Theorem toponrestid 22859

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22854	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2744	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↾_t crest 17434  TopOnctopon 22848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-rest 17436  df-topon 22849

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24855  cncfmpt2f  24859  cdivcncf  24865  cnrehmeo  24902  cnrehmeoOLD  24903  mulcncf  25398  cnlimc  25841  dvidlem  25868  dvcnp2  25873  dvcnp2OLD  25874  dvcn  25875  dvnres  25885  dvaddbr  25892  dvmulbr  25893  dvmulbrOLD  25894  dvcobr  25901  dvcobrOLD  25902  dvcjbr  25905  dvrec  25911  dvexp3  25934  dveflem  25935  dvlipcn  25951  lhop1lem  25970  ftc1cn  26002  dvply1  26243  dvtaylp  26330  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  psercn  26388  pserdvlem2  26390  pserdv  26391  abelth  26403  logcn  26608  dvloglem  26609  dvlog  26612  dvlog2  26614  efopnlem2  26618  logtayl  26621  cxpcn  26706  cxpcnOLD  26707  cxpcn2  26708  cxpcn3  26710  resqrtcn  26711  sqrtcn  26712  dvatan  26897  ftalem3  27037  cxpcncf1  34627  knoppcnlem10  36520  knoppcnlem11  36521  dvtan  37694  ftc1cnnc  37716  dvasin  37728  dvacos  37729  cxpcncf2  45928