MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem3 15581
Description: Lemma for ruc 15591. The constructed interval [𝑋, 𝑌] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruclem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem1.7 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem2.8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ruclem3 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem3
StepHypRef Expression
1 ruclem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 ruclem1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54rehalfcld 11876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
61, 5lenltd 10779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
7 ruclem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
8 avglt2 11868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
92, 3, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
107, 9mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
11 avglt1 11867 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
125, 3, 11syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1310, 12mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
145, 3readdcld 10663 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514rehalfcld 11876 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
16 lelttr 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
171, 5, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1813, 17mpan2d 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
196, 18sylbird 263 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
2019imp 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
21 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
22 ruc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
23 ruclem1.6 . . . . . . . . 9 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
24 ruclem1.7 . . . . . . . . 9 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
2521, 22, 2, 3, 1, 23, 24ruclem1 15579 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
2625simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
27 iffalse 4437 . . . . . . 7 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2826, 27sylan9eq 2856 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2920, 28breqtrrd 5061 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < 𝑋)
3029ex 416 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < 𝑋))
3130con1d 147 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
3225simp3d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
33 iftrue 4434 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3432, 33sylan9eq 2856 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
35 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀)
3634, 35eqbrtrd 5055 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 < 𝑀)
3736ex 416 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑌 < 𝑀))
3831, 37syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
3938orrd 860 1 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  csb 3831  ifcif 4428  cop 4534   class class class wbr 5033   × cxp 5521  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  cr 10529   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11692
This theorem is referenced by:  ruclem12  15589
  Copyright terms: Public domain W3C validator