Theorem toponrestid 23240

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23235	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17605	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2770	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_t crest 17592  TopOnctopon 23229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-rest 17594  df-topon 23230

This theorem is used by:  cncfcn1  25233  cncfmpt2f  25237  cdivcncf  25243  cnrehmeo  25275  mulcncf  25768  cnlimc  26209  dvidlem  26236  dvcnp2  26241  dvcn  26242  dvnres  26252  dvaddbr  26259  dvmulbr  26260  dvcobr  26267  dvcjbr  26270  dvrec  26276  dvexp3  26299  dveflem  26300  dvlipcn  26315  lhop1lem  26334  ftc1cn  26364  dvply1  26606  dvtaylp  26698  taylthlem2  26702  psercn  26754  pserdvlem2  26756  pserdv  26757  abelth  26769  logcn  26976  dvloglem  26977  dvlog  26980  dvlog2  26982  efopnlem2  26986  logtayl  26989  cxpcn  27074  cxpcn2  27075  cxpcn3  27077  resqrtcn  27078  sqrtcn  27079  dvatan  27264  ftalem3  27403  cxpcncf1  35225  knoppcnlem10  37369  knoppcnlem11  37370  dvtan  38590  ftc1cnnc  38612  dvasin  38624  dvacos  38625  cxpcncf2  46910  dvsec  50857  dvcsc  50858  dvcot  50859