MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem4 16174
Description: Lemma for ruc 16183. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruc.4 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
ruclem4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = ⟨0, 1⟩)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
21fveq1i 6890 . 2 (πΊβ€˜0) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜0)
3 0z 12566 . . 3 0 ∈ β„€
4 ruc.4 . . . . . 6 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
5 ruc.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
6 ffn 6715 . . . . . . . . 9 (𝐹:β„•βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn β„•)
7 fnresdm 6667 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn β„• β†’ (𝐹 β†Ύ β„•) = 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ β„•) = 𝐹)
9 dfn2 12482 . . . . . . . . 9 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
109reseq2i 5977 . . . . . . . 8 (𝐹 β†Ύ β„•) = (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0}))
118, 10eqtr3di 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0})))
1211uneq2d 4163 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0}))))
134, 12eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0}))))
1413fveq1d 6891 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0})))β€˜0))
15 c0ex 11205 . . . . . . 7 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 0 ∈ V)
17 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨0, 1⟩ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19 eqid 2733 . . . . . 6 ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0})))
2016, 18, 19fvsnun1 7177 . . . . 5 (⊀ β†’ (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0})))β€˜0) = ⟨0, 1⟩)
2120mptru 1549 . . . 4 (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ (𝐹 β†Ύ (β„•0 βˆ– {0})))β€˜0) = ⟨0, 1⟩
2214, 21eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = ⟨0, 1⟩)
233, 22seq1i 13977 . 2 (πœ‘ β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜0) = ⟨0, 1⟩)
242, 23eqtrid 2785 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜0) = ⟨0, 1⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  β¦‹csb 3893   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  1st c1st 7970  2nd c2nd 7971  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  seqcseq 13963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964
This theorem is referenced by:  ruclem6  16175  ruclem8  16177  ruclem11  16180
  Copyright terms: Public domain W3C validator