Theorem recnperf 25778

Description: Both ℝ and ℂ are perfect subsets of ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnperf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recnperf	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)

Proof of Theorem recnperf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4643	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2		oveq2 7410	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t ℝ))
3		recnperf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	reperf 24679	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ) ∈ Perf
5	2, 4	eqeltrdi 2833	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
6		oveq2 7410	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t ℂ))
7	3	cnfldtopon 24643	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	toponunii 22762	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
9	8	restid 17384	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐾 ↾t ℂ) = 𝐾)
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ↾t ℂ) = 𝐾
11	3	cnperf 24680	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Perf
12	10, 11	eqeltri 2821	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↾t ℂ) ∈ Perf
13	6, 12	eqeltrdi 2833	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
14	5, 13	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4623  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106   ↾_t crest 17371  TopOpenctopn 17372  ℂ_fldccnfld 21234  TopOnctopon 22756  Perfcperf 22983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-xms 24170  df-ms 24171

This theorem is referenced by:  dvfg  25779