Theorem rehalfcld 12220

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12199	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   / cdiv 11632  2c2 12028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12228  flhalf  13550  fldiv4p1lem1div2  13555  fldiv4lem1div2uz2  13556  facavg  14015  recl  14821  crre  14825  geomulcvg  15588  resin4p  15847  recos4p  15848  resinhcl  15865  cos01bnd  15895  rpnnen2lem11  15933  ruclem1  15940  ruclem2  15941  ruclem3  15942  nno  16091  bitsp1  16138  prmreclem5  16621  4sqlem5  16643  4sqlem6  16644  4sqlem10  16648  4sqlem15  16660  4sqlem16  16661  blhalf  23558  metustexhalf  23712  cfilucfil  23715  nlmvscnlem2  23849  ioo2bl  23956  ioo2blex  23957  reperflem  23981  metnrmlem3  24024  ipcnlem2  24408  iscau3  24442  minveclem4  24596  ovolunlem1a  24660  dvferm1lem  25148  dvferm2lem  25150  lhop1lem  25177  ulmdvlem1  25559  radcnvle  25579  psercnlem1  25584  pserdvlem1  25586  pilem3  25612  coseq00topi  25659  cosordlem  25686  logtayl  25815  cxpcn3lem  25900  isosctrlem1  25968  chordthmlem4  25985  heron  25988  birthdaylem3  26103  cxp2limlem  26125  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem3  26180  lgamucov  26187  ftalem2  26223  chtub  26360  bcmono  26425  lgsqrlem2  26495  gausslemma2dlem1a  26513  gausslemma2dlem2  26515  gausslemma2dlem3  26516  lgsquadlem1  26528  lgsquadlem2  26529  2lgslem1a2  26538  2lgslem1c  26541  2sqlem8  26574  chpo1ubb  26629  dchrisum0fno1  26659  logdivsum  26681  mulog2sumlem1  26682  mulog2sumlem2  26683  vmalogdivsum2  26686  vmalogdivsum  26687  2vmadivsumlem  26688  selberg4lem1  26708  selberg3r  26717  selberg4r  26718  selberg34r  26719  pntpbnd1a  26733  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntlemg  26746  pntlemh  26747  minvecolem4  29242  nmcexi  30388  lt2addrd  31074  le2halvesd  31078  sqsscirc1  31858  tpr2rico  31862  dnibndlem12  34669  knoppndvlem21  34712  iooelexlt  35533  sin2h  35767  cos2h  35768  tan2h  35769  mblfinlem4  35817  itg2addnclem  35828  ftc1anclem7  35856  ftc1anc  35858  3lexlogpow2ineq1  40066  3lexlogpow2ineq2  40067  3lexlogpow5ineq5  40068  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p4  40079  aks4d1p1p7  40082  sqrtcvallem3  41246  sqrtcvallem5  41248  sqrtcval  41249  oddfl  42816  dstregt0  42820  suplesup  42878  infleinflem1  42909  ioomidp  43052  lptre2pt  43181  0ellimcdiv  43190  limsupgtlem  43318  dvbdfbdioolem2  43470  dvbdfbdioo  43471  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  stoweidlem14  43555  stoweidlem24  43565  stoweidlem49  43590  stoweidlem52  43593  stoweidlem62  43603  dirker2re  43633  dirkertrigeqlem3  43641  dirkertrigeq  43642  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem2  43645  dirkercncflem4  43647  fourierdlem5  43653  fourierdlem10  43658  fourierdlem43  43691  fourierdlem56  43703  fourierdlem58  43705  fourierdlem62  43709  fourierdlem66  43713  fourierdlem68  43715  fourierdlem72  43719  fourierdlem76  43723  fourierdlem78  43725  fourierdlem79  43726  fourierdlem83  43730  fourierdlem87  43734  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem112  43759  sge0xaddlem1  43971  smflimlem4  44309  flnn0div2ge  45879  dignn0flhalflem2  45962  dignn0flhalf  45964