Theorem ruclem4 16171

Description: Lemma for ruc 16180. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruc.5	. . 3 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
2	1	fveq1i 6843	. 2 ⊢ (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3		0z 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		ruc.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6		ffn 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
7		fnresdm 6619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
9		dfn2 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
10	9	reseq2i 5943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
11	8, 10	eqtr3di 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
12	11	uneq2d 4122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
13	4, 12	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
14	13	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15		c0ex 11138	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
17		opex 5419	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
20	16, 18, 19	fvsnun1 7138	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
21	20	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
22	14, 21	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
23	3, 22	seq1i 13950	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
24	2, 23	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  ifcif 4481  {csn 4582  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5630   ↾ cres 5634   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1^st c1st 7941  2^nd c2nd 7942  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  ruclem6  16172  ruclem8  16174  ruclem11  16177