Theorem rehalfcld 12150

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   / cdiv 11562  2c2 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12158  flhalf  13478  fldiv4p1lem1div2  13483  fldiv4lem1div2uz2  13484  facavg  13943  recl  14749  crre  14753  geomulcvg  15516  resin4p  15775  recos4p  15776  resinhcl  15793  cos01bnd  15823  rpnnen2lem11  15861  ruclem1  15868  ruclem2  15869  ruclem3  15870  nno  16019  bitsp1  16066  prmreclem5  16549  4sqlem5  16571  4sqlem6  16572  4sqlem10  16576  4sqlem15  16588  4sqlem16  16589  blhalf  23466  metustexhalf  23618  cfilucfil  23621  nlmvscnlem2  23755  ioo2bl  23862  ioo2blex  23863  reperflem  23887  metnrmlem3  23930  ipcnlem2  24313  iscau3  24347  minveclem4  24501  ovolunlem1a  24565  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  lhop1lem  25082  ulmdvlem1  25464  radcnvle  25484  psercnlem1  25489  pserdvlem1  25491  pilem3  25517  coseq00topi  25564  cosordlem  25591  logtayl  25720  cxpcn3lem  25805  isosctrlem1  25873  chordthmlem4  25890  heron  25893  birthdaylem3  26008  cxp2limlem  26030  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamucov  26092  ftalem2  26128  chtub  26265  bcmono  26330  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem2  26420  gausslemma2dlem3  26421  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  2lgslem1a2  26443  2lgslem1c  26446  2sqlem8  26479  chpo1ubb  26534  dchrisum0fno1  26564  logdivsum  26586  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  selberg4lem1  26613  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntpbnd1a  26638  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlemg  26651  pntlemh  26652  minvecolem4  29143  nmcexi  30289  lt2addrd  30976  le2halvesd  30980  sqsscirc1  31760  tpr2rico  31764  dnibndlem12  34596  knoppndvlem21  34639  iooelexlt  35460  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  mblfinlem4  35744  itg2addnclem  35755  ftc1anclem7  35783  ftc1anc  35785  3lexlogpow2ineq1  39994  3lexlogpow2ineq2  39995  3lexlogpow5ineq5  39996  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p7  40010  sqrtcvallem3  41135  sqrtcvallem5  41137  sqrtcval  41138  oddfl  42705  dstregt0  42709  suplesup  42768  infleinflem1  42799  ioomidp  42942  lptre2pt  43071  0ellimcdiv  43080  limsupgtlem  43208  dvbdfbdioolem2  43360  dvbdfbdioo  43361  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweidlem14  43445  stoweidlem24  43455  stoweidlem49  43480  stoweidlem52  43483  stoweidlem62  43493  dirker2re  43523  dirkertrigeqlem3  43531  dirkertrigeq  43532  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem4  43537  fourierdlem5  43543  fourierdlem10  43548  fourierdlem43  43581  fourierdlem56  43593  fourierdlem58  43595  fourierdlem62  43599  fourierdlem66  43603  fourierdlem68  43605  fourierdlem72  43609  fourierdlem76  43613  fourierdlem78  43615  fourierdlem79  43616  fourierdlem83  43620  fourierdlem87  43624  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem112  43649  sge0xaddlem1  43861  smflimlem4  44196  flnn0div2ge  45767  dignn0flhalflem2  45850  dignn0flhalf  45852