Theorem lincfsuppcl 49250

Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincfsuppcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lincfsuppcl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincfsuppcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
3		lincfsuppcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
7	6	eleq2i 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8	7	birani 509	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
9	8	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
10		elpwg 4567	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
11		lincfsuppcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
13	12	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
14	13	sseq2d 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ 𝐵))
15	10, 14	bitr2d 283	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 49246	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 21081	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝑊)
24	23	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝑊)
25	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
26		elmapi 8852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝑆)
27		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
28	27	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝑆 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
31	30	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
32	31	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
33		ssel 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
34	33	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
37		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
38	11, 3, 37, 2	lmodvscl 21049	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
39	25, 32, 36, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
40	39	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
41		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
42	41	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
44		lincfsuppcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
45	43, 44	breqtrdi 5154	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
46	3, 2	scmfsupp 49212	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
47	1, 17, 42, 45, 46	syl211anc 1403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	11, 20, 22, 24, 40, 47	gsumcl 20029	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
49	19, 48	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830   finSupp cfsupp 9328  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  CMndccmn 19894  LModclmod 21031   linC clinc 49241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-lmod 21033  df-linc 49243

This theorem is used by:  lindslinindimp2lem4  49298