Theorem retopconn 25059

Description: Corollary of reconn 25058. The set of real numbers is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
retopconn	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Conn

Proof of Theorem retopconn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24990	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 24991	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	restid 17521	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
5		iccssre 13485	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ)
6	5	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ
7		ssid 3953	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
8		reconn 25058	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ)
10	6, 9	mpbir 234	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn
11	4, 10	eqeltrri 2857	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Conn

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  (,)cioo 13401  [,]cicc 13404   ↾_t crest 17508  topGenctg 17525  Topctop 23121  Conncconn 23639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-rest 17510  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cld 23247  df-conn 23640

This theorem is used by:  mblfinlem1  38409