Theorem logimul 25289

Description: Multiplying a number by i increases the logarithm of the number by iπ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Proof of Theorem logimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 25244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10619	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		halfpire 25141	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 10678	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 10671	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7		efadd 15480	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
8	2, 6, 7	sylancl 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
9		eflog 25252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	9	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11		efhalfpi 25148	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
13	10, 12	oveq12d 7161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))) = (𝐴 · i))
14		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcom 10646	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
16	14, 3, 15	sylancl 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
17	8, 13, 16	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = (i · 𝐴))
18	17	fveq2d 6655	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = (log‘(i · 𝐴)))
19		addcl 10642	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
20	2, 6, 19	sylancl 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
21		pire 25135	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
22	21	renegcli 10970	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
24	2	imcld 14587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		readdcl 10643	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 4, 25	sylancl 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
27		logimcl 25245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
28	27	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
29	28	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
30		pirp 25138	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
31		rphalfcl 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
33		ltaddrp 12452	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
34	24, 32, 33	sylancl 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
35	23, 24, 26, 29, 34	lttrd 10824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
36		imadd 14526	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
37	2, 6, 36	sylancl 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
38		reim 14501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
39	5, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rere 14514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
41	4, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
42	39, 41	eqtr3i 2784	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
43	42	oveq2i 7154	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2))
44	37, 43	eqtrdi 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
45	35, 44	breqtrrd 5053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))))
46		argrege0 25286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
47	4	renegcli 10970	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
48	47, 4	elicc2i 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
49	48	simp3bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
51	21	recni 10678	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
52		pidiv2halves 25144	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
53	51, 5, 5, 52	subaddrii 10998	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
54	50, 53	breqtrrdi 5067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2)))
55	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℝ)
56	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
57		leaddsub 11139	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
58	24, 55, 56, 57	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
59	54, 58	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π)
60	44, 59	eqbrtrd 5047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π)
61		ellogrn 25235	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π))
62	20, 45, 60, 61	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log)
63		logef 25257	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
65	18, 64	eqtr3d 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949   class class class wbr 5025  ran crn 5518  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  ℝcr 10559  0cc0 10560  ici 10562   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  -cneg 10894   / cdiv 11320  2c2 11714  ℝ⁺crp 12415  [,]cicc 12767  ℜcre 14489  ℑcim 14490  expce 15448  πcpi 15453  logclog 25230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-ioo 12768  df-ioc 12769  df-ico 12770  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-seq 13404  df-exp 13465  df-fac 13669  df-bc 13698  df-hash 13726  df-shft 14459  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-limsup 14861  df-clim 14878  df-rlim 14879  df-sum 15076  df-ef 15454  df-sin 15456  df-cos 15457  df-pi 15459  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-hom 16632  df-cco 16633  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-pt 16761  df-prds 16764  df-xrs 16818  df-qtop 16823  df-imas 16824  df-xps 16826  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lp 21821  df-perf 21822  df-cn 21912  df-cnp 21913  df-haus 22000  df-tx 22247  df-hmeo 22440  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-xms 23007  df-ms 23008  df-tms 23009  df-cncf 23564  df-limc 24550  df-dv 24551  df-log 25232

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  25585