Theorem toponrestid 22896

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22891	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17387	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2746	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17374  TopOnctopon 22885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rest 17376  df-topon 22886

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24888  cncfmpt2f  24892  cdivcncf  24898  cnrehmeo  24930  mulcncf  25423  cnlimc  25865  dvidlem  25892  dvcnp2  25897  dvcn  25898  dvnres  25908  dvaddbr  25915  dvmulbr  25916  dvcobr  25923  dvcjbr  25926  dvrec  25932  dvexp3  25955  dveflem  25956  dvlipcn  25971  lhop1lem  25990  ftc1cn  26020  dvply1  26260  dvtaylp  26347  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  psercn  26404  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelth  26419  logcn  26624  dvloglem  26625  dvlog  26628  dvlog2  26630  efopnlem2  26634  logtayl  26637  cxpcn  26722  cxpcn2  26723  cxpcn3  26725  resqrtcn  26726  sqrtcn  26727  dvatan  26912  ftalem3  27052  cxpcncf1  34755  knoppcnlem10  36778  knoppcnlem11  36779  dvtan  38005  ftc1cnnc  38027  dvasin  38039  dvacos  38040  cxpcncf2  46345