Theorem ruclem4 16252

Description: Lemma for ruc 16261. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem4	⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruc.5	. . 3 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
2	1	fveq1i 6877	. 2 ⊢ (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3		0z 12599	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		ruc.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5		ruc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6		ffn 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
7		fnresdm 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
9		dfn2 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
10	9	reseq2i 5963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
11	8, 10	eqtr3di 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
12	11	uneq2d 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
13	4, 12	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
14	13	fveq1d 6878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15		c0ex 11229	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0 ∈ V)
17		opex 5439	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
20	16, 18, 19	fvsnun1 7174	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
21	20	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
22	14, 21	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
23	3, 22	seq1i 14033	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
24	2, 23	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ⦋csb 3874   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924  ifcif 4500  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   × cxp 5652   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  seqcseq 14019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020

This theorem is referenced by:  ruclem6  16253  ruclem8  16255  ruclem11  16258