Theorem logi 26572

Description: The natural logarithm of i. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logi	⊢ (log‘i) = (i · (π / 2))

Proof of Theorem logi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efhalfpi 26456	. 2 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
2		ax-icn 11093	. . 3 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11581	. . 3 ⊢ i ≠ 0
4		halfpire 26449	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
5	4	recni 11155	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
6	2, 5	mulcli 11148	. . . 4 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7		pipos 26444	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
8		pire 26442	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
9		lt0neg2 11653	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
11	7, 10	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ -π < 0
12		halfpos2 12401	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ 0 < (π / 2)))
13	8, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ 0 < (π / 2))
14	7, 13	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ 0 < (π / 2)
15	8	renegcli 11451	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
16		0re 11142	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	15, 16, 4	lttri 11268	. . . . . 6 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
18	11, 14, 17	mp2an 699	. . . . 5 ⊢ -π < (π / 2)
19		reim 15066	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
20	5, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
21		rere 15079	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
22	4, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
23	20, 22	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
24	18, 23	breqtrri 5101	. . . 4 ⊢ -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
25	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ)
26	25, 25	ltaddposd 11730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0 < π ↔ π < (π + π)))
27	7, 26	mpbii 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → π < (π + π))
28		picn 26443	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
29	28	times2i 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (π · 2) = (π + π)
30	27, 29	breqtrrdi 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → π < (π · 2))
31		2rp 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
33	25, 25, 32	ltdivmul2d 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((π / 2) < π ↔ π < (π · 2)))
34	30, 33	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 2) < π)
35	34	mptru 1555	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) < π
36	4, 8, 35	ltleii 11265	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ≤ π
37	23, 36	eqbrtri 5095	. . . 4 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
38		ellogrn 26544	. . . 4 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
39	6, 24, 37, 38	mpbir3an 1349	. . 3 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ran log
40		logeftb 26568	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ (i · (π / 2)) ∈ ran log) → ((log‘i) = (i · (π / 2)) ↔ (exp‘(i · (π / 2))) = i))
41	2, 3, 39, 40	mp3an 1470	. 2 ⊢ ((log‘i) = (i · (π / 2)) ↔ (exp‘(i · (π / 2))) = i)
42	1, 41	mpbir 233	1 ⊢ (log‘i) = (i · (π / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  ran crn 5621  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034  ici 11036   + caddc 11037   · cmul 11039   < clt 11175   ≤ cle 11176  -cneg 11374   / cdiv 11803  2c2 12231  ℝ⁺crp 12937  ℜcre 15054  ℑcim 15055  expce 16021  πcpi 16026  logclog 26539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cncf 24866  df-limc 25854  df-dv 25855  df-log 26541

This theorem is referenced by:  iexpire  35976  cxpi11d  42833