Theorem rehalfcld 12491

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   / cdiv 11871  2c2 12295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12499  flhalf  13863  fldiv4p1lem1div2  13868  fldiv4lem1div2uz2  13869  facavg  14337  recl  15161  crre  15165  geomulcvg  15930  resin4p  16194  recos4p  16195  resinhcl  16212  cos01bnd  16242  rpnnen2lem11  16280  ruclem1  16287  ruclem2  16288  ruclem3  16289  nno  16440  bitsp1  16489  prmreclem5  16980  4sqlem5  17002  4sqlem6  17003  4sqlem10  17007  4sqlem15  17019  4sqlem16  17020  blhalf  24531  metustexhalf  24682  cfilucfil  24685  nlmvscnlem2  24811  ioo2bl  24919  ioo2blex  24920  reperflem  24945  metnrmlem3  24988  ipcnlem2  25372  iscau3  25406  minveclem4  25560  ovolunlem1a  25624  dvferm1lem  26112  dvferm2lem  26114  lhop1lem  26141  ulmdvlem1  26529  radcnvle  26549  psercnlem1  26554  pserdvlem1  26556  pilem3  26582  coseq00topi  26633  cosordlem  26661  logtayl  26791  cxpcn3lem  26878  isosctrlem1  26949  chordthmlem4  26966  heron  26969  birthdaylem3  27084  cxp2limlem  27106  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem3  27161  lgamucov  27168  ftalem2  27204  chtub  27342  bcmono  27407  lgsqrlem2  27477  gausslemma2dlem1a  27495  gausslemma2dlem2  27497  gausslemma2dlem3  27498  lgsquadlem1  27510  lgsquadlem2  27511  2lgslem1a2  27520  2lgslem1c  27523  2sqlem8  27556  chpo1ubb  27611  dchrisum0fno1  27641  logdivsum  27663  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  selberg4lem1  27690  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntpbnd1a  27715  pntibndlem2  27721  pntibndlem3  27722  pntlemg  27728  pntlemh  27729  minvecolem4  31173  nmcexi  32319  lt2addrd  33036  le2halvesd  33042  constrresqrtcl  34112  sqsscirc1  34243  tpr2rico  34247  dnibndlem12  36967  knoppndvlem21  37010  iooelexlt  37896  sin2h  38149  cos2h  38150  tan2h  38151  mblfinlem4  38199  itg2addnclem  38210  ftc1anclem7  38238  ftc1anc  38240  3lexlogpow2ineq1  42715  3lexlogpow2ineq2  42716  3lexlogpow5ineq5  42717  aks4d1p1p2  42727  aks4d1p1p4  42728  aks4d1p1p7  42731  sqrtcvallem3  44256  sqrtcvallem5  44258  sqrtcval  44259  oddfl  45889  dstregt0  45893  suplesup  45947  infleinflem1  45977  ioomidp  46122  lptre2pt  46246  0ellimcdiv  46255  limsupgtlem  46383  dvbdfbdioolem2  46535  dvbdfbdioo  46536  ioodvbdlimc1lem2  46538  ioodvbdlimc2lem  46540  stoweidlem14  46620  stoweidlem24  46630  stoweidlem49  46655  stoweidlem52  46658  stoweidlem62  46668  dirker2re  46698  dirkertrigeqlem3  46706  dirkertrigeq  46707  dirkercncflem1  46709  dirkercncflem2  46710  dirkercncflem4  46712  fourierdlem5  46718  fourierdlem10  46723  fourierdlem43  46756  fourierdlem56  46768  fourierdlem58  46770  fourierdlem62  46774  fourierdlem66  46778  fourierdlem68  46780  fourierdlem72  46784  fourierdlem76  46788  fourierdlem78  46790  fourierdlem79  46791  fourierdlem83  46795  fourierdlem87  46799  fourierdlem103  46815  fourierdlem104  46816  fourierdlem112  46824  sge0xaddlem1  47039  smflimlem4  47380  2ltceilhalf  47958  ceilhalfgt1  47959  ceilhalfelfzo1  47960  2tceilhalfelfzo1  47962  ceilhalfnn  47966  gpgusgralem  48710  gpg3nbgrvtx0ALT  48731  gpg3kgrtriexlem1  48737  gpg3kgrtriexlem4  48740  gpg3kgrtriexlem6  48742  flnn0div2ge  49198  dignn0flhalflem2  49281  dignn0flhalf  49283