MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem3 15366
Description: Lemma for ruc 15376. The constructed interval [𝑋, 𝑌] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruclem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem1.7 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem2.8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ruclem3 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem3
StepHypRef Expression
1 ruclem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 ruclem1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 10406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54rehalfcld 11629 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
61, 5lenltd 10522 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
7 ruclem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
8 avglt2 11621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
92, 3, 8syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
107, 9mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
11 avglt1 11620 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
125, 3, 11syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1310, 12mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
145, 3readdcld 10406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514rehalfcld 11629 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
16 lelttr 10467 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
171, 5, 15, 16syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1813, 17mpan2d 684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
196, 18sylbird 252 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
2019imp 397 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
21 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
22 ruc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
23 ruclem1.6 . . . . . . . . 9 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
24 ruclem1.7 . . . . . . . . 9 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
2521, 22, 2, 3, 1, 23, 24ruclem1 15364 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
2625simp2d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
27 iffalse 4315 . . . . . . 7 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2826, 27sylan9eq 2833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2920, 28breqtrrd 4914 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < 𝑋)
3029ex 403 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < 𝑋))
3130con1d 142 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
3225simp3d 1135 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
33 iftrue 4312 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3432, 33sylan9eq 2833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
35 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀)
3634, 35eqbrtrd 4908 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 < 𝑀)
3736ex 403 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑌 < 𝑀))
3831, 37syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
3938orrd 852 1 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836   = wceq 1601  wcel 2106  csb 3750  ifcif 4306  cop 4403   class class class wbr 4886   × cxp 5353  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  1st c1st 7443  2nd c2nd 7444  cr 10271   + caddc 10275   < clt 10411  cle 10412   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438
This theorem is referenced by:  ruclem12  15374
  Copyright terms: Public domain W3C validator