Theorem reim 15062

Description: The real part of a complex number in terms of the imaginary part function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))

Proof of Theorem reim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11088	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11113	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		imval 15060	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
6		ine0 11576	. . . 4 ⊢ i ≠ 0
7		divcan3 11826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
8	1, 6, 7	mp3an23 1456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) / i)) = (ℜ‘𝐴))
10	5, 9	eqtr2d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  ici 11031   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℜcre 15050  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-im 15054

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15322  logi  26564  logimul  26591  logneg2  26592  atancj  26887  atanlogaddlem  26890  atanlogsublem  26892  atantan  26900  sqrtcval  44086