Theorem gsumlsscl 49414

Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumlsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
gsumlsscl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
2		lmodabl 21146	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5		ssexg 5280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
6	5	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
7	6	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9		3simpa 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10		gsumlsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
11	10	lsssubg 21194	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
14	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16		elmapi 8847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
17		ffvelcdm 7069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
18	17	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
19	16, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
20	19	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
21	20	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
22		ssel 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑍 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
24	23	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
25	24	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑍)
26		gsumlsscl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
28		gsumlsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	26, 27, 28, 10	lssvscl 21192	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
30	15, 21, 25, 29	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31	30	fmpttd 7103	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝑍)
32		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34	33, 10	lssss 21173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35		sstr 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
36	35	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
37	34, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39	38	3imp 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40		elpwg 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
41	7, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
42	39, 41	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
43	32, 42	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉))
46		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	26, 28	scmfsupp 49409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	1, 4, 8, 13, 31, 48	gsumsubgcl 20096	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
50	49	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8825   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17349  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  0_gc0g 17572   Σ_g cgsu 17573  SubGrpcsubg 19292  Abelcabl 19957  LModclmod 21097  LSubSpclss 21168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-lmod 21099  df-lss 21169

This theorem is used by:  lincellss  49460