Theorem ruclem2 16207

Description: Lemma for ruc 16218. Ordering property for the input to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruclem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6	⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem1.7	⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ruclem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		ruclem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 11210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6	5, 3	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8		ruclem2.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9		avglt1 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
10	1, 3, 9	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
11	8, 10	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12		avglt2 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
13	1, 3, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
14	8, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
15		avglt1 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
16	5, 3, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
18	1, 5, 7, 11, 17	lttrd 11342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
19	1, 7, 18	ltled 11329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
20		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
21		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
22	20, 21	ifboth 4531	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
23	2, 19, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
24		ruc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25		ruc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
26		ruclem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27		ruclem1.6	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
28		ruclem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
29	24, 25, 1, 3, 26, 27, 28	ruclem1 16206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
30	29	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
31	23, 30	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
32		iftrue 4497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = 𝐴)
33		iftrue 4497	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
34	32, 33	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
35	11, 34	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
36		avglt2 12428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
37	5, 3, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
38	14, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵)
39		iffalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
40		iffalse 4500	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = 𝐵)
41	39, 40	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
42	38, 41	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
43	35, 42	pm2.61d 179	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
44	29	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
45	43, 30, 44	3brtr4d 5142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
46	5, 3, 14	ltled 11329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)
47	3	leidd 11751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
48		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
49		breq1 5113	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
50	48, 49	ifboth 4531	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
51	46, 47, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
52	44, 51	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
53	31, 45, 52	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3865  ifcif 4491  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  ℝcr 11074   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256

This theorem is referenced by:  ruclem8  16212  ruclem9  16213