Theorem rehalfcld 12455

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   / cdiv 11867  2c2 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12463  flhalf  13791  fldiv4p1lem1div2  13796  fldiv4lem1div2uz2  13797  facavg  14257  recl  15053  crre  15057  geomulcvg  15818  resin4p  16077  recos4p  16078  resinhcl  16095  cos01bnd  16125  rpnnen2lem11  16163  ruclem1  16170  ruclem2  16171  ruclem3  16172  nno  16321  bitsp1  16368  prmreclem5  16849  4sqlem5  16871  4sqlem6  16872  4sqlem10  16876  4sqlem15  16888  4sqlem16  16889  blhalf  23902  metustexhalf  24056  cfilucfil  24059  nlmvscnlem2  24193  ioo2bl  24300  ioo2blex  24301  reperflem  24325  metnrmlem3  24368  ipcnlem2  24752  iscau3  24786  minveclem4  24940  ovolunlem1a  25004  dvferm1lem  25492  dvferm2lem  25494  lhop1lem  25521  ulmdvlem1  25903  radcnvle  25923  psercnlem1  25928  pserdvlem1  25930  pilem3  25956  coseq00topi  26003  cosordlem  26030  logtayl  26159  cxpcn3lem  26244  isosctrlem1  26312  chordthmlem4  26329  heron  26332  birthdaylem3  26447  cxp2limlem  26469  lgamgulmlem2  26523  lgamgulmlem3  26524  lgamucov  26531  ftalem2  26567  chtub  26704  bcmono  26769  lgsqrlem2  26839  gausslemma2dlem1a  26857  gausslemma2dlem2  26859  gausslemma2dlem3  26860  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem2  26873  2lgslem1a2  26882  2lgslem1c  26885  2sqlem8  26918  chpo1ubb  26973  dchrisum0fno1  27003  logdivsum  27025  mulog2sumlem1  27026  mulog2sumlem2  27027  vmalogdivsum2  27030  vmalogdivsum  27031  2vmadivsumlem  27032  selberg4lem1  27052  selberg3r  27061  selberg4r  27062  selberg34r  27063  pntpbnd1a  27077  pntibndlem2  27083  pntibndlem3  27084  pntlemg  27090  pntlemh  27091  minvecolem4  30120  nmcexi  31266  lt2addrd  31951  le2halvesd  31955  sqsscirc1  32876  tpr2rico  32880  dnibndlem12  35353  knoppndvlem21  35396  iooelexlt  36231  sin2h  36466  cos2h  36467  tan2h  36468  mblfinlem4  36516  itg2addnclem  36527  ftc1anclem7  36555  ftc1anc  36557  3lexlogpow2ineq1  40911  3lexlogpow2ineq2  40912  3lexlogpow5ineq5  40913  aks4d1p1p2  40923  aks4d1p1p4  40924  aks4d1p1p7  40927  sqrtcvallem3  42374  sqrtcvallem5  42376  sqrtcval  42377  oddfl  43973  dstregt0  43977  suplesup  44035  infleinflem1  44066  ioomidp  44213  lptre2pt  44342  0ellimcdiv  44351  limsupgtlem  44479  dvbdfbdioolem2  44631  dvbdfbdioo  44632  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  stoweidlem14  44716  stoweidlem24  44726  stoweidlem49  44751  stoweidlem52  44754  stoweidlem62  44764  dirker2re  44794  dirkertrigeqlem3  44802  dirkertrigeq  44803  dirkercncflem1  44805  dirkercncflem2  44806  dirkercncflem4  44808  fourierdlem5  44814  fourierdlem10  44819  fourierdlem43  44852  fourierdlem56  44864  fourierdlem58  44866  fourierdlem62  44870  fourierdlem66  44874  fourierdlem68  44876  fourierdlem72  44880  fourierdlem76  44884  fourierdlem78  44886  fourierdlem79  44887  fourierdlem83  44891  fourierdlem87  44895  fourierdlem103  44911  fourierdlem104  44912  fourierdlem112  44920  sge0xaddlem1  45135  smflimlem4  45476  flnn0div2ge  47172  dignn0flhalflem2  47255  dignn0flhalf  47257