Theorem rehalfcld 12400

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12380	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   / cdiv 11806  2c2 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12408  flhalf  13762  fldiv4p1lem1div2  13767  fldiv4lem1div2uz2  13768  facavg  14236  recl  15045  crre  15049  geomulcvg  15811  resin4p  16075  recos4p  16076  resinhcl  16093  cos01bnd  16123  rpnnen2lem11  16161  ruclem1  16168  ruclem2  16169  ruclem3  16170  nno  16321  bitsp1  16370  prmreclem5  16860  4sqlem5  16882  4sqlem6  16883  4sqlem10  16887  4sqlem15  16899  4sqlem16  16900  blhalf  24361  metustexhalf  24512  cfilucfil  24515  nlmvscnlem2  24641  ioo2bl  24749  ioo2blex  24750  reperflem  24775  metnrmlem3  24818  ipcnlem2  25212  iscau3  25246  minveclem4  25400  ovolunlem1a  25465  dvferm1lem  25956  dvferm2lem  25958  lhop1lem  25986  ulmdvlem1  26377  radcnvle  26397  psercnlem1  26403  pserdvlem1  26405  pilem3  26431  coseq00topi  26479  cosordlem  26507  logtayl  26637  cxpcn3lem  26725  isosctrlem1  26796  chordthmlem4  26813  heron  26816  birthdaylem3  26931  cxp2limlem  26954  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamucov  27016  ftalem2  27052  chtub  27191  bcmono  27256  lgsqrlem2  27326  gausslemma2dlem1a  27344  gausslemma2dlem2  27346  gausslemma2dlem3  27347  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  2lgslem1a2  27369  2lgslem1c  27372  2sqlem8  27405  chpo1ubb  27460  dchrisum0fno1  27490  logdivsum  27512  mulog2sumlem1  27513  mulog2sumlem2  27514  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  selberg4lem1  27539  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntpbnd1a  27564  pntibndlem2  27570  pntibndlem3  27571  pntlemg  27577  pntlemh  27578  minvecolem4  30968  nmcexi  32114  lt2addrd  32841  le2halvesd  32847  constrresqrtcl  33955  sqsscirc1  34086  tpr2rico  34090  dnibndlem12  36711  knoppndvlem21  36754  iooelexlt  37617  sin2h  37861  cos2h  37862  tan2h  37863  mblfinlem4  37911  itg2addnclem  37922  ftc1anclem7  37950  ftc1anc  37952  3lexlogpow2ineq1  42428  3lexlogpow2ineq2  42429  3lexlogpow5ineq5  42430  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p4  42441  aks4d1p1p7  42444  sqrtcvallem3  43994  sqrtcvallem5  43996  sqrtcval  43997  oddfl  45640  dstregt0  45644  suplesup  45698  infleinflem1  45728  ioomidp  45874  lptre2pt  45998  0ellimcdiv  46007  limsupgtlem  46135  dvbdfbdioolem2  46287  dvbdfbdioo  46288  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  stoweidlem14  46372  stoweidlem24  46382  stoweidlem49  46407  stoweidlem52  46410  stoweidlem62  46420  dirker2re  46450  dirkertrigeqlem3  46458  dirkertrigeq  46459  dirkercncflem1  46461  dirkercncflem2  46462  dirkercncflem4  46464  fourierdlem5  46470  fourierdlem10  46475  fourierdlem43  46508  fourierdlem56  46520  fourierdlem58  46522  fourierdlem62  46526  fourierdlem66  46530  fourierdlem68  46532  fourierdlem72  46536  fourierdlem76  46540  fourierdlem78  46542  fourierdlem79  46543  fourierdlem83  46547  fourierdlem87  46551  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem112  46576  sge0xaddlem1  46791  smflimlem4  47132  2ltceilhalf  47688  ceilhalfgt1  47689  ceilhalfelfzo1  47690  2tceilhalfelfzo1  47692  ceilhalfnn  47696  gpgusgralem  48416  gpg3nbgrvtx0ALT  48437  gpg3kgrtriexlem1  48443  gpg3kgrtriexlem4  48446  gpg3kgrtriexlem6  48448  flnn0div2ge  48893  dignn0flhalflem2  48976  dignn0flhalf  48978