Theorem toponrestid 21978

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 21973	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17061	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2747	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↾_t crest 17048  TopOnctopon 21967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-rest 17050  df-topon 21968

This theorem is referenced by:  cncfcn1  23980  cncfmpt2f  23984  cdivcncf  23990  cnrehmeo  24022  cnlimc  24957  dvidlem  24984  dvcnp2  24989  dvcn  24990  dvnres  25000  dvaddbr  25007  dvmulbr  25008  dvcobr  25015  dvcjbr  25018  dvrec  25024  dvexp3  25047  dveflem  25048  dvlipcn  25063  lhop1lem  25082  ftc1cn  25112  dvply1  25349  dvtaylp  25434  taylthlem2  25438  psercn  25490  pserdvlem2  25492  pserdv  25493  abelth  25505  logcn  25707  dvloglem  25708  dvlog  25711  dvlog2  25713  efopnlem2  25717  logtayl  25720  cxpcn  25803  cxpcn2  25804  cxpcn3  25806  resqrtcn  25807  sqrtcn  25808  dvatan  25990  ftalem3  26129  cxpcncf1  32475  knoppcnlem10  34609  knoppcnlem11  34610  dvtan  35754  ftc1cnnc  35776  dvasin  35788  dvacos  35789  cxpcncf2  43330