Theorem ruclem3 16115

Description: Lemma for ruc 16125. The constructed interval [𝑋, 𝑌] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruclem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6	⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem1.7	⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ruclem3	⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑋 ∨ 𝑌 < 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		ruclem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ruclem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	lenltd 11301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
7		ruclem2.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8		avglt2 12392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
9	2, 3, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
10	7, 9	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
11		avglt1 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
12	5, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
13	10, 12	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
14	5, 3	readdcld 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
16		lelttr 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
17	1, 5, 15, 16	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
18	13, 17	mpan2d 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
19	6, 18	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
20	19	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
21		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
22		ruc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
23		ruclem1.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
24		ruclem1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
25	21, 22, 2, 3, 1, 23, 24	ruclem1 16113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
26	25	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
27		iffalse 4495	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
28	26, 27	sylan9eq 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
29	20, 28	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < 𝑋)
30	29	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑀 < 𝑋))
31	30	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
32	25	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
33		iftrue 4492	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
34	32, 33	sylan9eq 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
35		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀)
36	34, 35	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 < 𝑀)
37	36	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑌 < 𝑀))
38	31, 37	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → 𝑌 < 𝑀))
39	38	orrd 861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑋 ∨ 𝑌 < 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3855  ifcif 4486  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1^st c1st 7919  2^nd c2nd 7920  ℝcr 11050   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216

This theorem is referenced by:  ruclem12  16123