Theorem logimul 26686

Description: Multiplying a number by i increases the logarithm of the number by iπ / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logimul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Proof of Theorem logimul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11143	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		halfpire 26536	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11207	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
6	3, 5	mulcli 11200	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7		efadd 16134	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
8	2, 6, 7	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))))
9		eflog 26648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	9	3adant3 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11		efhalfpi 26543	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
13	10, 12	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · (π / 2)))) = (𝐴 · i))
14		simp1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		mulcom 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
16	14, 3, 15	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 · i) = (i · 𝐴))
17	8, 13, 16	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = (i · 𝐴))
18	17	fveq2d 6871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = (log‘(i · 𝐴)))
19		addcl 11166	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
20	2, 6, 19	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ)
21		pire 26526	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
22	21	renegcli 11503	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
24	2	imcld 15232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		readdcl 11167	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
26	24, 4, 25	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ∈ ℝ)
27		logimcl 26641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
28	27	3adant3 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
29	28	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
30		pirp 26533	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ+
31		rphalfcl 13032	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
33		ltaddrp 13042	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
34	24, 32, 33	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
35	23, 24, 26, 29, 34	lttrd 11355	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
36		imadd 15171	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
37	2, 6, 36	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
38		reim 15146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
39	5, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rere 15159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
41	4, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
42	39, 41	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
43	42	oveq2i 7407	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2))
44	37, 43	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)))
45	35, 44	breqtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))))
46		argrege0 26683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
47	4	renegcli 11503	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
48	47, 4	elicc2i 13426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2)))
49	48	simp3bi 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
50	46, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π / 2))
51	21	recni 11207	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
52		pidiv2halves 26539	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
53	51, 5, 5, 52	subaddrii 11531	. . . . . . 7 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
54	50, 53	breqtrrdi 5143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2)))
55	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℝ)
56	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
57		leaddsub 11674	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
58	24, 55, 56, 57	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ (π − (π / 2))))
59	54, 58	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) + (π / 2)) ≤ π)
60	44, 59	eqbrtrd 5123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π)
61		ellogrn 26631	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2)))) ≤ π))
62	20, 45, 60, 61	syl3anbrc 1358	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log)
63		logef 26653	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · (π / 2))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))
65	18, 64	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · 𝐴)) = ((log‘𝐴) + (i · (π / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5101  ran crn 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  ici 11086   + caddc 11087   · cmul 11089   < clt 11227   ≤ cle 11228   − cmin 11425  -cneg 11426   / cdiv 11855  2c2 12282  ℝ⁺crp 13003  [,]cicc 13362  ℜcre 15134  ℑcim 15135  expce 16101  πcpi 16106  logclog 26626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15090  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16107  df-sin 16109  df-cos 16110  df-pi 16112  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-hom 17320  df-cco 17321  df-rest 17461  df-topn 17462  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-topgen 17482  df-pt 17483  df-prds 17486  df-xrs 17542  df-qtop 17547  df-imas 17548  df-xps 17550  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18828  df-mulg 19120  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-cnfld 21432  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088  df-nei 23165  df-lp 23203  df-perf 23204  df-cn 23294  df-cnp 23295  df-haus 23382  df-tx 23629  df-hmeo 23822  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-xms 24387  df-ms 24388  df-tms 24389  df-cncf 24947  df-limc 25935  df-dv 25936  df-log 26628

This theorem is referenced by:  atanlogsublem  26987