Theorem gsumlsscl 45607

Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumlsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
gsumlsscl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
2		lmodabl 20085	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
3	2	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5		ssexg 5242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
7	6	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9		3simpa 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10		gsumlsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
11	10	lsssubg 20134	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
14	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16		elmapi 8595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
17		ffvelrn 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
20	19	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
21	20	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
22		ssel 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑍 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
23	22	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
25	24	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑍)
26		gsumlsscl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
28		gsumlsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	26, 27, 28, 10	lssvscl 20132	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
30	15, 21, 25, 29	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31	30	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝑍)
32		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34	33, 10	lssss 20113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35		sstr 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
36	35	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39	38	3imp 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40		elpwg 4533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
41	7, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
42	39, 41	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
43	32, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉))
46		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	26, 28	scmfsupp 45602	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	1, 4, 8, 13, 31, 48	gsumsubgcl 19436	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
50	49	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  SubGrpcsubg 18664  Abelcabl 19302  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  lincellss  45655