Theorem toponrestid 23043

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23038	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2778	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↾_t crest 17469  TopOnctopon 23032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rest 17471  df-topon 23033

This theorem is referenced by:  cncfcn1  25035  cncfmpt2f  25039  cdivcncf  25045  cnrehmeo  25077  mulcncf  25570  cnlimc  26012  dvidlem  26039  dvcnp2  26044  dvcn  26045  dvnres  26055  dvaddbr  26062  dvmulbr  26063  dvcobr  26070  dvcjbr  26073  dvrec  26079  dvexp3  26102  dveflem  26103  dvlipcn  26118  lhop1lem  26137  ftc1cn  26167  dvply1  26410  dvtaylp  26495  taylthlem2  26499  psercn  26551  pserdvlem2  26553  pserdv  26554  abelth  26566  logcn  26774  dvloglem  26775  dvlog  26778  dvlog2  26780  efopnlem2  26784  logtayl  26787  cxpcn  26872  cxpcn2  26873  cxpcn3  26875  resqrtcn  26876  sqrtcn  26877  dvatan  27062  ftalem3  27201  cxpcncf1  34923  knoppcnlem10  36976  knoppcnlem11  36977  dvtan  38204  ftc1cnnc  38226  dvasin  38238  dvacos  38239  cxpcncf2  46500