MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponrestid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toponrestid 22293
Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
toponrestid.t 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΅)
Assertion
Ref Expression
toponrestid 𝐴 = (𝐴 β†Ύt 𝐡)

Proof of Theorem toponrestid
StepHypRef Expression
1 toponrestid.t . . 3 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΅)
21toponunii 22288 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐴
32restid 17323 . . 3 (𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΅) β†’ (𝐴 β†Ύt 𝐡) = 𝐴)
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴 β†Ύt 𝐡) = 𝐴
54eqcomi 2742 1 𝐴 = (𝐴 β†Ύt 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  TopOnctopon 22282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rest 17312  df-topon 22283
This theorem is referenced by:  cncfcn1  24297  cncfmpt2f  24301  cdivcncf  24307  cnrehmeo  24339  cnlimc  25275  dvidlem  25302  dvcnp2  25307  dvcn  25308  dvnres  25318  dvaddbr  25325  dvmulbr  25326  dvcobr  25333  dvcjbr  25336  dvrec  25342  dvexp3  25365  dveflem  25366  dvlipcn  25381  lhop1lem  25400  ftc1cn  25430  dvply1  25667  dvtaylp  25752  taylthlem2  25756  psercn  25808  pserdvlem2  25810  pserdv  25811  abelth  25823  logcn  26025  dvloglem  26026  dvlog  26029  dvlog2  26031  efopnlem2  26035  logtayl  26038  cxpcn  26121  cxpcn2  26122  cxpcn3  26124  resqrtcn  26125  sqrtcn  26126  dvatan  26308  ftalem3  26447  cxpcncf1  33272  knoppcnlem10  35018  knoppcnlem11  35019  dvtan  36178  ftc1cnnc  36200  dvasin  36212  dvacos  36213  cxpcncf2  44230
  Copyright terms: Public domain W3C validator