Theorem toponrestid 22644

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22639	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17384	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2740	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17371  TopOnctopon 22633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rest 17373  df-topon 22634

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24652  cncfmpt2f  24656  cdivcncf  24662  cnrehmeo  24699  cnrehmeoOLD  24700  mulcncf  25195  cnlimc  25638  dvidlem  25665  dvcnp2  25670  dvcnp2OLD  25671  dvcn  25672  dvnres  25682  dvaddbr  25689  dvmulbr  25690  dvmulbrOLD  25691  dvcobr  25698  dvcobrOLD  25699  dvcjbr  25702  dvrec  25708  dvexp3  25731  dveflem  25732  dvlipcn  25747  lhop1lem  25766  ftc1cn  25796  dvply1  26034  dvtaylp  26119  taylthlem2  26123  psercn  26175  pserdvlem2  26177  pserdv  26178  abelth  26190  logcn  26392  dvloglem  26393  dvlog  26396  dvlog2  26398  efopnlem2  26402  logtayl  26405  cxpcn  26490  cxpcn2  26491  cxpcn3  26493  resqrtcn  26494  sqrtcn  26495  dvatan  26677  ftalem3  26816  cxpcncf1  33906  gg-cxpcn  35471  knoppcnlem10  35682  knoppcnlem11  35683  dvtan  36842  ftc1cnnc  36864  dvasin  36876  dvacos  36877  cxpcncf2  44914