Theorem lincfsuppcl 49193

Description: A linear combination of vectors (with finite support) is a vector. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincfsuppcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincfsuppcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincfsuppcl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincfsuppcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lincfsuppcl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lincfsuppcl

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincfsuppcl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
3		lincfsuppcl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
7	6	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
8	7	birani 508	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
9	8	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
10		elpwg 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
11		lincfsuppcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
13	12	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Base‘𝑀) = 𝐵)
14	13	sseq2d 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ 𝐵))
15	10, 14	bitr2d 283	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
16	15	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17	16	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
18		lincval 49189	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
19	1, 9, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
21		lmodcmn 21031	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
22	21	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ CMnd)
23		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → 𝑉 ∈ 𝑊)
24	23	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑉 ∈ 𝑊)
25	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
26		elmapi 8842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝑆)
27		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
28	27	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝑆 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
31	30	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆))
32	31	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
33		ssel 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
34	33	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝐵))
36	35	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝐵)
37		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
38	11, 3, 37, 2	lmodvscl 20999	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
39	25, 32, 36, 38	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝐵)
40	39	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝐵)
41		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
42	41	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
43		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
44		lincfsuppcl.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
45	43, 44	breqtrdi 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
46	3, 2	scmfsupp 49155	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
47	1, 17, 42, 45, 46	syl211anc 1403	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	11, 20, 22, 24, 40, 47	gsumcl 19980	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝐵)
49	19, 48	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  CMndccmn 19845  LModclmod 20981   linC clinc 49184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-linc 49186

This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  49241