Theorem toponrestid 22969

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22964	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2770	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↾_t crest 17440  TopOnctopon 22958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-rest 17442  df-topon 22959

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24961  cncfmpt2f  24965  cdivcncf  24971  cnrehmeo  25003  mulcncf  25496  cnlimc  25938  dvidlem  25965  dvcnp2  25970  dvcn  25971  dvnres  25981  dvaddbr  25988  dvmulbr  25989  dvcobr  25996  dvcjbr  25999  dvrec  26005  dvexp3  26028  dveflem  26029  dvlipcn  26044  lhop1lem  26063  ftc1cn  26093  dvply1  26336  dvtaylp  26421  taylthlem2  26425  psercn  26477  pserdvlem2  26479  pserdv  26480  abelth  26492  logcn  26700  dvloglem  26701  dvlog  26704  dvlog2  26706  efopnlem2  26710  logtayl  26713  cxpcn  26798  cxpcn2  26799  cxpcn3  26801  resqrtcn  26802  sqrtcn  26803  dvatan  26988  ftalem3  27127  cxpcncf1  34850  knoppcnlem10  36901  knoppcnlem11  36902  dvtan  38130  ftc1cnnc  38152  dvasin  38164  dvacos  38165  cxpcncf2  46434