Theorem toponrestid 23108

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23103	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17504	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2774	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↾_t crest 17491  TopOnctopon 23097

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rest 17493  df-topon 23098

This theorem is used by:  cncfcn1  25101  cncfmpt2f  25105  cdivcncf  25111  cnrehmeo  25143  mulcncf  25636  cnlimc  26078  dvidlem  26105  dvcnp2  26110  dvcn  26111  dvnres  26121  dvaddbr  26128  dvmulbr  26129  dvcobr  26136  dvcjbr  26139  dvrec  26145  dvexp3  26168  dveflem  26169  dvlipcn  26184  lhop1lem  26203  ftc1cn  26233  dvply1  26476  dvtaylp  26564  taylthlem2  26568  psercn  26620  pserdvlem2  26622  pserdv  26623  abelth  26635  logcn  26843  dvloglem  26844  dvlog  26847  dvlog2  26849  efopnlem2  26853  logtayl  26856  cxpcn  26941  cxpcn2  26942  cxpcn3  26944  resqrtcn  26945  sqrtcn  26946  dvatan  27131  ftalem3  27270  cxpcncf1  35023  knoppcnlem10  37124  knoppcnlem11  37125  dvtan  38354  ftc1cnnc  38376  dvasin  38388  dvacos  38389  cxpcncf2  46646