Theorem logimul 26568

Description: Multiplying a number by i increases the logarithm of the number by iπ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Proof of Theorem logimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11205	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		halfpire 26419	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11266	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 11259	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7		efadd 16078	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
8	2, 6, 7	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
9		eflog 26530	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	9	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11		efhalfpi 26426	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
13	10, 12	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))) = (𝐴 · i))
14		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcom 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
16	14, 3, 15	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
17	8, 13, 16	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = (i · 𝐴))
18	17	fveq2d 6906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = (log‘(i · 𝐴)))
19		addcl 11228	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
20	2, 6, 19	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
21		pire 26413	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
22	21	renegcli 11559	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
24	2	imcld 15182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		readdcl 11229	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 4, 25	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
27		logimcl 26523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
28	27	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
29	28	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
30		pirp 26416	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
31		rphalfcl 13041	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
33		ltaddrp 13051	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
34	24, 32, 33	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
35	23, 24, 26, 29, 34	lttrd 11413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
36		imadd 15121	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
37	2, 6, 36	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
38		reim 15096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
39	5, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rere 15109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
41	4, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
42	39, 41	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
43	42	oveq2i 7437	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2))
44	37, 43	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
45	35, 44	breqtrrd 5180	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))))
46		argrege0 26565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
47	4	renegcli 11559	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
48	47, 4	elicc2i 13430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
49	48	simp3bi 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
51	21	recni 11266	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
52		pidiv2halves 26422	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
53	51, 5, 5, 52	subaddrii 11587	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
54	50, 53	breqtrrdi 5194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2)))
55	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℝ)
56	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
57		leaddsub 11728	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
58	24, 55, 56, 57	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
59	54, 58	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π)
60	44, 59	eqbrtrd 5174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π)
61		ellogrn 26513	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π))
62	20, 45, 60, 61	syl3anbrc 1340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log)
63		logef 26535	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
65	18, 64	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  ran crn 5683  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   ≤ cle 11287   − cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  ℝ⁺crp 13014  [,]cicc 13367  ℜcre 15084  ℑcim 15085  expce 16045  πcpi 16050  logclog 26508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26867