MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reim 14302
Description: The real part of a complex number in terms of the imaginary part function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
reim (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))

Proof of Theorem reim
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10442 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 10467 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 686 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 imval 14300 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘((i · 𝐴) / i)))
6 ine0 10923 . . . 4 i ≠ 0
7 divcan3 11172 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
81, 6, 7mp3an23 1445 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
98fveq2d 6542 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) / i)) = (ℜ‘𝐴))
105, 9eqtr2d 2832 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  ici 10385   · cmul 10388   / cdiv 11145  cre 14290  cim 14291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-im 14294
This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14562  logimul  24878  logneg2  24879  atancj  25169  atanlogaddlem  25172  atanlogsublem  25174  atantan  25182  logi  32574
  Copyright terms: Public domain W3C validator