Theorem rehalfcld 12455

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℝcr 11104   / cdiv 11867  2c2 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12463  flhalf  13791  fldiv4p1lem1div2  13796  fldiv4lem1div2uz2  13797  facavg  14257  recl  15053  crre  15057  geomulcvg  15818  resin4p  16077  recos4p  16078  resinhcl  16095  cos01bnd  16125  rpnnen2lem11  16163  ruclem1  16170  ruclem2  16171  ruclem3  16172  nno  16321  bitsp1  16368  prmreclem5  16849  4sqlem5  16871  4sqlem6  16872  4sqlem10  16876  4sqlem15  16888  4sqlem16  16889  blhalf  24221  metustexhalf  24375  cfilucfil  24378  nlmvscnlem2  24512  ioo2bl  24619  ioo2blex  24620  reperflem  24644  metnrmlem3  24687  ipcnlem2  25082  iscau3  25116  minveclem4  25270  ovolunlem1a  25335  dvferm1lem  25826  dvferm2lem  25828  lhop1lem  25856  ulmdvlem1  26241  radcnvle  26261  psercnlem1  26267  pserdvlem1  26269  pilem3  26295  coseq00topi  26342  cosordlem  26369  logtayl  26498  cxpcn3lem  26586  isosctrlem1  26654  chordthmlem4  26671  heron  26674  birthdaylem3  26789  cxp2limlem  26812  lgamgulmlem2  26866  lgamgulmlem3  26867  lgamucov  26874  ftalem2  26910  chtub  27049  bcmono  27114  lgsqrlem2  27184  gausslemma2dlem1a  27202  gausslemma2dlem2  27204  gausslemma2dlem3  27205  lgsquadlem1  27217  lgsquadlem2  27218  2lgslem1a2  27227  2lgslem1c  27230  2sqlem8  27263  chpo1ubb  27318  dchrisum0fno1  27348  logdivsum  27370  mulog2sumlem1  27371  mulog2sumlem2  27372  vmalogdivsum2  27375  vmalogdivsum  27376  2vmadivsumlem  27377  selberg4lem1  27397  selberg3r  27406  selberg4r  27407  selberg34r  27408  pntpbnd1a  27422  pntibndlem2  27428  pntibndlem3  27429  pntlemg  27435  pntlemh  27436  minvecolem4  30557  nmcexi  31703  lt2addrd  32388  le2halvesd  32392  sqsscirc1  33343  tpr2rico  33347  dnibndlem12  35821  knoppndvlem21  35864  iooelexlt  36699  sin2h  36934  cos2h  36935  tan2h  36936  mblfinlem4  36984  itg2addnclem  36995  ftc1anclem7  37023  ftc1anc  37025  3lexlogpow2ineq1  41382  3lexlogpow2ineq2  41383  3lexlogpow5ineq5  41384  aks4d1p1p2  41394  aks4d1p1p4  41395  aks4d1p1p7  41398  sqrtcvallem3  42844  sqrtcvallem5  42846  sqrtcval  42847  oddfl  44438  dstregt0  44442  suplesup  44500  infleinflem1  44531  ioomidp  44678  lptre2pt  44807  0ellimcdiv  44816  limsupgtlem  44944  dvbdfbdioolem2  45096  dvbdfbdioo  45097  ioodvbdlimc1lem2  45099  ioodvbdlimc2lem  45101  stoweidlem14  45181  stoweidlem24  45191  stoweidlem49  45216  stoweidlem52  45219  stoweidlem62  45229  dirker2re  45259  dirkertrigeqlem3  45267  dirkertrigeq  45268  dirkercncflem1  45270  dirkercncflem2  45271  dirkercncflem4  45273  fourierdlem5  45279  fourierdlem10  45284  fourierdlem43  45317  fourierdlem56  45329  fourierdlem58  45331  fourierdlem62  45335  fourierdlem66  45339  fourierdlem68  45341  fourierdlem72  45345  fourierdlem76  45349  fourierdlem78  45351  fourierdlem79  45352  fourierdlem83  45356  fourierdlem87  45360  fourierdlem103  45376  fourierdlem104  45377  fourierdlem112  45385  sge0xaddlem1  45600  smflimlem4  45941  flnn0div2ge  47373  dignn0flhalflem2  47456  dignn0flhalf  47458