Theorem rehalfcld 12386

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12366	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   / cdiv 11792  2c2 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12394  flhalf  13748  fldiv4p1lem1div2  13753  fldiv4lem1div2uz2  13754  facavg  14222  recl  15031  crre  15035  geomulcvg  15797  resin4p  16061  recos4p  16062  resinhcl  16079  cos01bnd  16109  rpnnen2lem11  16147  ruclem1  16154  ruclem2  16155  ruclem3  16156  nno  16307  bitsp1  16356  prmreclem5  16846  4sqlem5  16868  4sqlem6  16869  4sqlem10  16873  4sqlem15  16885  4sqlem16  16886  blhalf  24347  metustexhalf  24498  cfilucfil  24501  nlmvscnlem2  24627  ioo2bl  24735  ioo2blex  24736  reperflem  24761  metnrmlem3  24804  ipcnlem2  25198  iscau3  25232  minveclem4  25386  ovolunlem1a  25451  dvferm1lem  25942  dvferm2lem  25944  lhop1lem  25972  ulmdvlem1  26363  radcnvle  26383  psercnlem1  26389  pserdvlem1  26391  pilem3  26417  coseq00topi  26465  cosordlem  26493  logtayl  26623  cxpcn3lem  26711  isosctrlem1  26782  chordthmlem4  26799  heron  26802  birthdaylem3  26917  cxp2limlem  26940  lgamgulmlem2  26994  lgamgulmlem3  26995  lgamucov  27002  ftalem2  27038  chtub  27177  bcmono  27242  lgsqrlem2  27312  gausslemma2dlem1a  27330  gausslemma2dlem2  27332  gausslemma2dlem3  27333  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346  2lgslem1a2  27355  2lgslem1c  27358  2sqlem8  27391  chpo1ubb  27446  dchrisum0fno1  27476  logdivsum  27498  mulog2sumlem1  27499  mulog2sumlem2  27500  vmalogdivsum2  27503  vmalogdivsum  27504  2vmadivsumlem  27505  selberg4lem1  27525  selberg3r  27534  selberg4r  27535  selberg34r  27536  pntpbnd1a  27550  pntibndlem2  27556  pntibndlem3  27557  pntlemg  27563  pntlemh  27564  minvecolem4  30904  nmcexi  32050  lt2addrd  32779  le2halvesd  32785  constrresqrtcl  33883  sqsscirc1  34014  tpr2rico  34018  dnibndlem12  36632  knoppndvlem21  36675  iooelexlt  37506  sin2h  37750  cos2h  37751  tan2h  37752  mblfinlem4  37800  itg2addnclem  37811  ftc1anclem7  37839  ftc1anc  37841  3lexlogpow2ineq1  42251  3lexlogpow2ineq2  42252  3lexlogpow5ineq5  42253  aks4d1p1p2  42263  aks4d1p1p4  42264  aks4d1p1p7  42267  sqrtcvallem3  43821  sqrtcvallem5  43823  sqrtcval  43824  oddfl  45468  dstregt0  45472  suplesup  45526  infleinflem1  45556  ioomidp  45702  lptre2pt  45826  0ellimcdiv  45835  limsupgtlem  45963  dvbdfbdioolem2  46115  dvbdfbdioo  46116  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  stoweidlem14  46200  stoweidlem24  46210  stoweidlem49  46235  stoweidlem52  46238  stoweidlem62  46248  dirker2re  46278  dirkertrigeqlem3  46286  dirkertrigeq  46287  dirkercncflem1  46289  dirkercncflem2  46290  dirkercncflem4  46292  fourierdlem5  46298  fourierdlem10  46303  fourierdlem43  46336  fourierdlem56  46348  fourierdlem58  46350  fourierdlem62  46354  fourierdlem66  46358  fourierdlem68  46360  fourierdlem72  46364  fourierdlem76  46368  fourierdlem78  46370  fourierdlem79  46371  fourierdlem83  46375  fourierdlem87  46379  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396  fourierdlem112  46404  sge0xaddlem1  46619  smflimlem4  46960  2ltceilhalf  47516  ceilhalfgt1  47517  ceilhalfelfzo1  47518  2tceilhalfelfzo1  47520  ceilhalfnn  47524  gpgusgralem  48244  gpg3nbgrvtx0ALT  48265  gpg3kgrtriexlem1  48271  gpg3kgrtriexlem4  48274  gpg3kgrtriexlem6  48276  flnn0div2ge  48721  dignn0flhalflem2  48804  dignn0flhalf  48806