Theorem rehalfcld 12593

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12573	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   / cdiv 11973  2c2 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12601  flhalf  13970  fldiv4p1lem1div2  13975  fldiv4lem1div2uz2  13976  facavg  14445  recl  15277  crre  15281  geomulcvg  16045  resin4p  16306  recos4p  16307  resinhcl  16324  cos01bnd  16354  rpnnen2lem11  16392  ruclem1  16399  ruclem2  16400  ruclem3  16401  nno  16552  bitsp1  16601  prmreclem5  17098  4sqlem5  17120  4sqlem6  17121  4sqlem10  17125  4sqlem15  17137  4sqlem16  17138  blhalf  24724  metustexhalf  24875  cfilucfil  24878  nlmvscnlem2  25004  ioo2bl  25112  ioo2blex  25113  reperflem  25138  metnrmlem3  25181  ipcnlem2  25565  iscau3  25599  minveclem4  25753  ovolunlem1a  25817  dvferm1lem  26304  dvferm2lem  26306  lhop1lem  26333  ulmdvlem1  26727  radcnvle  26747  psercnlem1  26752  pserdvlem1  26754  pilem3  26780  coseq00topi  26831  cosordlem  26858  logtayl  26988  cxpcn3lem  27075  isosctrlem1  27146  chordthmlem4  27163  heron  27166  birthdaylem3  27281  cxp2limlem  27303  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamucov  27365  ftalem2  27401  chtub  27539  bcmono  27604  lgsqrlem2  27674  gausslemma2dlem1a  27692  gausslemma2dlem2  27694  gausslemma2dlem3  27695  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  2lgslem1a2  27717  2lgslem1c  27720  2sqlem8  27753  chpo1ubb  27808  dchrisum0fno1  27838  logdivsum  27860  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  selberg4lem1  27887  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntpbnd1a  27912  pntibndlem2  27918  pntibndlem3  27919  pntlemg  27925  pntlemh  27926  minvecolem4  31482  nmcexi  32628  lt2addrd  33342  le2halvesd  33348  constrresqrtcl  34409  sqsscirc1  34540  tpr2rico  34544  dnibndlem12  37355  knoppndvlem21  37398  iooelexlt  38285  sin2h  38533  cos2h  38534  tan2h  38535  mblfinlem4  38578  itg2addnclem  38589  ftc1anclem7  38617  ftc1anc  38619  3lexlogpow2ineq1  43108  3lexlogpow2ineq2  43109  3lexlogpow5ineq5  43110  aks4d1p1p2  43120  aks4d1p1p4  43121  aks4d1p1p7  43124  sqrtcvallem3  44637  sqrtcvallem5  44639  sqrtcval  44640  oddfl  46293  dstregt0  46297  suplesup  46350  infleinflem1  46380  ioomidp  46525  lptre2pt  46649  0ellimcdiv  46658  limsupgtlem  46786  dvbdfbdioolem2  46938  dvbdfbdioo  46939  ioodvbdlimc1lem2  46941  ioodvbdlimc2lem  46943  stoweidlem14  47023  stoweidlem24  47033  stoweidlem49  47058  stoweidlem52  47061  stoweidlem62  47071  dirker2re  47101  dirkertrigeqlem3  47109  dirkertrigeq  47110  dirkercncflem1  47112  dirkercncflem2  47113  dirkercncflem4  47115  fourierdlem5  47121  fourierdlem10  47126  fourierdlem43  47159  fourierdlem56  47171  fourierdlem58  47173  fourierdlem62  47177  fourierdlem66  47181  fourierdlem68  47183  fourierdlem72  47187  fourierdlem76  47191  fourierdlem78  47193  fourierdlem79  47194  fourierdlem83  47198  fourierdlem87  47202  fourierdlem103  47218  fourierdlem104  47219  fourierdlem112  47227  sge0xaddlem1  47442  smflimlem4  47783  2ltceilhalf  48401  ceilhalfgt1  48402  ceilhalfelfzo1  48403  2tceilhalfelfzo1  48405  ceilhalfnn  48409  gpgusgralem  49153  gpg3nbgrvtx0ALT  49174  gpg3kgrtriexlem1  49180  gpg3kgrtriexlem4  49183  gpg3kgrtriexlem6  49185  flnn0div2ge  49644  dignn0flhalflem2  49727  dignn0flhalf  49729