}) = (𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})
13 ovex 7362 . . . . . . . . 9 (2 WSPathsN 𝐺) ∈ V
1413rabex 5273 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ V
1511, 12, 14fvmpt 6925 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) = {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦})
17 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1817fusgrvtxfi 27916 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
19 wspthnfi 28513 . . . . . . . 8 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin)
20 rabfi 9126 . . . . . . . 8 ((2 WSPathsN 𝐺) ∈ Fin → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FinUSGraph → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦𝑉) → {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑦} ∈ Fin)
2316, 22eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦) ∈ Fin)
241, 52wspmdisj 28930 . . . . . 6 Disj 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)
2524a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → Disj 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦))
269, 23, 25hashiun 15625 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (♯‘ 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
2726ad2antrr 723 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘ 𝑦𝑉 ((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
281, 5fusgreghash2wspv 28928 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
29 ralim 3085 . . . . . . . . 9 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
3231imp 407 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
33 2fveq3 6824 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)))
3433eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → ((♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ↔ (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
3534rspccva 3569 . . . . . 6 ((∀𝑣𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑣)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∧ 𝑦𝑉) → (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
3632, 35sylan 580 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ∧ 𝑦𝑉) → (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = (𝐾 · (𝐾 − 1)))
3736sumeq2dv 15506 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = Σ𝑦𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)))
389adantr 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
39 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
401, 39fusgrregdegfi 28166 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾𝐾 ∈ ℕ0))
4140imp 407 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 12388 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
43 kcnktkm1cn 11499 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
45 fsumconst 15593 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → Σ𝑦𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
4638, 44, 45syl2an2r 682 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦𝑉 (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
4737, 46eqtrd 2776 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → Σ𝑦𝑉 (♯‘((𝑎𝑉 ↦ {𝑠 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑠‘1) = 𝑎})‘𝑦)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
488, 27, 473eqtrd 2780 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
4948ex 413 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  {crab 3403  c0 4268   ciun 4938  Disj wdisj 5054  cmpt 5172  cfv 6473  (class class class)co 7329  Fincfn 8796  cc 10962  1c1 10965   · cmul 10969  cmin 11298  2c2 12121  0cn0 12326  chash 14137  Σcsu 15488  Vtxcvtx 27596  FinUSGraphcfusgr 27913  VtxDegcvtxdg 28062   WSPathsN cwwspthsn 28422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-ac2 10312  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-disj 5055  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-ac 9965  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-xadd 12942  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-word 14310  df-concat 14366  df-s1 14392  df-s2 14652  df-s3 14653  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-vtx 27598  df-iedg 27599  df-edg 27648  df-uhgr 27658  df-ushgr 27659  df-upgr 27682  df-umgr 27683  df-uspgr 27750  df-usgr 27751  df-fusgr 27914  df-nbgr 27930  df-vtxdg 28063  df-wlks 28196  df-wlkson 28197  df-trls 28289  df-trlson 28290  df-pths 28313  df-spths 28314  df-pthson 28315  df-spthson 28316  df-wwlks 28424  df-wwlksn 28425  df-wwlksnon 28426  df-wspthsn 28427  df-wspthsnon 28428
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  28933
  Copyright terms: Public domain W3C validator