Theorem toponrestid 22877

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22872	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17365	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2746	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  TopOnctopon 22866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-rest 17354  df-topon 22867

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24872  cncfmpt2f  24876  cdivcncf  24882  cnrehmeo  24919  cnrehmeoOLD  24920  mulcncf  25414  cnlimc  25857  dvidlem  25884  dvcnp2  25889  dvcnp2OLD  25890  dvcn  25891  dvnres  25901  dvaddbr  25908  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  dvcobr  25917  dvcobrOLD  25918  dvcjbr  25921  dvrec  25927  dvexp3  25950  dveflem  25951  dvlipcn  25967  lhop1lem  25986  ftc1cn  26018  dvply1  26259  dvtaylp  26346  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  psercn  26404  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelth  26419  logcn  26624  dvloglem  26625  dvlog  26628  dvlog2  26630  efopnlem2  26634  logtayl  26637  cxpcn  26722  cxpcnOLD  26723  cxpcn2  26724  cxpcn3  26726  resqrtcn  26727  sqrtcn  26728  dvatan  26913  ftalem3  27053  cxpcncf1  34773  knoppcnlem10  36724  knoppcnlem11  36725  dvtan  37921  ftc1cnnc  37943  dvasin  37955  dvacos  37956  cxpcncf2  46257