Theorem toponrestid 22904

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22899	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17387	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2748	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↾_t crest 17374  TopOnctopon 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-rest 17376  df-topon 22894

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24896  cncfmpt2f  24900  cdivcncf  24906  cnrehmeo  24938  mulcncf  25431  cnlimc  25873  dvidlem  25900  dvcnp2  25905  dvcn  25906  dvnres  25916  dvaddbr  25923  dvmulbr  25924  dvcobr  25931  dvcjbr  25934  dvrec  25940  dvexp3  25963  dveflem  25964  dvlipcn  25979  lhop1lem  25998  ftc1cn  26028  dvply1  26268  dvtaylp  26353  taylthlem2  26357  psercn  26409  pserdvlem2  26411  pserdv  26412  abelth  26424  logcn  26629  dvloglem  26630  dvlog  26633  dvlog2  26635  efopnlem2  26639  logtayl  26642  cxpcn  26727  cxpcn2  26728  cxpcn3  26730  resqrtcn  26731  sqrtcn  26732  dvatan  26917  ftalem3  27056  cxpcncf1  34779  knoppcnlem10  36808  knoppcnlem11  36809  dvtan  38037  ftc1cnnc  38059  dvasin  38071  dvacos  38072  cxpcncf2  46342