Theorem ruclem4 16267

Description: Lemma for ruc 16276. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruc.5	. . 3 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
2	1	fveq1i 6908	. 2 ⊢ (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3		0z 12622	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		ruc.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6		ffn 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
7		fnresdm 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
9		dfn2 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
10	9	reseq2i 5997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
11	8, 10	eqtr3di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
12	11	uneq2d 4178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
13	4, 12	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
14	13	fveq1d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15		c0ex 11253	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
17		opex 5475	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
20	16, 18, 19	fvsnun1 7202	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
21	20	mptru 1544	. . . 4 ⊢ (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
22	14, 21	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
23	3, 22	seq1i 14053	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
24	2, 23	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ⦋csb 3908   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961  ifcif 4531  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687   ↾ cres 5691   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1^st c1st 8011  2^nd c2nd 8012  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  seqcseq 14039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040

This theorem is referenced by:  ruclem6  16268  ruclem8  16270  ruclem11  16273