Theorem reim 15071

Description: The real part of a complex number in terms of the imaginary part function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))

Proof of Theorem reim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11097	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11122	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		imval 15069	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
6		ine0 11585	. . . 4 ⊢ i ≠ 0
7		divcan3 11835	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
8	1, 6, 7	mp3an23 1456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) / i)) = (ℜ‘𝐴))
10	5, 9	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  ici 11040   · cmul 11043   / cdiv 11807  ℜcre 15059  ℑcim 15060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-im 15063

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15331  logi  26551  logimul  26578  logneg2  26579  atancj  26874  atanlogaddlem  26877  atanlogsublem  26879  atantan  26887  sqrtcval  44068