Theorem rehalfcld 12540

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   / cdiv 11947  2c2 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12548  flhalf  13881  fldiv4p1lem1div2  13886  fldiv4lem1div2uz2  13887  facavg  14350  recl  15159  crre  15163  geomulcvg  15924  resin4p  16186  recos4p  16187  resinhcl  16204  cos01bnd  16234  rpnnen2lem11  16272  ruclem1  16279  ruclem2  16280  ruclem3  16281  nno  16430  bitsp1  16477  prmreclem5  16967  4sqlem5  16989  4sqlem6  16990  4sqlem10  16994  4sqlem15  17006  4sqlem16  17007  blhalf  24436  metustexhalf  24590  cfilucfil  24593  nlmvscnlem2  24727  ioo2bl  24834  ioo2blex  24835  reperflem  24859  metnrmlem3  24902  ipcnlem2  25297  iscau3  25331  minveclem4  25485  ovolunlem1a  25550  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  lhop1lem  26072  ulmdvlem1  26461  radcnvle  26481  psercnlem1  26487  pserdvlem1  26489  pilem3  26515  coseq00topi  26562  cosordlem  26590  logtayl  26720  cxpcn3lem  26808  isosctrlem1  26879  chordthmlem4  26896  heron  26899  birthdaylem3  27014  cxp2limlem  27037  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamucov  27099  ftalem2  27135  chtub  27274  bcmono  27339  lgsqrlem2  27409  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem2  27429  gausslemma2dlem3  27430  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  2lgslem1a2  27452  2lgslem1c  27455  2sqlem8  27488  chpo1ubb  27543  dchrisum0fno1  27573  logdivsum  27595  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberg4lem1  27622  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntpbnd1a  27647  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemg  27660  pntlemh  27661  minvecolem4  30912  nmcexi  32058  lt2addrd  32758  le2halvesd  32762  sqsscirc1  33854  tpr2rico  33858  dnibndlem12  36455  knoppndvlem21  36498  iooelexlt  37328  sin2h  37570  cos2h  37571  tan2h  37572  mblfinlem4  37620  itg2addnclem  37631  ftc1anclem7  37659  ftc1anc  37661  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p7  42031  sqrtcvallem3  43600  sqrtcvallem5  43602  sqrtcval  43603  oddfl  45192  dstregt0  45196  suplesup  45254  infleinflem1  45285  ioomidp  45432  lptre2pt  45561  0ellimcdiv  45570  limsupgtlem  45698  dvbdfbdioolem2  45850  dvbdfbdioo  45851  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem14  45935  stoweidlem24  45945  stoweidlem49  45970  stoweidlem52  45973  stoweidlem62  45983  dirker2re  46013  dirkertrigeqlem3  46021  dirkertrigeq  46022  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem4  46027  fourierdlem5  46033  fourierdlem10  46038  fourierdlem43  46071  fourierdlem56  46083  fourierdlem58  46085  fourierdlem62  46089  fourierdlem66  46093  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem76  46103  fourierdlem78  46105  fourierdlem79  46106  fourierdlem83  46110  fourierdlem87  46114  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem112  46139  sge0xaddlem1  46354  smflimlem4  46695  flnn0div2ge  48267  dignn0flhalflem2  48350  dignn0flhalf  48352