Theorem toponrestid 22865

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22860	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2745	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17340  TopOnctopon 22854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rest 17342  df-topon 22855

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24860  cncfmpt2f  24864  cdivcncf  24870  cnrehmeo  24907  cnrehmeoOLD  24908  mulcncf  25402  cnlimc  25845  dvidlem  25872  dvcnp2  25877  dvcnp2OLD  25878  dvcn  25879  dvnres  25889  dvaddbr  25896  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  dvcobr  25905  dvcobrOLD  25906  dvcjbr  25909  dvrec  25915  dvexp3  25938  dveflem  25939  dvlipcn  25955  lhop1lem  25974  ftc1cn  26006  dvply1  26247  dvtaylp  26334  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  psercn  26392  pserdvlem2  26394  pserdv  26395  abelth  26407  logcn  26612  dvloglem  26613  dvlog  26616  dvlog2  26618  efopnlem2  26622  logtayl  26625  cxpcn  26710  cxpcnOLD  26711  cxpcn2  26712  cxpcn3  26714  resqrtcn  26715  sqrtcn  26716  dvatan  26901  ftalem3  27041  cxpcncf1  34752  knoppcnlem10  36702  knoppcnlem11  36703  dvtan  37871  ftc1cnnc  37893  dvasin  37905  dvacos  37906  cxpcncf2  46143