Theorem rehalfcld 12633

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238   / cdiv 12013  2c2 12437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12641  flhalf  14010  fldiv4p1lem1div2  14015  fldiv4lem1div2uz2  14016  facavg  14486  recl  15320  crre  15324  geomulcvg  16089  resin4p  16350  recos4p  16351  resinhcl  16368  cos01bnd  16398  rpnnen2lem11  16436  ruclem1  16443  ruclem2  16444  ruclem3  16445  nno  16596  bitsp1  16645  prmreclem5  17142  4sqlem5  17164  4sqlem6  17165  4sqlem10  17169  4sqlem15  17181  4sqlem16  17182  blhalf  24779  metustexhalf  24930  cfilucfil  24933  nlmvscnlem2  25059  ioo2bl  25167  ioo2blex  25168  reperflem  25193  metnrmlem3  25236  ipcnlem2  25620  iscau3  25654  minveclem4  25808  ovolunlem1a  25872  dvferm1lem  26359  dvferm2lem  26361  lhop1lem  26388  ulmdvlem1  26784  radcnvle  26804  psercnlem1  26809  pserdvlem1  26811  pilem3  26837  coseq00topi  26888  cosordlem  26915  logtayl  27045  cxpcn3lem  27132  isosctrlem1  27203  chordthmlem4  27220  heron  27223  birthdaylem3  27338  cxp2limlem  27360  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  lgamucov  27422  ftalem2  27458  chtub  27596  bcmono  27661  lgsqrlem2  27731  gausslemma2dlem1a  27749  gausslemma2dlem2  27751  gausslemma2dlem3  27752  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  2lgslem1a2  27774  2lgslem1c  27777  2sqlem8  27810  chpo1ubb  27865  dchrisum0fno1  27895  logdivsum  27917  mulog2sumlem1  27918  mulog2sumlem2  27919  vmalogdivsum2  27922  vmalogdivsum  27923  2vmadivsumlem  27924  selberg4lem1  27944  selberg3r  27953  selberg4r  27954  selberg34r  27955  pntpbnd1a  27969  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntlemg  27982  pntlemh  27983  minvecolem4  31539  nmcexi  32685  lt2addrd  33438  le2halvesd  33444  constrresqrtcl  34520  sqsscirc1  34651  tpr2rico  34655  dnibndlem12  37570  knoppndvlem21  37613  iooelexlt  38553  sin2h  38801  cos2h  38802  tan2h  38803  mblfinlem4  38846  itg2addnclem  38857  ftc1anclem7  38885  ftc1anc  38887  3lexlogpow2ineq1  43374  3lexlogpow2ineq2  43375  3lexlogpow5ineq5  43376  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p1p7  43390  sqrtcvallem3  44899  sqrtcvallem5  44901  sqrtcval  44902  oddfl  46567  dstregt0  46571  suplesup  46624  infleinflem1  46654  ioomidp  46799  lptre2pt  46923  0ellimcdiv  46932  limsupgtlem  47060  dvbdfbdioolem2  47212  dvbdfbdioo  47213  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  stoweidlem14  47297  stoweidlem24  47307  stoweidlem49  47332  stoweidlem52  47335  stoweidlem62  47345  dirker2re  47375  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkercncflem1  47386  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem4  47389  fourierdlem5  47395  fourierdlem10  47400  fourierdlem43  47433  fourierdlem56  47445  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem66  47455  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem76  47465  fourierdlem78  47467  fourierdlem79  47468  fourierdlem83  47472  fourierdlem87  47476  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem112  47501  sge0xaddlem1  47716  smflimlem4  48057  2ltceilhalf  48675  ceilhalfgt1  48676  ceilhalfelfzo1  48677  2tceilhalfelfzo1  48679  ceilhalfnn  48683  gpgusgralem  49427  gpg3nbgrvtx0ALT  49448  gpg3kgrtriexlem1  49454  gpg3kgrtriexlem4  49457  gpg3kgrtriexlem6  49459  flnn0div2ge  49976  dignn0flhalflem2  50059  dignn0flhalf  50061