Theorem rehalfcld 12405

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12385	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   / cdiv 11811  2c2 12217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12413  flhalf  13768  fldiv4p1lem1div2  13773  fldiv4lem1div2uz2  13774  facavg  14242  recl  15052  crre  15056  geomulcvg  15818  resin4p  16082  recos4p  16083  resinhcl  16100  cos01bnd  16130  rpnnen2lem11  16168  ruclem1  16175  ruclem2  16176  ruclem3  16177  nno  16328  bitsp1  16377  prmreclem5  16867  4sqlem5  16889  4sqlem6  16890  4sqlem10  16894  4sqlem15  16906  4sqlem16  16907  blhalf  24326  metustexhalf  24477  cfilucfil  24480  nlmvscnlem2  24606  ioo2bl  24714  ioo2blex  24715  reperflem  24740  metnrmlem3  24783  ipcnlem2  25177  iscau3  25211  minveclem4  25365  ovolunlem1a  25430  dvferm1lem  25921  dvferm2lem  25923  lhop1lem  25951  ulmdvlem1  26342  radcnvle  26362  psercnlem1  26368  pserdvlem1  26370  pilem3  26396  coseq00topi  26444  cosordlem  26472  logtayl  26602  cxpcn3lem  26690  isosctrlem1  26761  chordthmlem4  26778  heron  26781  birthdaylem3  26896  cxp2limlem  26919  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamucov  26981  ftalem2  27017  chtub  27156  bcmono  27221  lgsqrlem2  27291  gausslemma2dlem1a  27309  gausslemma2dlem2  27311  gausslemma2dlem3  27312  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  2lgslem1a2  27334  2lgslem1c  27337  2sqlem8  27370  chpo1ubb  27425  dchrisum0fno1  27455  logdivsum  27477  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  selberg4lem1  27504  selberg3r  27513  selberg4r  27514  selberg34r  27515  pntpbnd1a  27529  pntibndlem2  27535  pntibndlem3  27536  pntlemg  27542  pntlemh  27543  minvecolem4  30859  nmcexi  32005  lt2addrd  32724  le2halvesd  32729  constrresqrtcl  33760  sqsscirc1  33891  tpr2rico  33895  dnibndlem12  36470  knoppndvlem21  36513  iooelexlt  37343  sin2h  37597  cos2h  37598  tan2h  37599  mblfinlem4  37647  itg2addnclem  37658  ftc1anclem7  37686  ftc1anc  37688  3lexlogpow2ineq1  42039  3lexlogpow2ineq2  42040  3lexlogpow5ineq5  42041  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p7  42055  sqrtcvallem3  43620  sqrtcvallem5  43622  sqrtcval  43623  oddfl  45269  dstregt0  45273  suplesup  45328  infleinflem1  45359  ioomidp  45505  lptre2pt  45631  0ellimcdiv  45640  limsupgtlem  45768  dvbdfbdioolem2  45920  dvbdfbdioo  45921  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  stoweidlem14  46005  stoweidlem24  46015  stoweidlem49  46040  stoweidlem52  46043  stoweidlem62  46053  dirker2re  46083  dirkertrigeqlem3  46091  dirkertrigeq  46092  dirkercncflem1  46094  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem4  46097  fourierdlem5  46103  fourierdlem10  46108  fourierdlem43  46141  fourierdlem56  46153  fourierdlem58  46155  fourierdlem62  46159  fourierdlem66  46163  fourierdlem68  46165  fourierdlem72  46169  fourierdlem76  46173  fourierdlem78  46175  fourierdlem79  46176  fourierdlem83  46180  fourierdlem87  46184  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem112  46209  sge0xaddlem1  46424  smflimlem4  46765  2ltceilhalf  47322  ceilhalfgt1  47323  ceilhalfelfzo1  47324  2tceilhalfelfzo1  47326  ceilhalfnn  47330  gpgusgralem  48040  gpg3nbgrvtx0ALT  48061  gpg3kgrtriexlem1  48067  gpg3kgrtriexlem4  48070  gpg3kgrtriexlem6  48072  flnn0div2ge  48515  dignn0flhalflem2  48598  dignn0flhalf  48600