Theorem rehalfcld 12508

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℝcr 11116   / cdiv 11888  2c2 12312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12516  flhalf  13883  fldiv4p1lem1div2  13888  fldiv4lem1div2uz2  13889  facavg  14357  recl  15187  crre  15191  geomulcvg  15955  resin4p  16218  recos4p  16219  resinhcl  16236  cos01bnd  16266  rpnnen2lem11  16304  ruclem1  16311  ruclem2  16312  ruclem3  16313  nno  16464  bitsp1  16513  prmreclem5  17004  4sqlem5  17026  4sqlem6  17027  4sqlem10  17031  4sqlem15  17043  4sqlem16  17044  blhalf  24615  metustexhalf  24766  cfilucfil  24769  nlmvscnlem2  24895  ioo2bl  25003  ioo2blex  25004  reperflem  25029  metnrmlem3  25072  ipcnlem2  25456  iscau3  25490  minveclem4  25644  ovolunlem1a  25708  dvferm1lem  26196  dvferm2lem  26198  lhop1lem  26225  ulmdvlem1  26616  radcnvle  26636  psercnlem1  26641  pserdvlem1  26643  pilem3  26669  coseq00topi  26720  cosordlem  26748  logtayl  26878  cxpcn3lem  26965  isosctrlem1  27036  chordthmlem4  27053  heron  27056  birthdaylem3  27171  cxp2limlem  27193  lgamgulmlem2  27247  lgamgulmlem3  27248  lgamucov  27255  ftalem2  27291  chtub  27429  bcmono  27494  lgsqrlem2  27564  gausslemma2dlem1a  27582  gausslemma2dlem2  27584  gausslemma2dlem3  27585  lgsquadlem1  27597  lgsquadlem2  27598  2lgslem1a2  27607  2lgslem1c  27610  2sqlem8  27643  chpo1ubb  27698  dchrisum0fno1  27728  logdivsum  27750  mulog2sumlem1  27751  mulog2sumlem2  27752  vmalogdivsum2  27755  vmalogdivsum  27756  2vmadivsumlem  27757  selberg4lem1  27777  selberg3r  27786  selberg4r  27787  selberg34r  27788  pntpbnd1a  27802  pntibndlem2  27808  pntibndlem3  27809  pntlemg  27815  pntlemh  27816  minvecolem4  31305  nmcexi  32451  lt2addrd  33167  le2halvesd  33173  constrresqrtcl  34233  sqsscirc1  34364  tpr2rico  34368  dnibndlem12  37137  knoppndvlem21  37180  iooelexlt  38067  sin2h  38320  cos2h  38321  tan2h  38322  mblfinlem4  38370  itg2addnclem  38381  ftc1anclem7  38409  ftc1anc  38411  3lexlogpow2ineq1  42885  3lexlogpow2ineq2  42886  3lexlogpow5ineq5  42887  aks4d1p1p2  42897  aks4d1p1p4  42898  aks4d1p1p7  42901  sqrtcvallem3  44424  sqrtcvallem5  44426  sqrtcval  44427  oddfl  46057  dstregt0  46061  suplesup  46115  infleinflem1  46145  ioomidp  46290  lptre2pt  46414  0ellimcdiv  46423  limsupgtlem  46551  dvbdfbdioolem2  46703  dvbdfbdioo  46704  ioodvbdlimc1lem2  46706  ioodvbdlimc2lem  46708  stoweidlem14  46788  stoweidlem24  46798  stoweidlem49  46823  stoweidlem52  46826  stoweidlem62  46836  dirker2re  46866  dirkertrigeqlem3  46874  dirkertrigeq  46875  dirkercncflem1  46877  dirkercncflem2  46878  dirkercncflem4  46880  fourierdlem5  46886  fourierdlem10  46891  fourierdlem43  46924  fourierdlem56  46936  fourierdlem58  46938  fourierdlem62  46942  fourierdlem66  46946  fourierdlem68  46948  fourierdlem72  46952  fourierdlem76  46956  fourierdlem78  46958  fourierdlem79  46959  fourierdlem83  46963  fourierdlem87  46967  fourierdlem103  46983  fourierdlem104  46984  fourierdlem112  46992  sge0xaddlem1  47207  smflimlem4  47548  2ltceilhalf  48129  ceilhalfgt1  48130  ceilhalfelfzo1  48131  2tceilhalfelfzo1  48133  ceilhalfnn  48137  gpgusgralem  48881  gpg3nbgrvtx0ALT  48902  gpg3kgrtriexlem1  48908  gpg3kgrtriexlem4  48911  gpg3kgrtriexlem6  48913  flnn0div2ge  49372  dignn0flhalflem2  49455  dignn0flhalf  49457