Theorem rehalfcld 12405

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12385	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   / cdiv 11811  2c2 12217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12413  flhalf  13768  fldiv4p1lem1div2  13773  fldiv4lem1div2uz2  13774  facavg  14242  recl  15052  crre  15056  geomulcvg  15818  resin4p  16082  recos4p  16083  resinhcl  16100  cos01bnd  16130  rpnnen2lem11  16168  ruclem1  16175  ruclem2  16176  ruclem3  16177  nno  16328  bitsp1  16377  prmreclem5  16867  4sqlem5  16889  4sqlem6  16890  4sqlem10  16894  4sqlem15  16906  4sqlem16  16907  blhalf  24269  metustexhalf  24420  cfilucfil  24423  nlmvscnlem2  24549  ioo2bl  24657  ioo2blex  24658  reperflem  24683  metnrmlem3  24726  ipcnlem2  25120  iscau3  25154  minveclem4  25308  ovolunlem1a  25373  dvferm1lem  25864  dvferm2lem  25866  lhop1lem  25894  ulmdvlem1  26285  radcnvle  26305  psercnlem1  26311  pserdvlem1  26313  pilem3  26339  coseq00topi  26387  cosordlem  26415  logtayl  26545  cxpcn3lem  26633  isosctrlem1  26704  chordthmlem4  26721  heron  26724  birthdaylem3  26839  cxp2limlem  26862  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem3  26917  lgamucov  26924  ftalem2  26960  chtub  27099  bcmono  27164  lgsqrlem2  27234  gausslemma2dlem1a  27252  gausslemma2dlem2  27254  gausslemma2dlem3  27255  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268  2lgslem1a2  27277  2lgslem1c  27280  2sqlem8  27313  chpo1ubb  27368  dchrisum0fno1  27398  logdivsum  27420  mulog2sumlem1  27421  mulog2sumlem2  27422  vmalogdivsum2  27425  vmalogdivsum  27426  2vmadivsumlem  27427  selberg4lem1  27447  selberg3r  27456  selberg4r  27457  selberg34r  27458  pntpbnd1a  27472  pntibndlem2  27478  pntibndlem3  27479  pntlemg  27485  pntlemh  27486  minvecolem4  30782  nmcexi  31928  lt2addrd  32647  le2halvesd  32652  constrresqrtcl  33740  sqsscirc1  33871  tpr2rico  33875  dnibndlem12  36450  knoppndvlem21  36493  iooelexlt  37323  sin2h  37577  cos2h  37578  tan2h  37579  mblfinlem4  37627  itg2addnclem  37638  ftc1anclem7  37666  ftc1anc  37668  3lexlogpow2ineq1  42019  3lexlogpow2ineq2  42020  3lexlogpow5ineq5  42021  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p4  42032  aks4d1p1p7  42035  sqrtcvallem3  43600  sqrtcvallem5  43602  sqrtcval  43603  oddfl  45249  dstregt0  45253  suplesup  45308  infleinflem1  45339  ioomidp  45485  lptre2pt  45611  0ellimcdiv  45620  limsupgtlem  45748  dvbdfbdioolem2  45900  dvbdfbdioo  45901  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  stoweidlem14  45985  stoweidlem24  45995  stoweidlem49  46020  stoweidlem52  46023  stoweidlem62  46033  dirker2re  46063  dirkertrigeqlem3  46071  dirkertrigeq  46072  dirkercncflem1  46074  dirkercncflem2  46075  dirkercncflem4  46077  fourierdlem5  46083  fourierdlem10  46088  fourierdlem43  46121  fourierdlem56  46133  fourierdlem58  46135  fourierdlem62  46139  fourierdlem66  46143  fourierdlem68  46145  fourierdlem72  46149  fourierdlem76  46153  fourierdlem78  46155  fourierdlem79  46156  fourierdlem83  46160  fourierdlem87  46164  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem112  46189  sge0xaddlem1  46404  smflimlem4  46745  2ltceilhalf  47302  ceilhalfgt1  47303  ceilhalfelfzo1  47304  2tceilhalfelfzo1  47306  ceilhalfnn  47310  gpgusgralem  48020  gpg3nbgrvtx0ALT  48041  gpg3kgrtriexlem1  48047  gpg3kgrtriexlem4  48050  gpg3kgrtriexlem6  48052  flnn0div2ge  48495  dignn0flhalflem2  48578  dignn0flhalf  48580