Theorem toponrestid 23246

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23241	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2769	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↾_t crest 17598  TopOnctopon 23235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-rest 17600  df-topon 23236

This theorem is used by:  cncfcn1  25239  cncfmpt2f  25243  cdivcncf  25249  cnrehmeo  25281  mulcncf  25774  cnlimc  26215  dvidlem  26242  dvcnp2  26247  dvcn  26248  dvnres  26258  dvaddbr  26265  dvmulbr  26266  dvcobr  26273  dvcjbr  26276  dvrec  26282  dvexp3  26305  dveflem  26306  dvlipcn  26321  lhop1lem  26340  ftc1cn  26370  dvply1  26612  dvtaylp  26704  taylthlem2  26708  psercn  26760  pserdvlem2  26762  pserdv  26763  abelth  26775  logcn  26982  dvloglem  26983  dvlog  26986  dvlog2  26988  efopnlem2  26992  logtayl  26995  cxpcn  27080  cxpcn2  27081  cxpcn3  27083  resqrtcn  27084  sqrtcn  27085  dvatan  27270  ftalem3  27409  cxpcncf1  35272  knoppcnlem10  37462  knoppcnlem11  37463  dvtan  38695  ftc1cnnc  38717  dvasin  38729  dvacos  38730  cxpcncf2  47016  dvsec  51038  dvcsc  51039  dvcot  51040