Theorem logimul 26905

Description: Multiplying a number by i increases the logarithm of the number by iπ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Proof of Theorem logimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11230	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		halfpire 26756	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11294	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 11287	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7		efadd 16227	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
8	2, 6, 7	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
9		eflog 26867	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	9	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11		efhalfpi 26763	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
13	10, 12	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))) = (𝐴 · i))
14		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcom 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
16	14, 3, 15	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
17	8, 13, 16	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = (i · 𝐴))
18	17	fveq2d 6877	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = (log‘(i · 𝐴)))
19		addcl 11253	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
20	2, 6, 19	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
21		pire 26746	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
22	21	renegcli 11590	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
24	2	imcld 15329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		readdcl 11254	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 4, 25	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
27		logimcl 26860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
28	27	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
29	28	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
30		pirp 26753	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
31		rphalfcl 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
33		ltaddrp 13128	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
34	24, 32, 33	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
35	23, 24, 26, 29, 34	lttrd 11442	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
36		imadd 15268	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
37	2, 6, 36	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
38		reim 15243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
39	5, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rere 15256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
41	4, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
42	39, 41	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
43	42	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2))
44	37, 43	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
45	35, 44	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))))
46		argrege0 26902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
47	4	renegcli 11590	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
48	47, 4	elicc2i 13512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
49	48	simp3bi 1165	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
50	46, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
51	21	recni 11294	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
52		pidiv2halves 26759	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
53	51, 5, 5, 52	subaddrii 11618	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
54	50, 53	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2)))
55	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℝ)
56	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
57		leaddsub 11761	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
58	24, 55, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
59	54, 58	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π)
60	44, 59	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π)
61		ellogrn 26850	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π))
62	20, 45, 60, 61	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log)
63		logef 26872	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
64	62, 63	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
65	18, 64	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  ici 11173   + caddc 11174   · cmul 11176   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512  -cneg 11513   / cdiv 11942  2c2 12366  ℝ⁺crp 13089  [,]cicc 13448  ℜcre 15231  ℑcim 15232  expce 16194  πcpi 16199  logclog 26845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-ef 16200  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-limc 26147  df-dv 26148  df-log 26847

This theorem is used by:  atanlogsublem  27206