MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logimul 26503
Description: Multiplying a number by i increases the logarithm of the number by iฯ€ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logimul ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))

Proof of Theorem logimul
StepHypRef Expression
1 logcl 26457 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
213adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 ax-icn 11171 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
4 halfpire 26354 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
54recni 11232 . . . . . 6 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„‚
63, 5mulcli 11225 . . . . 5 (i ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„‚
7 efadd 16044 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))))
82, 6, 7sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))))
9 eflog 26465 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
1093adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
11 efhalfpi 26361 . . . . . 6 (expโ€˜(i ยท (ฯ€ / 2))) = i
1211a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (ฯ€ / 2))) = i)
1310, 12oveq12d 7423 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜๐ด)) ยท (expโ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))) = (๐ด ยท i))
14 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 mulcom 11198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท i) = (i ยท ๐ด))
1614, 3, 15sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด ยท i) = (i ยท ๐ด))
178, 13, 163eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = (i ยท ๐ด))
1817fveq2d 6889 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))) = (logโ€˜(i ยท ๐ด)))
19 addcl 11194 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ โ„‚)
202, 6, 19sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ โ„‚)
21 pire 26348 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„
2221renegcli 11525 . . . . . . 7 -ฯ€ โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„)
242imcld 15148 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
25 readdcl 11195 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„)
2624, 4, 25sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„)
27 logimcl 26458 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
28273adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
2928simpld 494 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
30 pirp 26351 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„+
31 rphalfcl 13007 . . . . . . . 8 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+
33 ltaddrp 13017 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)))
3424, 32, 33sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)))
3523, 24, 26, 29, 34lttrd 11379 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)))
36 imadd 15087 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (ฯ€ / 2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))))
372, 6, 36sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))))
38 reim 15062 . . . . . . . . 9 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(ฯ€ / 2)) = (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2))))
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜(ฯ€ / 2)) = (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))
40 rere 15075 . . . . . . . . 9 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜(ฯ€ / 2)) = (ฯ€ / 2))
414, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜(ฯ€ / 2)) = (ฯ€ / 2)
4239, 41eqtr3i 2756 . . . . . . 7 (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2))) = (ฯ€ / 2)
4342oveq2i 7416 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (โ„‘โ€˜(i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2))
4437, 43eqtrdi 2782 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) = ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)))
4535, 44breqtrrd 5169 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))))
46 argrege0 26500 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
474renegcli 11525 . . . . . . . . . 10 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
4847, 4elicc2i 13396 . . . . . . . . 9 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
4948simp3bi 1144 . . . . . . . 8 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))
5046, 49syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))
5121recni 11232 . . . . . . . 8 ฯ€ โˆˆ โ„‚
52 pidiv2halves 26357 . . . . . . . 8 ((ฯ€ / 2) + (ฯ€ / 2)) = ฯ€
5351, 5, 5, 52subaddrii 11553 . . . . . . 7 (ฯ€ โˆ’ (ฯ€ / 2)) = (ฯ€ / 2)
5450, 53breqtrrdi 5183 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (ฯ€ / 2)))
554a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„)
5621a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
57 leaddsub 11694 . . . . . . 7 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)) โ‰ค ฯ€ โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (ฯ€ / 2))))
5824, 55, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)) โ‰ค ฯ€ โ†” (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ โˆ’ (ฯ€ / 2))))
5954, 58mpbird 257 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) + (ฯ€ / 2)) โ‰ค ฯ€)
6044, 59eqbrtrd 5163 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) โ‰ค ฯ€)
61 ellogrn 26448 . . . 4 (((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2)))) โ‰ค ฯ€))
6220, 45, 60, 61syl3anbrc 1340 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ ran log)
63 logef 26470 . . 3 (((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))) โˆˆ ran log โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))) = ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))
6462, 63syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))) = ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))
6518, 64eqtr3d 2768 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((logโ€˜๐ด) + (i ยท (ฯ€ / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„+crp 12980  [,]cicc 13333  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  expce 16011  ฯ€cpi 16016  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator