Theorem gsumlsscl 48368

Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumlsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
gsumlsscl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
2		lmodabl 20815	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5		ssexg 5278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
7	6	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10		gsumlsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
11	10	lsssubg 20863	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
14	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16		elmapi 8822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
17		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
20	19	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
21	20	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
22		ssel 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑍 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
25	24	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑍)
26		gsumlsscl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
28		gsumlsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	26, 27, 28, 10	lssvscl 20861	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
30	15, 21, 25, 29	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31	30	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝑍)
32		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34	33, 10	lssss 20842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35		sstr 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
36	35	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39	38	3imp 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40		elpwg 4566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
41	7, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
43	32, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉))
46		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	26, 28	scmfsupp 48363	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	1, 4, 8, 13, 31, 48	gsumsubgcl 19850	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
50	49	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  SubGrpcsubg 19052  Abelcabl 19711  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838

This theorem is referenced by:  lincellss  48415