Theorem gsumlsscl 48108

Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumlsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
gsumlsscl	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
2		lmodabl 20929	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5		ssexg 5341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑉 ∈ V)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
7	6	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ V)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
10		gsumlsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
11	10	lsssubg 20978	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
14	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆))
16		elmapi 8907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
17		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑉⟶𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉⟶𝐵 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
20	19	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵))
21	20	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵)
22		ssel 4002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑍 → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 → 𝑣 ∈ 𝑍))
25	24	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑍)
26		gsumlsscl.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
28		gsumlsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	26, 27, 28, 10	lssvscl 20976	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ ((𝐹‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑍)) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
30	15, 21, 25, 29	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
31	30	fmpttd 7149	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)):𝑉⟶𝑍)
32		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
34	33, 10	lssss 20957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35		sstr 4017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
36	35	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝑉 ⊆ 𝑍 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39	38	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40		elpwg 4625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
41	7, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
43	32, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉))
46		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
47	26, 28	scmfsupp 48103	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) finSupp (0g‘𝑀))
49	1, 4, 8, 13, 31, 48	gsumsubgcl 19962	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
50	49	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝐹‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  SubGrpcsubg 19160  Abelcabl 19823  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953

This theorem is referenced by:  lincellss  48155