Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumlsscl 47138
Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
gsumlsscl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
gsumlsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐡   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍
Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
2 lmodabl 20524 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Abel)
323ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ Abel)
43adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀 ∈ Abel)
5 ssexg 5323 . . . . . 6 ((𝑉 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ V)
65ancoms 459 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ V)
763adant1 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ V)
87adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 3simpa 1148 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10 gsumlsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
1110lsssubg 20573 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
1312adantr 481 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
149adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
1514adantr 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16 elmapi 8845 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
17 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ΅ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡)
1817ex 413 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‰βŸΆπ΅ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
2019ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
2120imp 407 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡)
22 ssel 3975 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
23223ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
2423adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
2524imp 407 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑍)
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
27 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
28 gsumlsscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2926, 27, 28, 10lssvscl 20571 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝑍)
3015, 21, 25, 29syl12anc 835 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝑍)
3130fmpttd 7116 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ‘)
32 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3433, 10lssss 20552 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ 𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
35 sstr 3990 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3635expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))))
39383imp 1111 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
40 elpwg 4605 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
417, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
4239, 41mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
4332, 42jca 512 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
4443adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simprl 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉))
46 simprr 771 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
4726, 28scmfsupp 47133 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1371 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
491, 4, 8, 13, 31, 48gsumsubgcl 19790 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍)
5049ex 413 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  SubGrpcsubg 19002  Abelcabl 19651  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-lss 20548
This theorem is referenced by:  lincellss  47185
  Copyright terms: Public domain W3C validator