Theorem rehalfcld 11872

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 11851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   / cdiv 11286  2c2 11680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  11880  flhalf  13195  fldiv4p1lem1div2  13200  fldiv4lem1div2uz2  13201  facavg  13657  recl  14461  crre  14465  geomulcvg  15224  resin4p  15483  recos4p  15484  resinhcl  15501  cos01bnd  15531  rpnnen2lem11  15569  ruclem1  15576  ruclem2  15577  ruclem3  15578  nno  15723  bitsp1  15770  prmreclem5  16246  4sqlem5  16268  4sqlem6  16269  4sqlem10  16273  4sqlem15  16285  4sqlem16  16286  blhalf  23012  metustexhalf  23163  cfilucfil  23166  nlmvscnlem2  23291  ioo2bl  23398  ioo2blex  23399  reperflem  23423  metnrmlem3  23466  ipcnlem2  23848  iscau3  23882  minveclem4  24036  ovolunlem1a  24100  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  lhop1lem  24616  ulmdvlem1  24995  radcnvle  25015  psercnlem1  25020  pserdvlem1  25022  pilem3  25048  coseq00topi  25095  cosordlem  25122  logtayl  25251  cxpcn3lem  25336  isosctrlem1  25404  chordthmlem4  25421  heron  25424  birthdaylem3  25539  cxp2limlem  25561  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamucov  25623  ftalem2  25659  chtub  25796  bcmono  25861  lgsqrlem2  25931  gausslemma2dlem1a  25949  gausslemma2dlem2  25951  gausslemma2dlem3  25952  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  2lgslem1a2  25974  2lgslem1c  25977  2sqlem8  26010  chpo1ubb  26065  dchrisum0fno1  26095  logdivsum  26117  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selberg4lem1  26144  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntpbnd1a  26169  pntibndlem2  26175  pntibndlem3  26176  pntlemg  26182  pntlemh  26183  minvecolem4  28663  nmcexi  29809  lt2addrd  30501  le2halvesd  30505  sqsscirc1  31261  tpr2rico  31265  dnibndlem12  33941  knoppndvlem21  33984  iooelexlt  34779  sin2h  35047  cos2h  35048  tan2h  35049  mblfinlem4  35097  itg2addnclem  35108  ftc1anclem7  35136  ftc1anc  35138  3lexlogpow5ineq2  39342  3lexlogpow5ineq3  39343  sqrtcvallem3  40338  sqrtcvallem5  40340  sqrtcval  40341  oddfl  41908  dstregt0  41912  suplesup  41971  infleinflem1  42002  ioomidp  42151  lptre2pt  42282  0ellimcdiv  42291  limsupgtlem  42419  dvbdfbdioolem2  42571  dvbdfbdioo  42572  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  stoweidlem14  42656  stoweidlem24  42666  stoweidlem49  42691  stoweidlem52  42694  stoweidlem62  42704  dirker2re  42734  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkercncflem1  42745  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem4  42748  fourierdlem5  42754  fourierdlem10  42759  fourierdlem43  42792  fourierdlem56  42804  fourierdlem58  42806  fourierdlem62  42810  fourierdlem66  42814  fourierdlem68  42816  fourierdlem72  42820  fourierdlem76  42824  fourierdlem78  42826  fourierdlem79  42827  fourierdlem83  42831  fourierdlem87  42835  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem112  42860  sge0xaddlem1  43072  smflimlem4  43407  flnn0div2ge  44947  dignn0flhalflem2  45030  dignn0flhalf  45032