Theorem rehalfcld 12388

Description: Real closure of half. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rehalfcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rehalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rehalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rehalfcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rehalfcl 12368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   / cdiv 11794  2c2 12200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208

This theorem is referenced by:  div4p1lem1div2  12396  flhalf  13750  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2uz2  13756  facavg  14224  recl  15033  crre  15037  geomulcvg  15799  resin4p  16063  recos4p  16064  resinhcl  16081  cos01bnd  16111  rpnnen2lem11  16149  ruclem1  16156  ruclem2  16157  ruclem3  16158  nno  16309  bitsp1  16358  prmreclem5  16848  4sqlem5  16870  4sqlem6  16871  4sqlem10  16875  4sqlem15  16887  4sqlem16  16888  blhalf  24349  metustexhalf  24500  cfilucfil  24503  nlmvscnlem2  24629  ioo2bl  24737  ioo2blex  24738  reperflem  24763  metnrmlem3  24806  ipcnlem2  25200  iscau3  25234  minveclem4  25388  ovolunlem1a  25453  dvferm1lem  25944  dvferm2lem  25946  lhop1lem  25974  ulmdvlem1  26365  radcnvle  26385  psercnlem1  26391  pserdvlem1  26393  pilem3  26419  coseq00topi  26467  cosordlem  26495  logtayl  26625  cxpcn3lem  26713  isosctrlem1  26784  chordthmlem4  26801  heron  26804  birthdaylem3  26919  cxp2limlem  26942  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamucov  27004  ftalem2  27040  chtub  27179  bcmono  27244  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem1a  27332  gausslemma2dlem2  27334  gausslemma2dlem3  27335  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  2lgslem1a2  27357  2lgslem1c  27360  2sqlem8  27393  chpo1ubb  27448  dchrisum0fno1  27478  logdivsum  27500  mulog2sumlem1  27501  mulog2sumlem2  27502  vmalogdivsum2  27505  vmalogdivsum  27506  2vmadivsumlem  27507  selberg4lem1  27527  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntpbnd1a  27552  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlemg  27565  pntlemh  27566  minvecolem4  30955  nmcexi  32101  lt2addrd  32830  le2halvesd  32836  constrresqrtcl  33934  sqsscirc1  34065  tpr2rico  34069  dnibndlem12  36689  knoppndvlem21  36732  iooelexlt  37567  sin2h  37811  cos2h  37812  tan2h  37813  mblfinlem4  37861  itg2addnclem  37872  ftc1anclem7  37900  ftc1anc  37902  3lexlogpow2ineq1  42312  3lexlogpow2ineq2  42313  3lexlogpow5ineq5  42314  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p7  42328  sqrtcvallem3  43879  sqrtcvallem5  43881  sqrtcval  43882  oddfl  45526  dstregt0  45530  suplesup  45584  infleinflem1  45614  ioomidp  45760  lptre2pt  45884  0ellimcdiv  45893  limsupgtlem  46021  dvbdfbdioolem2  46173  dvbdfbdioo  46174  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  stoweidlem14  46258  stoweidlem24  46268  stoweidlem49  46293  stoweidlem52  46296  stoweidlem62  46306  dirker2re  46336  dirkertrigeqlem3  46344  dirkertrigeq  46345  dirkercncflem1  46347  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem4  46350  fourierdlem5  46356  fourierdlem10  46361  fourierdlem43  46394  fourierdlem56  46406  fourierdlem58  46408  fourierdlem62  46412  fourierdlem66  46416  fourierdlem68  46418  fourierdlem72  46422  fourierdlem76  46426  fourierdlem78  46428  fourierdlem79  46429  fourierdlem83  46433  fourierdlem87  46437  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem112  46462  sge0xaddlem1  46677  smflimlem4  47018  2ltceilhalf  47574  ceilhalfgt1  47575  ceilhalfelfzo1  47576  2tceilhalfelfzo1  47578  ceilhalfnn  47582  gpgusgralem  48302  gpg3nbgrvtx0ALT  48323  gpg3kgrtriexlem1  48329  gpg3kgrtriexlem4  48332  gpg3kgrtriexlem6  48334  flnn0div2ge  48779  dignn0flhalflem2  48862  dignn0flhalf  48864