Theorem lincfsuppcl 44822

Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincfsuppcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lincfsuppcl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincfsuppcl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
3		lincfsuppcl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6648	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2821	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
7	6	eleq2i 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8	7	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
10	9	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11		elpwg 4500	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12		lincfsuppcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
14	13	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
15	14	sseq2d 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ 𝐵))
16	11, 15	bitr2d 283	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
17	16	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18	17	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19		lincval 44818	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
21		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22		lmodcmn 19675	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23	22	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝑊)
25	24	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝑊)
26	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝑆)
28		ffvelrn 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
29	28	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝑆 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
32	31	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
33	32	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
34		ssel 3908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	34	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
38		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
39	12, 3, 38, 2	lmodvscl 19644	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
40	26, 33, 37, 39	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
41	40	fmpttd 6856	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
42		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43	42	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
44		simp3r 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
45		lincfsuppcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
46	44, 45	breqtrdi 5071	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	3, 2	scmfsupp 44780	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	1, 18, 43, 46, 47	syl211anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	12, 21, 23, 25, 41, 48	gsumcl 19028	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
50	20, 49	eqeltrd 2890	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  CMndccmn 18898  LModclmod 19627   linC clinc 44813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-linc 44815

This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  44870