Theorem toponrestid 22808

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 22803	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 17396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2738	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↾_t crest 17383  TopOnctopon 22797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-rest 17385  df-topon 22798

This theorem is referenced by:  cncfcn1  24804  cncfmpt2f  24808  cdivcncf  24814  cnrehmeo  24851  cnrehmeoOLD  24852  mulcncf  25346  cnlimc  25789  dvidlem  25816  dvcnp2  25821  dvcnp2OLD  25822  dvcn  25823  dvnres  25833  dvaddbr  25840  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  dvcobr  25849  dvcobrOLD  25850  dvcjbr  25853  dvrec  25859  dvexp3  25882  dveflem  25883  dvlipcn  25899  lhop1lem  25918  ftc1cn  25950  dvply1  26191  dvtaylp  26278  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  psercn  26336  pserdvlem2  26338  pserdv  26339  abelth  26351  logcn  26556  dvloglem  26557  dvlog  26560  dvlog2  26562  efopnlem2  26566  logtayl  26569  cxpcn  26654  cxpcnOLD  26655  cxpcn2  26656  cxpcn3  26658  resqrtcn  26659  sqrtcn  26660  dvatan  26845  ftalem3  26985  cxpcncf1  34586  knoppcnlem10  36490  knoppcnlem11  36491  dvtan  37664  ftc1cnnc  37686  dvasin  37698  dvacos  37699  cxpcncf2  45897