Theorem toponrestid 23294

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23289	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17654	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2772	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↾_t crest 17641  TopOnctopon 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-rest 17643  df-topon 23284

This theorem is used by:  cncfcn1  25287  cncfmpt2f  25291  cdivcncf  25297  cnrehmeo  25329  mulcncf  25822  cnlimc  26263  dvidlem  26290  dvcnp2  26295  dvcn  26296  dvnres  26306  dvaddbr  26313  dvmulbr  26314  dvcobr  26321  dvcjbr  26324  dvrec  26330  dvexp3  26353  dveflem  26354  dvlipcn  26369  lhop1lem  26388  ftc1cn  26418  dvply1  26660  dvtaylp  26754  taylthlem2  26758  psercn  26810  pserdvlem2  26812  pserdv  26813  abelth  26825  logcn  27032  dvloglem  27033  dvlog  27036  dvlog2  27038  efopnlem2  27042  logtayl  27045  cxpcn  27130  cxpcn2  27131  cxpcn3  27133  resqrtcn  27134  sqrtcn  27135  dvatan  27320  ftalem3  27459  cxpcncf1  35335  knoppcnlem10  37583  knoppcnlem11  37584  dvtan  38856  ftc1cnnc  38878  dvasin  38890  dvacos  38891  cxpcncf2  47182  dvsec  51284  dvcsc  51285  dvcot  51286