Theorem toponrestid 22815

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22810	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17403	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2739	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17390  TopOnctopon 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-rest 17392  df-topon 22805

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24811  cncfmpt2f  24815  cdivcncf  24821  cnrehmeo  24858  cnrehmeoOLD  24859  mulcncf  25353  cnlimc  25796  dvidlem  25823  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  dvcn  25830  dvnres  25840  dvaddbr  25847  dvmulbr  25848  dvmulbrOLD  25849  dvcobr  25856  dvcobrOLD  25857  dvcjbr  25860  dvrec  25866  dvexp3  25889  dveflem  25890  dvlipcn  25906  lhop1lem  25925  ftc1cn  25957  dvply1  26198  dvtaylp  26285  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  psercn  26343  pserdvlem2  26345  pserdv  26346  abelth  26358  logcn  26563  dvloglem  26564  dvlog  26567  dvlog2  26569  efopnlem2  26573  logtayl  26576  cxpcn  26661  cxpcnOLD  26662  cxpcn2  26663  cxpcn3  26665  resqrtcn  26666  sqrtcn  26667  dvatan  26852  ftalem3  26992  cxpcncf1  34593  knoppcnlem10  36497  knoppcnlem11  36498  dvtan  37671  ftc1cnnc  37693  dvasin  37705  dvacos  37706  cxpcncf2  45904