Theorem toponrestid 22856

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22851	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17344	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2742	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↾_t crest 17331  TopOnctopon 22845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-rest 17333  df-topon 22846

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24851  cncfmpt2f  24855  cdivcncf  24861  cnrehmeo  24898  cnrehmeoOLD  24899  mulcncf  25393  cnlimc  25836  dvidlem  25863  dvcnp2  25868  dvcnp2OLD  25869  dvcn  25870  dvnres  25880  dvaddbr  25887  dvmulbr  25888  dvmulbrOLD  25889  dvcobr  25896  dvcobrOLD  25897  dvcjbr  25900  dvrec  25906  dvexp3  25929  dveflem  25930  dvlipcn  25946  lhop1lem  25965  ftc1cn  25997  dvply1  26238  dvtaylp  26325  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  psercn  26383  pserdvlem2  26385  pserdv  26386  abelth  26398  logcn  26603  dvloglem  26604  dvlog  26607  dvlog2  26609  efopnlem2  26613  logtayl  26616  cxpcn  26701  cxpcnOLD  26702  cxpcn2  26703  cxpcn3  26705  resqrtcn  26706  sqrtcn  26707  dvatan  26892  ftalem3  27032  cxpcncf1  34680  knoppcnlem10  36618  knoppcnlem11  36619  dvtan  37783  ftc1cnnc  37805  dvasin  37817  dvacos  37818  cxpcncf2  46059