Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gsumlsscl 47059
Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
gsumlsscl.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
gsumlsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐡   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍
Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
2 lmodabl 20519 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Abel)
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ Abel)
43adantr 482 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀 ∈ Abel)
5 ssexg 5324 . . . . . 6 ((𝑉 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑉 ∈ V)
65ancoms 460 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ V)
763adant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ V)
87adantr 482 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑉 ∈ V)
9 3simpa 1149 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10 gsumlsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘€)
1110lsssubg 20568 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
1312adantr 482 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑍 ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
149adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
1514adantr 482 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16 elmapi 8843 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
17 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ΅ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡)
1817ex 414 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‰βŸΆπ΅ β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
2019ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡))
2120imp 408 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡)
22 ssel 3976 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
23223ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
2423adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 β†’ 𝑣 ∈ 𝑍))
2524imp 408 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑍)
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
27 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
28 gsumlsscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2926, 27, 28, 10lssvscl 20566 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝑍)
3015, 21, 25, 29syl12anc 836 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣) ∈ 𝑍)
3130fmpttd 7115 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)):π‘‰βŸΆπ‘)
32 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3433, 10lssss 20547 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ 𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
35 sstr 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 βŠ† 𝑍 ∧ 𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3635expcom 415 . . . . . . . . . 10 (𝑍 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑍 ∈ 𝑆 β†’ (𝑉 βŠ† 𝑍 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))))
39383imp 1112 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
40 elpwg 4606 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
417, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
4239, 41mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
4332, 42jca 513 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
4443adantr 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
45 simprl 770 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉))
46 simprr 772 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
4726, 28scmfsupp 47054 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
491, 4, 8, 13, 31, 48gsumsubgcl 19788 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍)
5049ex 414 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 βŠ† 𝑍) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘£)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑣))) ∈ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  SubGrpcsubg 19000  Abelcabl 19649  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lincellss  47107
  Copyright terms: Public domain W3C validator