Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logi 33450
Description: Calculate the logarithm of i. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
logi (log‘i) = (i · (π / 2))

Proof of Theorem logi
StepHypRef Expression
1 efhalfpi 25393 . 2 (exp‘(i · (π / 2))) = i
2 ax-icn 10818 . . 3 i ∈ ℂ
3 ine0 11297 . . 3 i ≠ 0
4 halfpire 25386 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
54recni 10877 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
62, 5mulcli 10870 . . . 4 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
7 pipos 25382 . . . . . . 7 0 < π
8 pire 25380 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
9 lt0neg2 11369 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < π ↔ -π < 0)
117, 10mpbi 233 . . . . . 6 -π < 0
12 halfpos2 12089 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ 0 < (π / 2)))
138, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 < π ↔ 0 < (π / 2))
147, 13mpbi 233 . . . . . 6 0 < (π / 2)
158renegcli 11169 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
16 0re 10865 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1715, 16, 4lttri 10988 . . . . . 6 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
1811, 14, 17mp2an 692 . . . . 5 -π < (π / 2)
19 reim 14705 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
205, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
21 rere 14718 . . . . . . 7 ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
224, 21ax-mp 5 . . . . . 6 (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
2320, 22eqtr3i 2769 . . . . 5 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
2418, 23breqtrri 5097 . . . 4 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
258a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → π ∈ ℝ)
2625, 25ltaddposd 11446 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0 < π ↔ π < (π + π)))
277, 26mpbii 236 . . . . . . . . 9 (⊤ → π < (π + π))
28 picn 25381 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
2928times2i 11999 . . . . . . . . 9 (π · 2) = (π + π)
3027, 29breqtrrdi 5112 . . . . . . . 8 (⊤ → π < (π · 2))
31 2rp 12621 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 2 ∈ ℝ+)
3325, 25, 32ltdivmul2d 12710 . . . . . . . 8 (⊤ → ((π / 2) < π ↔ π < (π · 2)))
3430, 33mpbird 260 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 2) < π)
3534mptru 1550 . . . . . 6 (π / 2) < π
364, 8, 35ltleii 10985 . . . . 5 (π / 2) ≤ π
3723, 36eqbrtri 5091 . . . 4 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
38 ellogrn 25480 . . . 4 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
396, 24, 37, 38mpbir3an 1343 . . 3 (i · (π / 2)) ∈ ran log
40 logeftb 25504 . . 3 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ (i · (π / 2)) ∈ ran log) → ((log‘i) = (i · (π / 2)) ↔ (exp‘(i · (π / 2))) = i))
412, 3, 39, 40mp3an 1463 . 2 ((log‘i) = (i · (π / 2)) ↔ (exp‘(i · (π / 2))) = i)
421, 41mpbir 234 1 (log‘i) = (i · (π / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1543  wtru 1544  wcel 2112  wne 2943   class class class wbr 5070  ran crn 5570  cfv 6401  (class class class)co 7235  cc 10757  cr 10758  0cc0 10759  ici 10761   + caddc 10762   · cmul 10764   < clt 10897  cle 10898  -cneg 11093   / cdiv 11519  2c2 11915  +crp 12616  cre 14693  cim 14694  expce 15656  πcpi 15661  logclog 25475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-inf2 9286  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837  ax-addf 10838  ax-mulf 10839
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-se 5528  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-isom 6410  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-of 7491  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-supp 7928  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-2o 8227  df-er 8415  df-map 8534  df-pm 8535  df-ixp 8603  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-fsupp 9016  df-fi 9057  df-sup 9088  df-inf 9089  df-oi 9156  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-n0 12121  df-z 12207  df-dec 12324  df-uz 12469  df-q 12575  df-rp 12617  df-xneg 12734  df-xadd 12735  df-xmul 12736  df-ioo 12969  df-ioc 12970  df-ico 12971  df-icc 12972  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-fl 13397  df-mod 13475  df-seq 13607  df-exp 13668  df-fac 13873  df-bc 13902  df-hash 13930  df-shft 14663  df-cj 14695  df-re 14696  df-im 14697  df-sqrt 14831  df-abs 14832  df-limsup 15065  df-clim 15082  df-rlim 15083  df-sum 15283  df-ef 15662  df-sin 15664  df-cos 15665  df-pi 15667  df-struct 16733  df-sets 16750  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-ress 16818  df-plusg 16848  df-mulr 16849  df-starv 16850  df-sca 16851  df-vsca 16852  df-ip 16853  df-tset 16854  df-ple 16855  df-ds 16857  df-unif 16858  df-hom 16859  df-cco 16860  df-rest 16960  df-topn 16961  df-0g 16979  df-gsum 16980  df-topgen 16981  df-pt 16982  df-prds 16985  df-xrs 17040  df-qtop 17045  df-imas 17046  df-xps 17048  df-mre 17122  df-mrc 17123  df-acs 17125  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-submnd 18252  df-mulg 18522  df-cntz 18744  df-cmn 19205  df-psmet 20388  df-xmet 20389  df-met 20390  df-bl 20391  df-mopn 20392  df-fbas 20393  df-fg 20394  df-cnfld 20397  df-top 21823  df-topon 21840  df-topsp 21862  df-bases 21875  df-cld 21948  df-ntr 21949  df-cls 21950  df-nei 22027  df-lp 22065  df-perf 22066  df-cn 22156  df-cnp 22157  df-haus 22244  df-tx 22491  df-hmeo 22684  df-fil 22775  df-fm 22867  df-flim 22868  df-flf 22869  df-xms 23250  df-ms 23251  df-tms 23252  df-cncf 23807  df-limc 24795  df-dv 24796  df-log 25477
This theorem is referenced by:  iexpire  33451
  Copyright terms: Public domain W3C validator