Theorem toponrestid 23146

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 23141	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17518	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2769	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17505  TopOnctopon 23135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17507  df-topon 23136

This theorem is used by:  cncfcn1  25139  cncfmpt2f  25143  cdivcncf  25149  cnrehmeo  25181  mulcncf  25674  cnlimc  26115  dvidlem  26142  dvcnp2  26147  dvcn  26148  dvnres  26158  dvaddbr  26165  dvmulbr  26166  dvcobr  26173  dvcjbr  26176  dvrec  26182  dvexp3  26205  dveflem  26206  dvlipcn  26221  lhop1lem  26240  ftc1cn  26270  dvply1  26514  dvtaylp  26606  taylthlem2  26610  psercn  26662  pserdvlem2  26664  pserdv  26665  abelth  26677  logcn  26884  dvloglem  26885  dvlog  26888  dvlog2  26890  efopnlem2  26894  logtayl  26897  cxpcn  26982  cxpcn2  26983  cxpcn3  26985  resqrtcn  26986  sqrtcn  26987  dvatan  27172  ftalem3  27311  cxpcncf1  35103  knoppcnlem10  37199  knoppcnlem11  37200  dvtan  38419  ftc1cnnc  38441  dvasin  38453  dvacos  38454  cxpcncf2  46727  dvsec  50689  dvcsc  50690  dvcot  50691