Theorem rehalfcld 12468

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   / cdiv 11844  2c2 12272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12476  flhalf  13840  fldiv4p1lem1div2  13845  fldiv4lem1div2uz2  13846  facavg  14314  recl  15137  crre  15141  geomulcvg  15906  resin4p  16170  recos4p  16171  resinhcl  16188  cos01bnd  16218  rpnnen2lem11  16256  ruclem1  16263  ruclem2  16264  ruclem3  16265  nno  16416  bitsp1  16465  prmreclem5  16956  4sqlem5  16978  4sqlem6  16979  4sqlem10  16983  4sqlem15  16995  4sqlem16  16996  blhalf  24465  metustexhalf  24616  cfilucfil  24619  nlmvscnlem2  24745  ioo2bl  24853  ioo2blex  24854  reperflem  24879  metnrmlem3  24922  ipcnlem2  25306  iscau3  25340  minveclem4  25494  ovolunlem1a  25558  dvferm1lem  26046  dvferm2lem  26048  lhop1lem  26075  ulmdvlem1  26463  radcnvle  26483  psercnlem1  26488  pserdvlem1  26490  pilem3  26516  coseq00topi  26567  cosordlem  26595  logtayl  26725  cxpcn3lem  26812  isosctrlem1  26883  chordthmlem4  26900  heron  26903  birthdaylem3  27018  cxp2limlem  27040  lgamgulmlem2  27094  lgamgulmlem3  27095  lgamucov  27102  ftalem2  27138  chtub  27276  bcmono  27341  lgsqrlem2  27411  gausslemma2dlem1a  27429  gausslemma2dlem2  27431  gausslemma2dlem3  27432  lgsquadlem1  27444  lgsquadlem2  27445  2lgslem1a2  27454  2lgslem1c  27457  2sqlem8  27490  chpo1ubb  27545  dchrisum0fno1  27575  logdivsum  27597  mulog2sumlem1  27598  mulog2sumlem2  27599  vmalogdivsum2  27602  vmalogdivsum  27603  2vmadivsumlem  27604  selberg4lem1  27624  selberg3r  27633  selberg4r  27634  selberg34r  27635  pntpbnd1a  27649  pntibndlem2  27655  pntibndlem3  27656  pntlemg  27662  pntlemh  27663  minvecolem4  31083  nmcexi  32229  lt2addrd  32952  le2halvesd  32958  constrresqrtcl  34074  sqsscirc1  34205  tpr2rico  34209  dnibndlem12  36927  knoppndvlem21  36970  iooelexlt  37856  sin2h  38109  cos2h  38110  tan2h  38111  mblfinlem4  38159  itg2addnclem  38170  ftc1anclem7  38198  ftc1anc  38200  3lexlogpow2ineq1  42675  3lexlogpow2ineq2  42676  3lexlogpow5ineq5  42677  aks4d1p1p2  42687  aks4d1p1p4  42688  aks4d1p1p7  42691  sqrtcvallem3  44214  sqrtcvallem5  44216  sqrtcval  44217  oddfl  45857  dstregt0  45861  suplesup  45915  infleinflem1  45945  ioomidp  46090  lptre2pt  46214  0ellimcdiv  46223  limsupgtlem  46351  dvbdfbdioolem2  46503  dvbdfbdioo  46504  ioodvbdlimc1lem2  46506  ioodvbdlimc2lem  46508  stoweidlem14  46588  stoweidlem24  46598  stoweidlem49  46623  stoweidlem52  46626  stoweidlem62  46636  dirker2re  46666  dirkertrigeqlem3  46674  dirkertrigeq  46675  dirkercncflem1  46677  dirkercncflem2  46678  dirkercncflem4  46680  fourierdlem5  46686  fourierdlem10  46691  fourierdlem43  46724  fourierdlem56  46736  fourierdlem58  46738  fourierdlem62  46742  fourierdlem66  46746  fourierdlem68  46748  fourierdlem72  46752  fourierdlem76  46756  fourierdlem78  46758  fourierdlem79  46759  fourierdlem83  46763  fourierdlem87  46767  fourierdlem103  46783  fourierdlem104  46784  fourierdlem112  46792  sge0xaddlem1  47007  smflimlem4  47348  2ltceilhalf  47926  ceilhalfgt1  47927  ceilhalfelfzo1  47928  2tceilhalfelfzo1  47930  ceilhalfnn  47934  gpgusgralem  48678  gpg3nbgrvtx0ALT  48699  gpg3kgrtriexlem1  48705  gpg3kgrtriexlem4  48708  gpg3kgrtriexlem6  48710  flnn0div2ge  49155  dignn0flhalflem2  49238  dignn0flhalf  49240