Theorem rehalfcld 12510

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12489	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   / cdiv 11917  2c2 12318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12518  flhalf  13866  fldiv4p1lem1div2  13871  fldiv4lem1div2uz2  13872  facavg  14336  recl  15145  crre  15149  geomulcvg  15908  resin4p  16170  recos4p  16171  resinhcl  16188  cos01bnd  16218  rpnnen2lem11  16256  ruclem1  16263  ruclem2  16264  ruclem3  16265  nno  16415  bitsp1  16464  prmreclem5  16953  4sqlem5  16975  4sqlem6  16976  4sqlem10  16980  4sqlem15  16992  4sqlem16  16993  blhalf  24430  metustexhalf  24584  cfilucfil  24587  nlmvscnlem2  24721  ioo2bl  24828  ioo2blex  24829  reperflem  24853  metnrmlem3  24896  ipcnlem2  25291  iscau3  25325  minveclem4  25479  ovolunlem1a  25544  dvferm1lem  26036  dvferm2lem  26038  lhop1lem  26066  ulmdvlem1  26457  radcnvle  26477  psercnlem1  26483  pserdvlem1  26485  pilem3  26511  coseq00topi  26558  cosordlem  26586  logtayl  26716  cxpcn3lem  26804  isosctrlem1  26875  chordthmlem4  26892  heron  26895  birthdaylem3  27010  cxp2limlem  27033  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  lgamucov  27095  ftalem2  27131  chtub  27270  bcmono  27335  lgsqrlem2  27405  gausslemma2dlem1a  27423  gausslemma2dlem2  27425  gausslemma2dlem3  27426  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  2lgslem1a2  27448  2lgslem1c  27451  2sqlem8  27484  chpo1ubb  27539  dchrisum0fno1  27569  logdivsum  27591  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  selberg4lem1  27618  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntpbnd1a  27643  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemg  27656  pntlemh  27657  minvecolem4  30908  nmcexi  32054  lt2addrd  32761  le2halvesd  32765  sqsscirc1  33868  tpr2rico  33872  dnibndlem12  36471  knoppndvlem21  36514  iooelexlt  37344  sin2h  37596  cos2h  37597  tan2h  37598  mblfinlem4  37646  itg2addnclem  37657  ftc1anclem7  37685  ftc1anc  37687  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p7  42055  sqrtcvallem3  43627  sqrtcvallem5  43629  sqrtcval  43630  oddfl  45227  dstregt0  45231  suplesup  45288  infleinflem1  45319  ioomidp  45466  lptre2pt  45595  0ellimcdiv  45604  limsupgtlem  45732  dvbdfbdioolem2  45884  dvbdfbdioo  45885  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  stoweidlem14  45969  stoweidlem24  45979  stoweidlem49  46004  stoweidlem52  46007  stoweidlem62  46017  dirker2re  46047  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem5  46067  fourierdlem10  46072  fourierdlem43  46105  fourierdlem56  46117  fourierdlem58  46119  fourierdlem62  46123  fourierdlem66  46127  fourierdlem68  46129  fourierdlem72  46133  fourierdlem76  46137  fourierdlem78  46139  fourierdlem79  46140  fourierdlem83  46144  fourierdlem87  46148  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem112  46173  sge0xaddlem1  46388  smflimlem4  46729  gpgusgralem  47945  2ltceilhalf  47949  ceilhalfelfzo1  47950  2tceilhalfelfzo1  47952  gpg3nbgrvtx0ALT  47967  flnn0div2ge  48382  dignn0flhalflem2  48465  dignn0flhalf  48467