Theorem gsumlsscl 48494

Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumlsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
gsumlsscl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
2		lmodabl 20852	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5		ssexg 5265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
7	6	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10		gsumlsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
11	10	lsssubg 20900	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
14	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16		elmapi 8782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
17		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
21	20	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
22		ssel 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑍 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
25	24	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑍)
26		gsumlsscl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
28		gsumlsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	26, 27, 28, 10	lssvscl 20898	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
30	15, 21, 25, 29	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31	30	fmpttd 7057	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝑍)
32		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34	33, 10	lssss 20879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35		sstr 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
36	35	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39	38	3imp 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40		elpwg 4554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
41	7, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
43	32, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉))
46		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	26, 28	scmfsupp 48489	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	1, 4, 8, 13, 31, 48	gsumsubgcl 19842	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
50	49	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↑_m cmap 8759   finSupp cfsupp 9255  Basecbs 17130  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  0_gc0g 17353   Σ_g cgsu 17354  SubGrpcsubg 19043  Abelcabl 19703  LModclmod 20803  LSubSpclss 20874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-oi 9406  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-seq 13919  df-hash 14248  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-gsum 17356  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-ur 20110  df-ring 20163  df-lmod 20805  df-lss 20875

This theorem is referenced by:  lincellss  48541