MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recnperf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnperf 23885
Description: Both and are perfect subsets of . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recnperf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
recnperf (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)

Proof of Theorem recnperf
StepHypRef Expression
1 elpri 4337 . 2 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2 oveq2 6800 . . . 4 (𝑆 = ℝ → (𝐾t 𝑆) = (𝐾t ℝ))
3 recnperf.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43reperf 22838 . . . 4 (𝐾t ℝ) ∈ Perf
52, 4syl6eqel 2858 . . 3 (𝑆 = ℝ → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
6 oveq2 6800 . . . 4 (𝑆 = ℂ → (𝐾t 𝑆) = (𝐾t ℂ))
73cnfldtopon 22802 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
87toponunii 20937 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
98restid 16298 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐾t ℂ) = 𝐾)
107, 9ax-mp 5 . . . . 5 (𝐾t ℂ) = 𝐾
113cnperf 22839 . . . . 5 𝐾 ∈ Perf
1210, 11eqeltri 2846 . . . 4 (𝐾t ℂ) ∈ Perf
136, 12syl6eqel 2858 . . 3 (𝑆 = ℂ → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
145, 13jaoi 846 . 2 ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
151, 14syl 17 1 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾t 𝑆) ∈ Perf)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  {cpr 4318  cfv 6029  (class class class)co 6792  cc 10136  cr 10137  t crest 16285  TopOpenctopn 16286  fldccnfld 19957  TopOnctopon 20931  Perfcperf 21156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12147  df-xadd 12148  df-xmul 12149  df-fz 12530  df-seq 13005  df-exp 13064  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-rest 16287  df-topn 16288  df-topgen 16308  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-cnfld 19958  df-top 20915  df-topon 20932  df-topsp 20954  df-bases 20967  df-cld 21040  df-ntr 21041  df-cls 21042  df-nei 21119  df-lp 21157  df-perf 21158  df-xms 22341  df-ms 22342
This theorem is referenced by:  dvfg  23886
  Copyright terms: Public domain W3C validator