Theorem rehalfcld 12436

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   / cdiv 11842  2c2 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12444  flhalf  13799  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2uz2  13805  facavg  14273  recl  15083  crre  15087  geomulcvg  15849  resin4p  16113  recos4p  16114  resinhcl  16131  cos01bnd  16161  rpnnen2lem11  16199  ruclem1  16206  ruclem2  16207  ruclem3  16208  nno  16359  bitsp1  16408  prmreclem5  16898  4sqlem5  16920  4sqlem6  16921  4sqlem10  16925  4sqlem15  16937  4sqlem16  16938  blhalf  24300  metustexhalf  24451  cfilucfil  24454  nlmvscnlem2  24580  ioo2bl  24688  ioo2blex  24689  reperflem  24714  metnrmlem3  24757  ipcnlem2  25151  iscau3  25185  minveclem4  25339  ovolunlem1a  25404  dvferm1lem  25895  dvferm2lem  25897  lhop1lem  25925  ulmdvlem1  26316  radcnvle  26336  psercnlem1  26342  pserdvlem1  26344  pilem3  26370  coseq00topi  26418  cosordlem  26446  logtayl  26576  cxpcn3lem  26664  isosctrlem1  26735  chordthmlem4  26752  heron  26755  birthdaylem3  26870  cxp2limlem  26893  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  lgamucov  26955  ftalem2  26991  chtub  27130  bcmono  27195  lgsqrlem2  27265  gausslemma2dlem1a  27283  gausslemma2dlem2  27285  gausslemma2dlem3  27286  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  2lgslem1a2  27308  2lgslem1c  27311  2sqlem8  27344  chpo1ubb  27399  dchrisum0fno1  27429  logdivsum  27451  mulog2sumlem1  27452  mulog2sumlem2  27453  vmalogdivsum2  27456  vmalogdivsum  27457  2vmadivsumlem  27458  selberg4lem1  27478  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntpbnd1a  27503  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlemg  27516  pntlemh  27517  minvecolem4  30816  nmcexi  31962  lt2addrd  32681  le2halvesd  32686  constrresqrtcl  33774  sqsscirc1  33905  tpr2rico  33909  dnibndlem12  36484  knoppndvlem21  36527  iooelexlt  37357  sin2h  37611  cos2h  37612  tan2h  37613  mblfinlem4  37661  itg2addnclem  37672  ftc1anclem7  37700  ftc1anc  37702  3lexlogpow2ineq1  42053  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p7  42069  sqrtcvallem3  43634  sqrtcvallem5  43636  sqrtcval  43637  oddfl  45283  dstregt0  45287  suplesup  45342  infleinflem1  45373  ioomidp  45519  lptre2pt  45645  0ellimcdiv  45654  limsupgtlem  45782  dvbdfbdioolem2  45934  dvbdfbdioo  45935  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweidlem14  46019  stoweidlem24  46029  stoweidlem49  46054  stoweidlem52  46057  stoweidlem62  46067  dirker2re  46097  dirkertrigeqlem3  46105  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem1  46108  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  fourierdlem5  46117  fourierdlem10  46122  fourierdlem43  46155  fourierdlem56  46167  fourierdlem58  46169  fourierdlem62  46173  fourierdlem66  46177  fourierdlem68  46179  fourierdlem72  46183  fourierdlem76  46187  fourierdlem78  46189  fourierdlem79  46190  fourierdlem83  46194  fourierdlem87  46198  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem112  46223  sge0xaddlem1  46438  smflimlem4  46779  2ltceilhalf  47333  ceilhalfgt1  47334  ceilhalfelfzo1  47335  2tceilhalfelfzo1  47337  ceilhalfnn  47341  gpgusgralem  48051  gpg3nbgrvtx0ALT  48072  gpg3kgrtriexlem1  48078  gpg3kgrtriexlem4  48081  gpg3kgrtriexlem6  48083  flnn0div2ge  48526  dignn0flhalflem2  48609  dignn0flhalf  48611