Theorem rehalfcld 12424

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   / cdiv 11807  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12432  flhalf  13789  fldiv4p1lem1div2  13794  fldiv4lem1div2uz2  13795  facavg  14263  recl  15072  crre  15076  geomulcvg  15841  resin4p  16105  recos4p  16106  resinhcl  16123  cos01bnd  16153  rpnnen2lem11  16191  ruclem1  16198  ruclem2  16199  ruclem3  16200  nno  16351  bitsp1  16400  prmreclem5  16891  4sqlem5  16913  4sqlem6  16914  4sqlem10  16918  4sqlem15  16930  4sqlem16  16931  blhalf  24370  metustexhalf  24521  cfilucfil  24524  nlmvscnlem2  24650  ioo2bl  24758  ioo2blex  24759  reperflem  24784  metnrmlem3  24827  ipcnlem2  25211  iscau3  25245  minveclem4  25399  ovolunlem1a  25463  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  lhop1lem  25980  ulmdvlem1  26365  radcnvle  26385  psercnlem1  26390  pserdvlem1  26392  pilem3  26418  coseq00topi  26466  cosordlem  26494  logtayl  26624  cxpcn3lem  26711  isosctrlem1  26782  chordthmlem4  26799  heron  26802  birthdaylem3  26917  cxp2limlem  26939  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamucov  27001  ftalem2  27037  chtub  27175  bcmono  27240  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2dlem2  27330  gausslemma2dlem3  27331  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1a2  27353  2lgslem1c  27356  2sqlem8  27389  chpo1ubb  27444  dchrisum0fno1  27474  logdivsum  27496  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  selberg4lem1  27523  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntpbnd1a  27548  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemg  27561  pntlemh  27562  minvecolem4  30951  nmcexi  32097  lt2addrd  32823  le2halvesd  32829  constrresqrtcl  33921  sqsscirc1  34052  tpr2rico  34056  dnibndlem12  36749  knoppndvlem21  36792  iooelexlt  37678  sin2h  37931  cos2h  37932  tan2h  37933  mblfinlem4  37981  itg2addnclem  37992  ftc1anclem7  38020  ftc1anc  38022  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p7  42513  sqrtcvallem3  44065  sqrtcvallem5  44067  sqrtcval  44068  oddfl  45711  dstregt0  45715  suplesup  45769  infleinflem1  45799  ioomidp  45944  lptre2pt  46068  0ellimcdiv  46077  limsupgtlem  46205  dvbdfbdioolem2  46357  dvbdfbdioo  46358  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  stoweidlem14  46442  stoweidlem24  46452  stoweidlem49  46477  stoweidlem52  46480  stoweidlem62  46490  dirker2re  46520  dirkertrigeqlem3  46528  dirkertrigeq  46529  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem5  46540  fourierdlem10  46545  fourierdlem43  46578  fourierdlem56  46590  fourierdlem58  46592  fourierdlem62  46596  fourierdlem66  46600  fourierdlem68  46602  fourierdlem72  46606  fourierdlem76  46610  fourierdlem78  46612  fourierdlem79  46613  fourierdlem83  46617  fourierdlem87  46621  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  sge0xaddlem1  46861  smflimlem4  47202  2ltceilhalf  47780  ceilhalfgt1  47781  ceilhalfelfzo1  47782  2tceilhalfelfzo1  47784  ceilhalfnn  47788  gpgusgralem  48532  gpg3nbgrvtx0ALT  48553  gpg3kgrtriexlem1  48559  gpg3kgrtriexlem4  48562  gpg3kgrtriexlem6  48564  flnn0div2ge  49009  dignn0flhalflem2  49092  dignn0flhalf  49094