Theorem toponrestid 22886

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22881	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2745	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↾_t crest 17383  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-rest 17385  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24878  cncfmpt2f  24882  cdivcncf  24888  cnrehmeo  24920  mulcncf  25413  cnlimc  25855  dvidlem  25882  dvcnp2  25887  dvcn  25888  dvnres  25898  dvaddbr  25905  dvmulbr  25906  dvcobr  25913  dvcjbr  25916  dvrec  25922  dvexp3  25945  dveflem  25946  dvlipcn  25961  lhop1lem  25980  ftc1cn  26010  dvply1  26250  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  psercn  26391  pserdvlem2  26393  pserdv  26394  abelth  26406  logcn  26611  dvloglem  26612  dvlog  26615  dvlog2  26617  efopnlem2  26621  logtayl  26624  cxpcn  26709  cxpcn2  26710  cxpcn3  26712  resqrtcn  26713  sqrtcn  26714  dvatan  26899  ftalem3  27038  cxpcncf1  34739  knoppcnlem10  36762  knoppcnlem11  36763  dvtan  37991  ftc1cnnc  38013  dvasin  38025  dvacos  38026  cxpcncf2  46327