Theorem toponrestid 22846

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22841	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17347	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2742	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↾_t crest 17334  TopOnctopon 22835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-rest 17336  df-topon 22836

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24841  cncfmpt2f  24845  cdivcncf  24851  cnrehmeo  24888  cnrehmeoOLD  24889  mulcncf  25383  cnlimc  25826  dvidlem  25853  dvcnp2  25858  dvcnp2OLD  25859  dvcn  25860  dvnres  25870  dvaddbr  25877  dvmulbr  25878  dvmulbrOLD  25879  dvcobr  25886  dvcobrOLD  25887  dvcjbr  25890  dvrec  25896  dvexp3  25919  dveflem  25920  dvlipcn  25936  lhop1lem  25955  ftc1cn  25987  dvply1  26228  dvtaylp  26315  taylthlem2  26319  taylthlem2OLD  26320  psercn  26373  pserdvlem2  26375  pserdv  26376  abelth  26388  logcn  26593  dvloglem  26594  dvlog  26597  dvlog2  26599  efopnlem2  26603  logtayl  26606  cxpcn  26691  cxpcnOLD  26692  cxpcn2  26693  cxpcn3  26695  resqrtcn  26696  sqrtcn  26697  dvatan  26882  ftalem3  27022  cxpcncf1  34619  knoppcnlem10  36557  knoppcnlem11  36558  dvtan  37720  ftc1cnnc  37742  dvasin  37754  dvacos  37755  cxpcncf2  46011