Theorem lincfsuppcl 49664

Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincfsuppcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lincfsuppcl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincfsuppcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
3		lincfsuppcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
7	6	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8	7	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
9	8	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
10		elpwg 4562	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
11		lincfsuppcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
13	12	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
14	13	sseq2d 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ 𝐵))
15	10, 14	bitr2d 283	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 49660	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 21197	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝑊)
24	23	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝑊)
25	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
26		elmapi 8880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝑆)
27		ffvelcdm 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
28	27	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝑆 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
31	30	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
32	31	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
33		ssel 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
34	33	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
37		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
38	11, 3, 37, 2	lmodvscl 21165	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
39	25, 32, 36, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
40	39	fmpttd 7123	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
41		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
42	41	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
44		lincfsuppcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
45	43, 44	breqtrdi 5148	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
46	3, 2	scmfsupp 49626	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
47	1, 17, 42, 45, 46	syl211anc 1403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	11, 20, 22, 24, 40, 47	gsumcl 20141	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
49	19, 48	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858   finSupp cfsupp 9364  Basecbs 17399  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  0_gc0g 17622   Σ_g cgsu 17623  CMndccmn 20006  LModclmod 21147   linC clinc 49655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-ur 20420  df-ring 20473  df-lmod 21149  df-linc 49657

This theorem is used by:  lindslinindimp2lem4  49712