Theorem cnperf 24796

Description: The complex numbers are a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cnperf	⊢ 𝐽 ∈ Perf

Proof of Theorem cnperf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld2.1	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24757	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	toponunii 22891	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ 𝐽
4	3	restid 17387	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐽 ↾t ℂ) = 𝐽)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℂ) = 𝐽
6		recn 11119	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		addcl 11111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8	6, 7	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9		ssid 3945	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10	1, 8, 9	reperflem 24794	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℂ) ∈ Perf
11	5, 10	eqeltrri 2834	1 ⊢ 𝐽 ∈ Perf

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21344  TopOnctopon 22885  Perfcperf 23110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-xms 24295  df-ms 24296

This theorem is referenced by:  recnperf  25882