MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnperf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnperf 23877
Description: Both and are perfect subsets of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recnperf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
recnperf (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)

Proof of Theorem recnperf
StepHypRef Expression
1 elpri 4386 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2 oveq2 6876 . . . 4 (𝑆 = ℝ → (𝐾t 𝑆) = (𝐾t ℝ))
3 recnperf.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43reperf 22829 . . . 4 (𝐾t ℝ) ∈ Perf
52, 4syl6eqel 2889 . . 3 (𝑆 = ℝ → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
6 oveq2 6876 . . . 4 (𝑆 = ℂ → (𝐾t 𝑆) = (𝐾t ℂ))
73cnfldtopon 22793 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
87toponunii 20928 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
98restid 16293 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐾t ℂ) = 𝐾)
107, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾t ℂ) = 𝐾
113cnperf 22830 . . . . 5 𝐾 ∈ Perf
1210, 11eqeltri 2877 . . . 4 (𝐾t ℂ) ∈ Perf
136, 12syl6eqel 2889 . . 3 (𝑆 = ℂ → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
145, 13jaoi 875 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
151, 14syl 17 1 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 865   = wceq 1637  wcel 2155  {cpr 4366  cfv 6095  (class class class)co 6868  cc 10213  cr 10214  t crest 16280  TopOpenctopn 16281  fldccnfld 19948  TopOnctopon 20922  Perfcperf 21147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-fz 12544  df-seq 13019  df-exp 13078  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-rest 16282  df-topn 16283  df-topgen 16303  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-lp 21148  df-perf 21149  df-xms 22332  df-ms 22333
This theorem is referenced by:  dvfg  23878
  Copyright terms: Public domain W3C validator