Theorem toponrestid 21531

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 21526	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 16709	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2832	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↾_t crest 16696  TopOnctopon 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-rest 16698  df-topon 21521

This theorem is referenced by:  cncfcn1  23520  cncfmpt2f  23524  cdivcncf  23527  cnrehmeo  23559  cnlimc  24488  dvidlem  24515  dvcnp2  24519  dvcn  24520  dvnres  24530  dvaddbr  24537  dvmulbr  24538  dvcobr  24545  dvcjbr  24548  dvrec  24554  dvexp3  24577  dveflem  24578  dvlipcn  24593  lhop1lem  24612  ftc1cn  24642  dvply1  24875  dvtaylp  24960  taylthlem2  24964  psercn  25016  pserdvlem2  25018  pserdv  25019  abelth  25031  logcn  25232  dvloglem  25233  dvlog  25236  dvlog2  25238  efopnlem2  25242  logtayl  25245  cxpcn  25328  cxpcn2  25329  cxpcn3  25331  resqrtcn  25332  sqrtcn  25333  dvatan  25515  ftalem3  25654  cxpcncf1  31868  knoppcnlem10  33843  knoppcnlem11  33844  dvtan  34944  ftc1cnnc  34968  dvasin  34980  dvacos  34981  cxpcncf2  42190