Theorem toponrestid 22784

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22779	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2738	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17359  TopOnctopon 22773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-rest 17361  df-topon 22774

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24780  cncfmpt2f  24784  cdivcncf  24790  cnrehmeo  24827  cnrehmeoOLD  24828  mulcncf  25322  cnlimc  25765  dvidlem  25792  dvcnp2  25797  dvcnp2OLD  25798  dvcn  25799  dvnres  25809  dvaddbr  25816  dvmulbr  25817  dvmulbrOLD  25818  dvcobr  25825  dvcobrOLD  25826  dvcjbr  25829  dvrec  25835  dvexp3  25858  dveflem  25859  dvlipcn  25875  lhop1lem  25894  ftc1cn  25926  dvply1  26167  dvtaylp  26254  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  psercn  26312  pserdvlem2  26314  pserdv  26315  abelth  26327  logcn  26532  dvloglem  26533  dvlog  26536  dvlog2  26538  efopnlem2  26542  logtayl  26545  cxpcn  26630  cxpcnOLD  26631  cxpcn2  26632  cxpcn3  26634  resqrtcn  26635  sqrtcn  26636  dvatan  26821  ftalem3  26961  cxpcncf1  34559  knoppcnlem10  36463  knoppcnlem11  36464  dvtan  37637  ftc1cnnc  37659  dvasin  37671  dvacos  37672  cxpcncf2  45870