Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincfsuppcl 47181
Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
lincfsuppcl.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2758 . . . . . . . 8 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2823 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
98adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
11 elpwg 4604 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€))
1413eqcomd 2736 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (Baseβ€˜π‘€) = 𝐡)
1514sseq2d 4013 . . . . . 6 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† 𝐡))
1611, 15bitr2d 279 . . . . 5 (𝑉 ∈ π‘Š β†’ (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1716biimpa 475 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
18173ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
19 lincval 47177 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1369 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))))
21 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
22 lmodcmn 20664 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 481 . . . 4 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
25243ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑉 ∈ π‘Š)
261adantr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘†)
28 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
2928ex 411 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3130adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆))
3332imp 405 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆)
34 ssel 3974 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3534adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
36353ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝐡))
3736imp 405 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
38 eqid 2730 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 20632 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝐡)
4140fmpttd 7115 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ΅)
42 simpl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43423ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
44 simp3r 1200 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
45 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
4644, 45breqtrdi 5188 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
473, 2scmfsupp 47142 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
481, 18, 43, 46, 47syl211anc 1374 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
4912, 21, 23, 25, 41, 48gsumcl 19824 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝐡)
5020, 49eqeltrd 2831 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ π‘Š ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  CMndccmn 19689  LModclmod 20614   linC clinc 47172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-linc 47174
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  47229
  Copyright terms: Public domain W3C validator