Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponrestid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponrestid 21526
 Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
toponrestid.t 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
toponrestid 𝐴 = (𝐴t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid
StepHypRef Expression
1 toponrestid.t . . 3 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
21toponunii 21521 . . . 4 𝐵 = 𝐴
32restid 16699 . . 3 (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴t 𝐵) = 𝐴)
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴t 𝐵) = 𝐴
54eqcomi 2807 1 𝐴 = (𝐴t 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾t crest 16686  TopOnctopon 21515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-rest 16688  df-topon 21516 This theorem is referenced by:  cncfcn1  23516  cncfmpt2f  23520  cdivcncf  23526  cnrehmeo  23558  cnlimc  24491  dvidlem  24518  dvcnp2  24523  dvcn  24524  dvnres  24534  dvaddbr  24541  dvmulbr  24542  dvcobr  24549  dvcjbr  24552  dvrec  24558  dvexp3  24581  dveflem  24582  dvlipcn  24597  lhop1lem  24616  ftc1cn  24646  dvply1  24880  dvtaylp  24965  taylthlem2  24969  psercn  25021  pserdvlem2  25023  pserdv  25024  abelth  25036  logcn  25238  dvloglem  25239  dvlog  25242  dvlog2  25244  efopnlem2  25248  logtayl  25251  cxpcn  25334  cxpcn2  25335  cxpcn3  25337  resqrtcn  25338  sqrtcn  25339  dvatan  25521  ftalem3  25660  cxpcncf1  31976  knoppcnlem10  33954  knoppcnlem11  33955  dvtan  35107  ftc1cnnc  35129  dvasin  35141  dvacos  35142  cxpcncf2  42539
 Copyright terms: Public domain W3C validator