Theorem toponrestid 22422

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22417	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2741	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↾_t crest 17365  TopOnctopon 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rest 17367  df-topon 22412

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24426  cncfmpt2f  24430  cdivcncf  24436  cnrehmeo  24468  cnlimc  25404  dvidlem  25431  dvcnp2  25436  dvcn  25437  dvnres  25447  dvaddbr  25454  dvmulbr  25455  dvcobr  25462  dvcjbr  25465  dvrec  25471  dvexp3  25494  dveflem  25495  dvlipcn  25510  lhop1lem  25529  ftc1cn  25559  dvply1  25796  dvtaylp  25881  taylthlem2  25885  psercn  25937  pserdvlem2  25939  pserdv  25940  abelth  25952  logcn  26154  dvloglem  26155  dvlog  26158  dvlog2  26160  efopnlem2  26164  logtayl  26167  cxpcn  26250  cxpcn2  26251  cxpcn3  26253  resqrtcn  26254  sqrtcn  26255  dvatan  26437  ftalem3  26576  cxpcncf1  33602  gg-cnrehmeo  35166  gg-mulcncf  35168  gg-dvcnp2  35169  gg-dvmulbr  35170  gg-dvcobr  35171  gg-cxpcn  35179  knoppcnlem10  35373  knoppcnlem11  35374  dvtan  36533  ftc1cnnc  36555  dvasin  36567  dvacos  36568  cxpcncf2  44605