Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincfsuppcl 47094
Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
lincfsuppcl.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7419 . . . . . . 7 (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
11 elpwg 4606 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€))
1413eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
1514sseq2d 4015 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† 𝐡))
1611, 15bitr2d 280 . . . . 5 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1716biimpa 478 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18173ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
19 lincval 47090 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1372 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
21 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
22 lmodcmn 20520 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 484 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
25243ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
261adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8843 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘†)
28 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
2928ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3332imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
34 ssel 3976 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3534adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
38 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 20489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4140fmpttd 7115 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
42 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43423ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
44 simp3r 1203 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
45 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
4644, 45breqtrdi 5190 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
473, 2scmfsupp 47054 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
481, 18, 43, 46, 47syl211anc 1377 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
4912, 21, 23, 25, 41, 48gsumcl 19783 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5020, 49eqeltrd 2834 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  LModclmod 20471   linC clinc 47085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-linc 47087
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  47142
  Copyright terms: Public domain W3C validator