Theorem toponrestid 22927

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22922	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2746	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17465  TopOnctopon 22916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17467  df-topon 22917

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24937  cncfmpt2f  24941  cdivcncf  24947  cnrehmeo  24984  cnrehmeoOLD  24985  mulcncf  25480  cnlimc  25923  dvidlem  25950  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  dvcn  25957  dvnres  25967  dvaddbr  25974  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  dvcobr  25983  dvcobrOLD  25984  dvcjbr  25987  dvrec  25993  dvexp3  26016  dveflem  26017  dvlipcn  26033  lhop1lem  26052  ftc1cn  26084  dvply1  26325  dvtaylp  26412  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  psercn  26470  pserdvlem2  26472  pserdv  26473  abelth  26485  logcn  26689  dvloglem  26690  dvlog  26693  dvlog2  26695  efopnlem2  26699  logtayl  26702  cxpcn  26787  cxpcnOLD  26788  cxpcn2  26789  cxpcn3  26791  resqrtcn  26792  sqrtcn  26793  dvatan  26978  ftalem3  27118  cxpcncf1  34610  knoppcnlem10  36503  knoppcnlem11  36504  dvtan  37677  ftc1cnnc  37699  dvasin  37711  dvacos  37712  cxpcncf2  45914