Theorem ruclem4 15924

Description: Lemma for ruc 15933. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruc.5	. . 3 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
2	1	fveq1i 6769	. 2 ⊢ (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3		0z 12313	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		ruc.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6		ffn 6596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
7		fnresdm 6547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
9		dfn2 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
10	9	reseq2i 5885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
11	8, 10	eqtr3di 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
12	11	uneq2d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
13	4, 12	eqtrid 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
14	13	fveq1d 6770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15		c0ex 10953	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
17		opex 5381	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
20	16, 18, 19	fvsnun1 7048	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
21	20	mptru 1548	. . . 4 ⊢ (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
22	14, 21	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
23	3, 22	seq1i 13716	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
24	2, 23	eqtrid 2791	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  ⦋csb 3836   ∖ cdif 3888   ∪ cun 3889  ifcif 4464  {csn 4566  ⟨cop 4572   class class class wbr 5078   × cxp 5586   ↾ cres 5590   Fn wfn 6425  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ∈ cmpo 7270  1^st c1st 7815  2^nd c2nd 7816  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993   / cdiv 11615  ℕcn 11956  2c2 12011  ℕ₀cn0 12216  seqcseq 13702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-seq 13703

This theorem is referenced by:  ruclem6  15925  ruclem8  15927  ruclem11  15930