Theorem eqsqrt2d 15322

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrt2d.4	⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
eqsqrt2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eqsqrtd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		eqsqrtd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
4		eqsqrt2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))
5		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	1	recld 15147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7		ltle 11225	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
9	4, 8	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
10		reim 15062	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
12	4	gt0ne0d 11705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrrd 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
14		rpre 12942	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	reim0d 15178	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
16	15	necon3ai 2958	. . 3 ⊢ ((ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
17	13, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
18	1, 2, 3, 9, 17	eqsqrtd 15321	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  ici 11031   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  ℜcre 15050  ℑcim 15051  √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  asinsin  26869