MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem2 16216
Description: Lemma for ruc 16227. Ordering property for the input to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruclem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
ruclem1.7 π‘Œ = (2nd β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
ruclem2.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ruclem2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐴   𝐡,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑀,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝑋(π‘₯,𝑦,π‘š)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem2
StepHypRef Expression
1 ruclem1.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 11818 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐴)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 11281 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ ℝ)
54rehalfcld 12497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
65, 3readdcld 11281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) ∈ ℝ)
76rehalfcld 12497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) ∈ ℝ)
8 ruclem2.8 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
9 avglt1 12488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
101, 3, 9syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
118, 10mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2))
12 avglt2 12489 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
131, 3, 12syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡))
148, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡)
15 avglt1 12488 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
165, 3, 15syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
1714, 16mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
181, 5, 7, 11, 17lttrd 11413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
191, 7, 18ltled 11400 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
20 breq2 5156 . . . . 5 (𝐴 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) β†’ (𝐴 ≀ 𝐴 ↔ 𝐴 ≀ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))))
21 breq2 5156 . . . . 5 (((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) β†’ (𝐴 ≀ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) ↔ 𝐴 ≀ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))))
2220, 21ifboth 4571 . . . 4 ((𝐴 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) β†’ 𝐴 ≀ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
232, 19, 22syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
24 ruc.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
25 ruc.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
26 ruclem1.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
27 ruclem1.6 . . . . 5 𝑋 = (1st β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
28 ruclem1.7 . . . . 5 π‘Œ = (2nd β€˜(⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€))
2924, 25, 1, 3, 26, 27, 28ruclem1 16215 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((⟨𝐴, π΅βŸ©π·π‘€) ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) ∧ π‘Œ = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡)))
3029simp2d 1140 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)))
3123, 30breqtrrd 5180 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
32 iftrue 4538 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) = 𝐴)
33 iftrue 4538 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) = ((𝐴 + 𝐡) / 2))
3432, 33breq12d 5165 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ (if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐡) / 2)))
3511, 34syl5ibrcom 246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡)))
36 avglt2 12489 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) < 𝐡))
375, 3, 36syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝐡 ↔ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) < 𝐡))
3814, 37mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) < 𝐡)
39 iffalse 4541 . . . . . 6 (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2))
40 iffalse 4541 . . . . . 6 (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) = 𝐡)
4139, 40breq12d 5165 . . . . 5 (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ (if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ↔ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2) < 𝐡))
4238, 41syl5ibrcom 246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Β¬ ((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀 β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡)))
4335, 42pm2.61d 179 . . 3 (πœ‘ β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + 𝐡) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡))
4429simp3d 1141 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡))
4543, 30, 443brtr4d 5184 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
465, 3, 14ltled 11400 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ≀ 𝐡)
473leidd 11818 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ 𝐡)
48 breq1 5155 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐡) / 2) = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) ≀ 𝐡 ↔ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ≀ 𝐡))
49 breq1 5155 . . . . 5 (𝐡 = if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) β†’ (𝐡 ≀ 𝐡 ↔ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ≀ 𝐡))
5048, 49ifboth 4571 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ 𝐡) β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ≀ 𝐡)
5146, 47, 50syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ if(((𝐴 + 𝐡) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐡) / 2), 𝐡) ≀ 𝐡)
5244, 51eqbrtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
5331, 45, 523jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β¦‹csb 3894  ifcif 4532  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  β„cr 11145   + caddc 11149   < clt 11286   ≀ cle 11287   / cdiv 11909  β„•cn 12250  2c2 12305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313
This theorem is referenced by:  ruclem8  16221  ruclem9  16222
  Copyright terms: Public domain W3C validator