Theorem toponrestid 22831

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22826	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17332	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2740	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↾_t crest 17319  TopOnctopon 22820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-rest 17321  df-topon 22821

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24826  cncfmpt2f  24830  cdivcncf  24836  cnrehmeo  24873  cnrehmeoOLD  24874  mulcncf  25368  cnlimc  25811  dvidlem  25838  dvcnp2  25843  dvcnp2OLD  25844  dvcn  25845  dvnres  25855  dvaddbr  25862  dvmulbr  25863  dvmulbrOLD  25864  dvcobr  25871  dvcobrOLD  25872  dvcjbr  25875  dvrec  25881  dvexp3  25904  dveflem  25905  dvlipcn  25921  lhop1lem  25940  ftc1cn  25972  dvply1  26213  dvtaylp  26300  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  psercn  26358  pserdvlem2  26360  pserdv  26361  abelth  26373  logcn  26578  dvloglem  26579  dvlog  26582  dvlog2  26584  efopnlem2  26588  logtayl  26591  cxpcn  26676  cxpcnOLD  26677  cxpcn2  26678  cxpcn3  26680  resqrtcn  26681  sqrtcn  26682  dvatan  26867  ftalem3  27007  cxpcncf1  34600  knoppcnlem10  36536  knoppcnlem11  36537  dvtan  37710  ftc1cnnc  37732  dvasin  37744  dvacos  37745  cxpcncf2  45937