Theorem rehalfcld 12603

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℝcr 11209   / cdiv 11983  2c2 12407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12611  flhalf  13980  fldiv4p1lem1div2  13985  fldiv4lem1div2uz2  13986  facavg  14455  recl  15289  crre  15293  geomulcvg  16057  resin4p  16318  recos4p  16319  resinhcl  16336  cos01bnd  16366  rpnnen2lem11  16404  ruclem1  16411  ruclem2  16412  ruclem3  16413  nno  16564  bitsp1  16613  prmreclem5  17110  4sqlem5  17132  4sqlem6  17133  4sqlem10  17137  4sqlem15  17149  4sqlem16  17150  blhalf  24736  metustexhalf  24887  cfilucfil  24890  nlmvscnlem2  25016  ioo2bl  25124  ioo2blex  25125  reperflem  25150  metnrmlem3  25193  ipcnlem2  25577  iscau3  25611  minveclem4  25765  ovolunlem1a  25829  dvferm1lem  26316  dvferm2lem  26318  lhop1lem  26345  ulmdvlem1  26739  radcnvle  26759  psercnlem1  26764  pserdvlem1  26766  pilem3  26792  coseq00topi  26843  cosordlem  26870  logtayl  27000  cxpcn3lem  27087  isosctrlem1  27158  chordthmlem4  27175  heron  27178  birthdaylem3  27293  cxp2limlem  27315  lgamgulmlem2  27369  lgamgulmlem3  27370  lgamucov  27377  ftalem2  27413  chtub  27551  bcmono  27616  lgsqrlem2  27686  gausslemma2dlem1a  27704  gausslemma2dlem2  27706  gausslemma2dlem3  27707  lgsquadlem1  27719  lgsquadlem2  27720  2lgslem1a2  27729  2lgslem1c  27732  2sqlem8  27765  chpo1ubb  27820  dchrisum0fno1  27850  logdivsum  27872  mulog2sumlem1  27873  mulog2sumlem2  27874  vmalogdivsum2  27877  vmalogdivsum  27878  2vmadivsumlem  27879  selberg4lem1  27899  selberg3r  27908  selberg4r  27909  selberg34r  27910  pntpbnd1a  27924  pntibndlem2  27930  pntibndlem3  27931  pntlemg  27937  pntlemh  27938  minvecolem4  31494  nmcexi  32640  lt2addrd  33395  le2halvesd  33401  constrresqrtcl  34462  sqsscirc1  34593  tpr2rico  34597  dnibndlem12  37482  knoppndvlem21  37525  iooelexlt  38425  sin2h  38673  cos2h  38674  tan2h  38675  mblfinlem4  38718  itg2addnclem  38729  ftc1anclem7  38757  ftc1anc  38759  3lexlogpow2ineq1  43248  3lexlogpow2ineq2  43249  3lexlogpow5ineq5  43250  aks4d1p1p2  43260  aks4d1p1p4  43261  aks4d1p1p7  43264  sqrtcvallem3  44778  sqrtcvallem5  44780  sqrtcval  44781  oddfl  46433  dstregt0  46437  suplesup  46490  infleinflem1  46520  ioomidp  46665  lptre2pt  46789  0ellimcdiv  46798  limsupgtlem  46926  dvbdfbdioolem2  47078  dvbdfbdioo  47079  ioodvbdlimc1lem2  47081  ioodvbdlimc2lem  47083  stoweidlem14  47163  stoweidlem24  47173  stoweidlem49  47198  stoweidlem52  47201  stoweidlem62  47211  dirker2re  47241  dirkertrigeqlem3  47249  dirkertrigeq  47250  dirkercncflem1  47252  dirkercncflem2  47253  dirkercncflem4  47255  fourierdlem5  47261  fourierdlem10  47266  fourierdlem43  47299  fourierdlem56  47311  fourierdlem58  47313  fourierdlem62  47317  fourierdlem66  47321  fourierdlem68  47323  fourierdlem72  47327  fourierdlem76  47331  fourierdlem78  47333  fourierdlem79  47334  fourierdlem83  47338  fourierdlem87  47342  fourierdlem103  47358  fourierdlem104  47359  fourierdlem112  47367  sge0xaddlem1  47582  smflimlem4  47923  2ltceilhalf  48541  ceilhalfgt1  48542  ceilhalfelfzo1  48543  2tceilhalfelfzo1  48545  ceilhalfnn  48549  gpgusgralem  49293  gpg3nbgrvtx0ALT  49314  gpg3kgrtriexlem1  49320  gpg3kgrtriexlem4  49323  gpg3kgrtriexlem6  49325  flnn0div2ge  49784  dignn0flhalflem2  49867  dignn0flhalf  49869