Theorem rehalfcld 12418

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℝcr 11031   / cdiv 11801  2c2 12230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12426  flhalf  13783  fldiv4p1lem1div2  13788  fldiv4lem1div2uz2  13789  facavg  14257  recl  15066  crre  15070  geomulcvg  15835  resin4p  16099  recos4p  16100  resinhcl  16117  cos01bnd  16147  rpnnen2lem11  16185  ruclem1  16192  ruclem2  16193  ruclem3  16194  nno  16345  bitsp1  16394  prmreclem5  16885  4sqlem5  16907  4sqlem6  16908  4sqlem10  16912  4sqlem15  16924  4sqlem16  16925  blhalf  24383  metustexhalf  24534  cfilucfil  24537  nlmvscnlem2  24663  ioo2bl  24771  ioo2blex  24772  reperflem  24797  metnrmlem3  24840  ipcnlem2  25224  iscau3  25258  minveclem4  25412  ovolunlem1a  25476  dvferm1lem  25964  dvferm2lem  25966  lhop1lem  25993  ulmdvlem1  26381  radcnvle  26401  psercnlem1  26406  pserdvlem1  26408  pilem3  26434  coseq00topi  26482  cosordlem  26510  logtayl  26640  cxpcn3lem  26727  isosctrlem1  26798  chordthmlem4  26815  heron  26818  birthdaylem3  26933  cxp2limlem  26956  lgamgulmlem2  27010  lgamgulmlem3  27011  lgamucov  27018  ftalem2  27054  chtub  27192  bcmono  27257  lgsqrlem2  27327  gausslemma2dlem1a  27345  gausslemma2dlem2  27347  gausslemma2dlem3  27348  lgsquadlem1  27360  lgsquadlem2  27361  2lgslem1a2  27370  2lgslem1c  27373  2sqlem8  27406  chpo1ubb  27461  dchrisum0fno1  27491  logdivsum  27513  mulog2sumlem1  27514  mulog2sumlem2  27515  vmalogdivsum2  27518  vmalogdivsum  27519  2vmadivsumlem  27520  selberg4lem1  27540  selberg3r  27549  selberg4r  27550  selberg34r  27551  pntpbnd1a  27565  pntibndlem2  27571  pntibndlem3  27572  pntlemg  27578  pntlemh  27579  minvecolem4  30969  nmcexi  32115  lt2addrd  32841  le2halvesd  32847  constrresqrtcl  33940  sqsscirc1  34071  tpr2rico  34075  dnibndlem12  36768  knoppndvlem21  36811  iooelexlt  37695  sin2h  37948  cos2h  37949  tan2h  37950  mblfinlem4  37998  itg2addnclem  38009  ftc1anclem7  38037  ftc1anc  38039  3lexlogpow2ineq1  42514  3lexlogpow2ineq2  42515  3lexlogpow5ineq5  42516  aks4d1p1p2  42526  aks4d1p1p4  42527  aks4d1p1p7  42530  sqrtcvallem3  44086  sqrtcvallem5  44088  sqrtcval  44089  oddfl  45732  dstregt0  45736  suplesup  45790  infleinflem1  45820  ioomidp  45965  lptre2pt  46089  0ellimcdiv  46098  limsupgtlem  46226  dvbdfbdioolem2  46378  dvbdfbdioo  46379  ioodvbdlimc1lem2  46381  ioodvbdlimc2lem  46383  stoweidlem14  46463  stoweidlem24  46473  stoweidlem49  46498  stoweidlem52  46501  stoweidlem62  46511  dirker2re  46541  dirkertrigeqlem3  46549  dirkertrigeq  46550  dirkercncflem1  46552  dirkercncflem2  46553  dirkercncflem4  46555  fourierdlem5  46561  fourierdlem10  46566  fourierdlem43  46599  fourierdlem56  46611  fourierdlem58  46613  fourierdlem62  46617  fourierdlem66  46621  fourierdlem68  46623  fourierdlem72  46627  fourierdlem76  46631  fourierdlem78  46633  fourierdlem79  46634  fourierdlem83  46638  fourierdlem87  46642  fourierdlem103  46658  fourierdlem104  46659  fourierdlem112  46667  sge0xaddlem1  46882  smflimlem4  47223  2ltceilhalf  47795  ceilhalfgt1  47796  ceilhalfelfzo1  47797  2tceilhalfelfzo1  47799  ceilhalfnn  47803  gpgusgralem  48547  gpg3nbgrvtx0ALT  48568  gpg3kgrtriexlem1  48574  gpg3kgrtriexlem4  48577  gpg3kgrtriexlem6  48579  flnn0div2ge  49024  dignn0flhalflem2  49107  dignn0flhalf  49109