Theorem toponrestid 22070

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22065	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2747	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↾_t crest 17131  TopOnctopon 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rest 17133  df-topon 22060

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24074  cncfmpt2f  24078  cdivcncf  24084  cnrehmeo  24116  cnlimc  25052  dvidlem  25079  dvcnp2  25084  dvcn  25085  dvnres  25095  dvaddbr  25102  dvmulbr  25103  dvcobr  25110  dvcjbr  25113  dvrec  25119  dvexp3  25142  dveflem  25143  dvlipcn  25158  lhop1lem  25177  ftc1cn  25207  dvply1  25444  dvtaylp  25529  taylthlem2  25533  psercn  25585  pserdvlem2  25587  pserdv  25588  abelth  25600  logcn  25802  dvloglem  25803  dvlog  25806  dvlog2  25808  efopnlem2  25812  logtayl  25815  cxpcn  25898  cxpcn2  25899  cxpcn3  25901  resqrtcn  25902  sqrtcn  25903  dvatan  26085  ftalem3  26224  cxpcncf1  32575  knoppcnlem10  34682  knoppcnlem11  34683  dvtan  35827  ftc1cnnc  35849  dvasin  35861  dvacos  35862  cxpcncf2  43440