Theorem ruclem3 16266

Description: Lemma for ruc 16276. The constructed interval [𝑋, 𝑌] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruclem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6	⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem1.7	⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ruclem3	⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑋 ∨ 𝑌 < 𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		ruclem1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ruclem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6	1, 5	lenltd 11405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
7		ruclem2.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
8		avglt2 12503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
9	2, 3, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
10	7, 9	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
11		avglt1 12502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
12	5, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
13	10, 12	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
14	5, 3	readdcld 11288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	rehalfcld 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
16		lelttr 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
17	1, 5, 15, 16	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
18	13, 17	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
19	6, 18	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
21		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
22		ruc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
23		ruclem1.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
24		ruclem1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
25	21, 22, 2, 3, 1, 23, 24	ruclem1 16264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
26	25	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
27		iffalse 4540	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
28	26, 27	sylan9eq 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
29	20, 28	breqtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < 𝑋)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑀 < 𝑋))
31	30	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
32	25	simp3d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
33		iftrue 4537	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
34	32, 33	sylan9eq 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
35		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀)
36	34, 35	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 < 𝑀)
37	36	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → 𝑌 < 𝑀))
38	31, 37	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → 𝑌 < 𝑀))
39	38	orrd 863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑋 ∨ 𝑌 < 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3908  ifcif 4531  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1^st c1st 8011  2^nd c2nd 8012  ℝcr 11152   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327

This theorem is referenced by:  ruclem12  16274