Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincfsuppcl 45811
Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
lincfsuppcl.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6803 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7313 . . . . . . 7 (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2828 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
11 elpwg 4542 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€))
1413eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
1514sseq2d 3958 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† 𝐡))
1611, 15bitr2d 281 . . . . 5 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1716biimpa 478 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18173ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
19 lincval 45807 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
21 eqid 2736 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
22 lmodcmn 20212 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 484 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
25243ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
261adantr 482 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8664 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘†)
28 ffvelcdm 6987 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
2928ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3332imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
34 ssel 3919 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3534adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736imp 408 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
38 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 20181 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4140fmpttd 7017 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
42 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43423ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
44 simp3r 1202 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
45 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
4644, 45breqtrdi 5122 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
473, 2scmfsupp 45771 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
481, 18, 43, 46, 47syl211anc 1376 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
4912, 21, 23, 25, 41, 48gsumcl 19557 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5020, 49eqeltrd 2837 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3892  π’« cpw 4539   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ↑m cmap 8642   finSupp cfsupp 9168  Basecbs 16953  Scalarcsca 17006   ·𝑠 cvsca 17007  0gc0g 17191   Ξ£g cgsu 17192  CMndccmn 19427  LModclmod 20164   linC clinc 45802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-plusg 17016  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-lmod 20166  df-linc 45804
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  45859
  Copyright terms: Public domain W3C validator