Theorem toponrestid 23232

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23227	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2770	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↾_t crest 17584  TopOnctopon 23221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-rest 17586  df-topon 23222

This theorem is used by:  cncfcn1  25225  cncfmpt2f  25229  cdivcncf  25235  cnrehmeo  25267  mulcncf  25760  cnlimc  26201  dvidlem  26228  dvcnp2  26233  dvcn  26234  dvnres  26244  dvaddbr  26251  dvmulbr  26252  dvcobr  26259  dvcjbr  26262  dvrec  26268  dvexp3  26291  dveflem  26292  dvlipcn  26307  lhop1lem  26326  ftc1cn  26356  dvply1  26598  dvtaylp  26690  taylthlem2  26694  psercn  26746  pserdvlem2  26748  pserdv  26749  abelth  26761  logcn  26968  dvloglem  26969  dvlog  26972  dvlog2  26974  efopnlem2  26978  logtayl  26981  cxpcn  27066  cxpcn2  27067  cxpcn3  27069  resqrtcn  27070  sqrtcn  27071  dvatan  27256  ftalem3  27395  cxpcncf1  35217  knoppcnlem10  37348  knoppcnlem11  37349  dvtan  38568  ftc1cnnc  38590  dvasin  38602  dvacos  38603  cxpcncf2  46878  dvsec  50825  dvcsc  50826  dvcot  50827