Theorem toponrestid 21133

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 21128	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 16480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2787	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↾_t crest 16467  TopOnctopon 21122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-rest 16469  df-topon 21123

This theorem is referenced by:  cncfcn1  23121  cncfmpt2f  23125  cdivcncf  23128  cnrehmeo  23160  cnlimc  24089  dvidlem  24116  dvcnp2  24120  dvcn  24121  dvnres  24131  dvaddbr  24138  dvmulbr  24139  dvcobr  24146  dvcjbr  24149  dvrec  24155  dvexp3  24178  dveflem  24179  dvlipcn  24194  lhop1lem  24213  ftc1cn  24243  dvply1  24476  dvtaylp  24561  taylthlem2  24565  psercn  24617  pserdvlem2  24619  pserdv  24620  abelth  24632  logcn  24830  dvloglem  24831  dvlog  24834  dvlog2  24836  efopnlem2  24840  logtayl  24843  cxpcn  24926  cxpcn2  24927  cxpcn3  24929  resqrtcn  24930  sqrtcn  24931  dvatan  25113  ftalem3  25253  cxpcncf1  31275  knoppcnlem10  33075  knoppcnlem11  33076  dvtan  34085  ftc1cnnc  34109  dvasin  34121  dvacos  34122  cxpcncf2  41041