Theorem rehalfcld 12371

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12351	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   / cdiv 11777  2c2 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12379  flhalf  13734  fldiv4p1lem1div2  13739  fldiv4lem1div2uz2  13740  facavg  14208  recl  15017  crre  15021  geomulcvg  15783  resin4p  16047  recos4p  16048  resinhcl  16065  cos01bnd  16095  rpnnen2lem11  16133  ruclem1  16140  ruclem2  16141  ruclem3  16142  nno  16293  bitsp1  16342  prmreclem5  16832  4sqlem5  16854  4sqlem6  16855  4sqlem10  16859  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  blhalf  24291  metustexhalf  24442  cfilucfil  24445  nlmvscnlem2  24571  ioo2bl  24679  ioo2blex  24680  reperflem  24705  metnrmlem3  24748  ipcnlem2  25142  iscau3  25176  minveclem4  25330  ovolunlem1a  25395  dvferm1lem  25886  dvferm2lem  25888  lhop1lem  25916  ulmdvlem1  26307  radcnvle  26327  psercnlem1  26333  pserdvlem1  26335  pilem3  26361  coseq00topi  26409  cosordlem  26437  logtayl  26567  cxpcn3lem  26655  isosctrlem1  26726  chordthmlem4  26743  heron  26746  birthdaylem3  26861  cxp2limlem  26884  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamucov  26946  ftalem2  26982  chtub  27121  bcmono  27186  lgsqrlem2  27256  gausslemma2dlem1a  27274  gausslemma2dlem2  27276  gausslemma2dlem3  27277  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  2lgslem1a2  27299  2lgslem1c  27302  2sqlem8  27335  chpo1ubb  27390  dchrisum0fno1  27420  logdivsum  27442  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  selberg4lem1  27469  selberg3r  27478  selberg4r  27479  selberg34r  27480  pntpbnd1a  27494  pntibndlem2  27500  pntibndlem3  27501  pntlemg  27507  pntlemh  27508  minvecolem4  30824  nmcexi  31970  lt2addrd  32694  le2halvesd  32699  constrresqrtcl  33744  sqsscirc1  33875  tpr2rico  33879  dnibndlem12  36467  knoppndvlem21  36510  iooelexlt  37340  sin2h  37594  cos2h  37595  tan2h  37596  mblfinlem4  37644  itg2addnclem  37655  ftc1anclem7  37683  ftc1anc  37685  3lexlogpow2ineq1  42035  3lexlogpow2ineq2  42036  3lexlogpow5ineq5  42037  aks4d1p1p2  42047  aks4d1p1p4  42048  aks4d1p1p7  42051  sqrtcvallem3  43615  sqrtcvallem5  43617  sqrtcval  43618  oddfl  45264  dstregt0  45268  suplesup  45323  infleinflem1  45353  ioomidp  45499  lptre2pt  45625  0ellimcdiv  45634  limsupgtlem  45762  dvbdfbdioolem2  45914  dvbdfbdioo  45915  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  stoweidlem14  45999  stoweidlem24  46009  stoweidlem49  46034  stoweidlem52  46037  stoweidlem62  46047  dirker2re  46077  dirkertrigeqlem3  46085  dirkertrigeq  46086  dirkercncflem1  46088  dirkercncflem2  46089  dirkercncflem4  46091  fourierdlem5  46097  fourierdlem10  46102  fourierdlem43  46135  fourierdlem56  46147  fourierdlem58  46149  fourierdlem62  46153  fourierdlem66  46157  fourierdlem68  46159  fourierdlem72  46163  fourierdlem76  46167  fourierdlem78  46169  fourierdlem79  46170  fourierdlem83  46174  fourierdlem87  46178  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem112  46203  sge0xaddlem1  46418  smflimlem4  46759  2ltceilhalf  47316  ceilhalfgt1  47317  ceilhalfelfzo1  47318  2tceilhalfelfzo1  47320  ceilhalfnn  47324  gpgusgralem  48044  gpg3nbgrvtx0ALT  48065  gpg3kgrtriexlem1  48071  gpg3kgrtriexlem4  48074  gpg3kgrtriexlem6  48076  flnn0div2ge  48522  dignn0flhalflem2  48605  dignn0flhalf  48607