Theorem eqsqrt2d 15422

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrt2d.4	⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
eqsqrt2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eqsqrtd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		eqsqrtd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
4		eqsqrt2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))
5		0re 11211	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	1	recld 15247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7		ltle 11299	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
9	4, 8	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
10		reim 15162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
11	1, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
12	4	gt0ne0d 11779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrrd 3026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
14		rpre 13026	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	reim0d 15278	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
16	15	necon3ai 2983	. . 3 ⊢ ((ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
17	13, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
18	1, 2, 3, 9, 17	eqsqrtd 15421	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  ici 11103   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12296  ℝ⁺crp 13017  ↑cexp 14099  ℜcre 15150  ℑcim 15151  √csqrt 15286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  asinsin  27035