Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincfsuppcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincfsuppcl 46484
Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincfsuppcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincfsuppcl ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincfsuppcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincfsuppcl.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2764 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 7367 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2829 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11 elpwg 4563 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
12 lincfsuppcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑀)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊𝐵 = (Base‘𝑀))
1413eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
1514sseq2d 3976 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉𝐵))
1611, 15bitr2d 279 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (𝑉𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
1716biimpa 477 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18173ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
19 lincval 46480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
201, 10, 18, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
21 eqid 2736 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
22 lmodcmn 20370 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
24 simpl 483 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → 𝑉𝑊)
25243ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉𝑊)
261adantr 481 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
28 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉𝑆𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
2928ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
32313ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆))
3332imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑆)
34 ssel 3937 . . . . . . . 8 (𝑉𝐵 → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3534adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉𝐵) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
36353ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉𝑣𝐵))
3736imp 407 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝐵)
38 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3912, 3, 38, 2lmodvscl 20339 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝑆𝑣𝐵) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4026, 33, 37, 39syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
4140fmpttd 7063 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝐵)
42 simpl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉))
43423ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉))
44 simp3r 1202 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
45 lincfsuppcl.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
4644, 45breqtrdi 5146 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
473, 2scmfsupp 46444 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
481, 18, 43, 46, 47syl211anc 1376 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
4912, 21, 23, 25, 41, 48gsumcl 19692 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
5020, 49eqeltrd 2838 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉𝑊𝑉𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  CMndccmn 19562  LModclmod 20322   linC clinc 46475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-linc 46477
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  46532
  Copyright terms: Public domain W3C validator