Theorem cnperf 24745

Description: The complex numbers are a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnperf	⊢ 𝐽 ∈ Perf

Proof of Theorem cnperf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24706	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	toponunii 22839	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
4	3	restid 17432	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐽 ↾t ℂ) = 𝐽)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℂ) = 𝐽
6		recn 11211	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		addcl 11203	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8	6, 7	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9		ssid 3979	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10	1, 8, 9	reperflem 24743	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℂ) ∈ Perf
11	5, 10	eqeltrri 2830	1 ⊢ 𝐽 ∈ Perf

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  ℝcr 11120   + caddc 11124   ↾_t crest 17419  TopOpenctopn 17420  ℂ_fldccnfld 21300  TopOnctopon 22833  Perfcperf 23058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-fz 13514  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-rest 17421  df-topn 17422  df-topgen 17442  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-lp 23059  df-perf 23060  df-xms 24244  df-ms 24245

This theorem is referenced by:  recnperf  25843