Theorem lincfsuppcl 48356

Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincfsuppcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lincfsuppcl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincfsuppcl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
3		lincfsuppcl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
7	6	eleq2i 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
10	9	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11		elpwg 4583	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12		lincfsuppcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
14	13	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
15	14	sseq2d 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ 𝐵))
16	11, 15	bitr2d 280	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
17	16	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18	17	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19		lincval 48352	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20	1, 10, 18, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22		lmodcmn 20872	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23	22	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝑊)
25	24	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝑊)
26	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27		elmapi 8868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝑆)
28		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
29	28	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝑆 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
33	32	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
34		ssel 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	34	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
37	36	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
38		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
39	12, 3, 38, 2	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
40	26, 33, 37, 39	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
41	40	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
42		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43	42	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
44		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
45		lincfsuppcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
46	44, 45	breqtrdi 5165	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	3, 2	scmfsupp 48317	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	1, 18, 43, 46, 47	syl211anc 1378	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	12, 21, 23, 25, 41, 48	gsumcl 19901	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
50	20, 49	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  CMndccmn 19766  LModclmod 20822   linC clinc 48347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-lmod 20824  df-linc 48349

This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  48404