MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem3 16181
Description: Lemma for ruc 16191. The constructed interval [𝑋, π‘Œ] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruclem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
ruclem1.7 π‘Œ = (2nd β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
ruclem2.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ruclem3 (πœ‘ β†’ (𝑀 < 𝑋 ∨ π‘Œ < 𝑀))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑀,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝑋(π‘₯,𝑦,π‘š)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem3
StepHypRef Expression
1 ruclem1.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2 ruclem1.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 11248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
54rehalfcld 12464 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
61, 5lenltd 11365 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ↔ Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀))
7 ruclem2.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
8 avglt2 12456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
92, 3, 8syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
107, 9mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡)
11 avglt1 12455 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
125, 3, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
1310, 12mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
145, 3readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) ∈ ℝ)
1514rehalfcld 12464 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
16 lelttr 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) β†’ 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
171, 5, 15, 16syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) β†’ 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
1813, 17mpan2d 691 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2) β†’ 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
196, 18sylbird 260 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
2019imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
21 ruc.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
22 ruc.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
23 ruclem1.6 . . . . . . . . 9 𝑋 = (1st β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
24 ruclem1.7 . . . . . . . . 9 π‘Œ = (2nd β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
2521, 22, 2, 3, 1, 23, 24ruclem1 16179 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€) ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) ∧ π‘Œ = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡)))
2625simp2d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
27 iffalse 4537 . . . . . . 7 (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
2826, 27sylan9eq 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
2920, 28breqtrrd 5176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ 𝑀 < 𝑋)
3029ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ 𝑀 < 𝑋))
3130con1d 145 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 < 𝑋 β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀))
3225simp3d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡))
33 iftrue 4534 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) = ((𝐴 + 𝐡) / 2))
3432, 33sylan9eq 2791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ π‘Œ = ((𝐴 + 𝐡) / 2))
35 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀)
3634, 35eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀) β†’ π‘Œ < 𝑀)
3736ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ π‘Œ < 𝑀))
3831, 37syld 47 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 < 𝑋 β†’ π‘Œ < 𝑀))
3938orrd 860 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 < 𝑋 ∨ π‘Œ < 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β¦‹csb 3893  ifcif 4528  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7976  2nd c2nd 7977  β„cr 11112   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280
This theorem is referenced by:  ruclem12  16189
  Copyright terms: Public domain W3C validator