Theorem recnperf 24117

Description: Both ℝ and ℂ are perfect subsets of ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recnperf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
recnperf	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)

Proof of Theorem recnperf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4420	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2		oveq2 6932	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t ℝ))
3		recnperf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	reperf 23041	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↾t ℝ) ∈ Perf
5	2, 4	syl6eqel 2867	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
6		oveq2 6932	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t ℂ))
7	3	cnfldtopon 23005	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	toponunii 21139	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
9	8	restid 16491	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐾 ↾t ℂ) = 𝐾)
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ↾t ℂ) = 𝐾
11	3	cnperf 23042	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Perf
12	10, 11	eqeltri 2855	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↾t ℂ) ∈ Perf
13	6, 12	syl6eqel 2867	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
14	5, 13	jaoi 846	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)
15	1, 14	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Perf)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {cpr 4400  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273   ↾_t crest 16478  TopOpenctopn 16479  ℂ_fldccnfld 20153  TopOnctopon 21133  Perfcperf 21358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-fz 12649  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-lp 21359  df-perf 21360  df-xms 22544  df-ms 22545

This theorem is referenced by:  dvfg  24118