Theorem rehalfcld 12368

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12348	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   / cdiv 11774  2c2 12180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12376  flhalf  13734  fldiv4p1lem1div2  13739  fldiv4lem1div2uz2  13740  facavg  14208  recl  15017  crre  15021  geomulcvg  15783  resin4p  16047  recos4p  16048  resinhcl  16065  cos01bnd  16095  rpnnen2lem11  16133  ruclem1  16140  ruclem2  16141  ruclem3  16142  nno  16293  bitsp1  16342  prmreclem5  16832  4sqlem5  16854  4sqlem6  16855  4sqlem10  16859  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  blhalf  24320  metustexhalf  24471  cfilucfil  24474  nlmvscnlem2  24600  ioo2bl  24708  ioo2blex  24709  reperflem  24734  metnrmlem3  24777  ipcnlem2  25171  iscau3  25205  minveclem4  25359  ovolunlem1a  25424  dvferm1lem  25915  dvferm2lem  25917  lhop1lem  25945  ulmdvlem1  26336  radcnvle  26356  psercnlem1  26362  pserdvlem1  26364  pilem3  26390  coseq00topi  26438  cosordlem  26466  logtayl  26596  cxpcn3lem  26684  isosctrlem1  26755  chordthmlem4  26772  heron  26775  birthdaylem3  26890  cxp2limlem  26913  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamucov  26975  ftalem2  27011  chtub  27150  bcmono  27215  lgsqrlem2  27285  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem2  27305  gausslemma2dlem3  27306  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  2lgslem1a2  27328  2lgslem1c  27331  2sqlem8  27364  chpo1ubb  27419  dchrisum0fno1  27449  logdivsum  27471  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  selberg4lem1  27498  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntpbnd1a  27523  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemg  27536  pntlemh  27537  minvecolem4  30860  nmcexi  32006  lt2addrd  32734  le2halvesd  32739  constrresqrtcl  33790  sqsscirc1  33921  tpr2rico  33925  dnibndlem12  36533  knoppndvlem21  36576  iooelexlt  37406  sin2h  37660  cos2h  37661  tan2h  37662  mblfinlem4  37710  itg2addnclem  37721  ftc1anclem7  37749  ftc1anc  37751  3lexlogpow2ineq1  42161  3lexlogpow2ineq2  42162  3lexlogpow5ineq5  42163  aks4d1p1p2  42173  aks4d1p1p4  42174  aks4d1p1p7  42177  sqrtcvallem3  43741  sqrtcvallem5  43743  sqrtcval  43744  oddfl  45389  dstregt0  45393  suplesup  45448  infleinflem1  45478  ioomidp  45624  lptre2pt  45748  0ellimcdiv  45757  limsupgtlem  45885  dvbdfbdioolem2  46037  dvbdfbdioo  46038  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  stoweidlem14  46122  stoweidlem24  46132  stoweidlem49  46157  stoweidlem52  46160  stoweidlem62  46170  dirker2re  46200  dirkertrigeqlem3  46208  dirkertrigeq  46209  dirkercncflem1  46211  dirkercncflem2  46212  dirkercncflem4  46214  fourierdlem5  46220  fourierdlem10  46225  fourierdlem43  46258  fourierdlem56  46270  fourierdlem58  46272  fourierdlem62  46276  fourierdlem66  46280  fourierdlem68  46282  fourierdlem72  46286  fourierdlem76  46290  fourierdlem78  46292  fourierdlem79  46293  fourierdlem83  46297  fourierdlem87  46301  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  fourierdlem112  46326  sge0xaddlem1  46541  smflimlem4  46882  2ltceilhalf  47438  ceilhalfgt1  47439  ceilhalfelfzo1  47440  2tceilhalfelfzo1  47442  ceilhalfnn  47446  gpgusgralem  48166  gpg3nbgrvtx0ALT  48187  gpg3kgrtriexlem1  48193  gpg3kgrtriexlem4  48196  gpg3kgrtriexlem6  48198  flnn0div2ge  48644  dignn0flhalflem2  48727  dignn0flhalf  48729