Theorem rehalfcld 12516

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℝcr 11124   / cdiv 11896  2c2 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12524  flhalf  13892  fldiv4p1lem1div2  13897  fldiv4lem1div2uz2  13898  facavg  14366  recl  15198  crre  15202  geomulcvg  15966  resin4p  16227  recos4p  16228  resinhcl  16245  cos01bnd  16275  rpnnen2lem11  16313  ruclem1  16320  ruclem2  16321  ruclem3  16322  nno  16473  bitsp1  16522  prmreclem5  17013  4sqlem5  17035  4sqlem6  17036  4sqlem10  17040  4sqlem15  17052  4sqlem16  17053  blhalf  24632  metustexhalf  24783  cfilucfil  24786  nlmvscnlem2  24912  ioo2bl  25020  ioo2blex  25021  reperflem  25046  metnrmlem3  25089  ipcnlem2  25473  iscau3  25507  minveclem4  25661  ovolunlem1a  25725  dvferm1lem  26212  dvferm2lem  26214  lhop1lem  26241  ulmdvlem1  26637  radcnvle  26657  psercnlem1  26662  pserdvlem1  26664  pilem3  26690  coseq00topi  26741  cosordlem  26768  logtayl  26898  cxpcn3lem  26985  isosctrlem1  27056  chordthmlem4  27073  heron  27076  birthdaylem3  27191  cxp2limlem  27213  lgamgulmlem2  27267  lgamgulmlem3  27268  lgamucov  27275  ftalem2  27311  chtub  27449  bcmono  27514  lgsqrlem2  27584  gausslemma2dlem1a  27602  gausslemma2dlem2  27604  gausslemma2dlem3  27605  lgsquadlem1  27617  lgsquadlem2  27618  2lgslem1a2  27627  2lgslem1c  27630  2sqlem8  27663  chpo1ubb  27718  dchrisum0fno1  27748  logdivsum  27770  mulog2sumlem1  27771  mulog2sumlem2  27772  vmalogdivsum2  27775  vmalogdivsum  27776  2vmadivsumlem  27777  selberg4lem1  27797  selberg3r  27806  selberg4r  27807  selberg34r  27808  pntpbnd1a  27822  pntibndlem2  27828  pntibndlem3  27829  pntlemg  27835  pntlemh  27836  minvecolem4  31362  nmcexi  32508  lt2addrd  33222  le2halvesd  33228  constrresqrtcl  34288  sqsscirc1  34419  tpr2rico  34423  dnibndlem12  37187  knoppndvlem21  37230  iooelexlt  38117  sin2h  38365  cos2h  38366  tan2h  38367  mblfinlem4  38410  itg2addnclem  38421  ftc1anclem7  38449  ftc1anc  38451  3lexlogpow2ineq1  42925  3lexlogpow2ineq2  42926  3lexlogpow5ineq5  42927  aks4d1p1p2  42937  aks4d1p1p4  42938  aks4d1p1p7  42941  sqrtcvallem3  44479  sqrtcvallem5  44481  sqrtcval  44482  oddfl  46112  dstregt0  46116  suplesup  46170  infleinflem1  46200  ioomidp  46345  lptre2pt  46469  0ellimcdiv  46478  limsupgtlem  46606  dvbdfbdioolem2  46758  dvbdfbdioo  46759  ioodvbdlimc1lem2  46761  ioodvbdlimc2lem  46763  stoweidlem14  46843  stoweidlem24  46853  stoweidlem49  46878  stoweidlem52  46881  stoweidlem62  46891  dirker2re  46921  dirkertrigeqlem3  46929  dirkertrigeq  46930  dirkercncflem1  46932  dirkercncflem2  46933  dirkercncflem4  46935  fourierdlem5  46941  fourierdlem10  46946  fourierdlem43  46979  fourierdlem56  46991  fourierdlem58  46993  fourierdlem62  46997  fourierdlem66  47001  fourierdlem68  47003  fourierdlem72  47007  fourierdlem76  47011  fourierdlem78  47013  fourierdlem79  47014  fourierdlem83  47018  fourierdlem87  47022  fourierdlem103  47038  fourierdlem104  47039  fourierdlem112  47047  sge0xaddlem1  47262  smflimlem4  47603  2ltceilhalf  48221  ceilhalfgt1  48222  ceilhalfelfzo1  48223  2tceilhalfelfzo1  48225  ceilhalfnn  48229  gpgusgralem  48973  gpg3nbgrvtx0ALT  48994  gpg3kgrtriexlem1  49000  gpg3kgrtriexlem4  49003  gpg3kgrtriexlem6  49005  flnn0div2ge  49464  dignn0flhalflem2  49547  dignn0flhalf  49549