Theorem eqsqrt2d 15379

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrt2d.4	⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
eqsqrt2d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrt2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eqsqrtd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		eqsqrtd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
4		eqsqrt2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝐴))
5		0re 11180	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	1	recld 15204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7		ltle 11268	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
9	4, 8	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
10		reim 15119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
12	4	gt0ne0d 11748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrrd 3024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
14		rpre 12999	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
15	14	reim0d 15235	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
16	15	necon3ai 2981	. . 3 ⊢ ((ℑ‘(i · 𝐴)) ≠ 0 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
17	13, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
18	1, 2, 3, 9, 17	eqsqrtd 15378	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  ici 11072   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214  2c2 12269  ℝ⁺crp 12990  ↑cexp 14071  ℜcre 15107  ℑcim 15108  √csqrt 15243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246

This theorem is referenced by:  asinsin  26934