MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem4 16270
Description: Lemma for ruc 16279. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem4 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
21fveq1i 6907 . 2 (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3 0z 12624 . . 3 0 ∈ ℤ
4 ruc.4 . . . . . 6 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
6 ffn 6736 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
7 fnresdm 6687 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
9 dfn2 12539 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
109reseq2i 5994 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
118, 10eqtr3di 2792 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
1211uneq2d 4168 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
134, 12eqtrid 2789 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
1413fveq1d 6908 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15 c0ex 11255 . . . . . . 7 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 ∈ V)
17 opex 5469 . . . . . . 7 ⟨0, 1⟩ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19 eqid 2737 . . . . . 6 ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
2016, 18, 19fvsnun1 7202 . . . . 5 (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
2120mptru 1547 . . . 4 (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
2214, 21eqtrdi 2793 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
233, 22seq1i 14056 . 2 (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
242, 23eqtrid 2789 1 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  Vcvv 3480  csb 3899  cdif 3948  cun 3949  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  seqcseq 14042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043
This theorem is referenced by:  ruclem6  16271  ruclem8  16273  ruclem11  16276
  Copyright terms: Public domain W3C validator