Theorem rehalfcld 12513

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   / cdiv 11920  2c2 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12521  flhalf  13870  fldiv4p1lem1div2  13875  fldiv4lem1div2uz2  13876  facavg  14340  recl  15149  crre  15153  geomulcvg  15912  resin4p  16174  recos4p  16175  resinhcl  16192  cos01bnd  16222  rpnnen2lem11  16260  ruclem1  16267  ruclem2  16268  ruclem3  16269  nno  16419  bitsp1  16468  prmreclem5  16958  4sqlem5  16980  4sqlem6  16981  4sqlem10  16985  4sqlem15  16997  4sqlem16  16998  blhalf  24415  metustexhalf  24569  cfilucfil  24572  nlmvscnlem2  24706  ioo2bl  24814  ioo2blex  24815  reperflem  24840  metnrmlem3  24883  ipcnlem2  25278  iscau3  25312  minveclem4  25466  ovolunlem1a  25531  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  lhop1lem  26052  ulmdvlem1  26443  radcnvle  26463  psercnlem1  26469  pserdvlem1  26471  pilem3  26497  coseq00topi  26544  cosordlem  26572  logtayl  26702  cxpcn3lem  26790  isosctrlem1  26861  chordthmlem4  26878  heron  26881  birthdaylem3  26996  cxp2limlem  27019  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  lgamucov  27081  ftalem2  27117  chtub  27256  bcmono  27321  lgsqrlem2  27391  gausslemma2dlem1a  27409  gausslemma2dlem2  27411  gausslemma2dlem3  27412  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2lgslem1a2  27434  2lgslem1c  27437  2sqlem8  27470  chpo1ubb  27525  dchrisum0fno1  27555  logdivsum  27577  mulog2sumlem1  27578  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  vmalogdivsum  27583  2vmadivsumlem  27584  selberg4lem1  27604  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntpbnd1a  27629  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntlemg  27642  pntlemh  27643  minvecolem4  30899  nmcexi  32045  lt2addrd  32755  le2halvesd  32759  sqsscirc1  33907  tpr2rico  33911  dnibndlem12  36490  knoppndvlem21  36533  iooelexlt  37363  sin2h  37617  cos2h  37618  tan2h  37619  mblfinlem4  37667  itg2addnclem  37678  ftc1anclem7  37706  ftc1anc  37708  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p7  42075  sqrtcvallem3  43651  sqrtcvallem5  43653  sqrtcval  43654  oddfl  45289  dstregt0  45293  suplesup  45350  infleinflem1  45381  ioomidp  45527  lptre2pt  45655  0ellimcdiv  45664  limsupgtlem  45792  dvbdfbdioolem2  45944  dvbdfbdioo  45945  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem14  46029  stoweidlem24  46039  stoweidlem49  46064  stoweidlem52  46067  stoweidlem62  46077  dirker2re  46107  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem5  46127  fourierdlem10  46132  fourierdlem43  46165  fourierdlem56  46177  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem66  46187  fourierdlem68  46189  fourierdlem72  46193  fourierdlem76  46197  fourierdlem78  46199  fourierdlem79  46200  fourierdlem83  46204  fourierdlem87  46208  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem112  46233  sge0xaddlem1  46448  smflimlem4  46789  gpgusgralem  48011  2ltceilhalf  48015  ceilhalfelfzo1  48016  2tceilhalfelfzo1  48018  gpg3nbgrvtx0ALT  48033  gpg3kgrtriexlem1  48039  gpg3kgrtriexlem4  48042  gpg3kgrtriexlem6  48044  flnn0div2ge  48454  dignn0flhalflem2  48537  dignn0flhalf  48539