Theorem ruclem2 16312

Description: Lemma for ruc 16323. Ordering property for the input to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruclem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6	⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem1.7	⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ruclem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑚)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑚)   𝑋(𝑥, 𝑦, 𝑚)   𝑌(𝑥, 𝑦, 𝑚)

Proof of Theorem ruclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		ruclem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12508	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6	5, 3	readdcld 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8		ruclem2.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9		avglt1 12499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
10	1, 3, 9	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
11	8, 10	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12		avglt2 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
13	1, 3, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
14	8, 13	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
15		avglt1 12499	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
16	5, 3, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
18	1, 5, 7, 11, 17	lttrd 11388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
19	1, 7, 18	ltled 11375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
20		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
21		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
22	20, 21	ifboth 4529	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
23	2, 19, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
24		ruc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25		ruc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
26		ruclem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27		ruclem1.6	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
28		ruclem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
29	24, 25, 1, 3, 26, 27, 28	ruclem1 16311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
30	29	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
31	23, 30	breqtrrd 5141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
32		iftrue 4495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = 𝐴)
33		iftrue 4495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
34	32, 33	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
35	11, 34	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
36		avglt2 12500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
37	5, 3, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
38	14, 37	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵)
39		iffalse 4498	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
40		iffalse 4498	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = 𝐵)
41	39, 40	breq12d 5124	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
42	38, 41	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
43	35, 42	pm2.61d 181	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
44	29	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
45	43, 30, 44	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
46	5, 3, 14	ltled 11375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)
47	3	leidd 11797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
48		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
49		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
50	48, 49	ifboth 4529	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
51	46, 47, 50	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
52	44, 51	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
53	31, 45, 52	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⦋csb 3854  ifcif 4489  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  ℝcr 11116   + caddc 11120   < clt 11260   ≤ cle 11261   / cdiv 11888  ℕcn 12250  2c2 12312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320

This theorem is used by:  ruclem8  16317  ruclem9  16318