Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumlsscl 48224
Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
gsumlsscl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
gsumlsscl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐵   𝑣,𝐹   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑆   𝑣,𝑉   𝑣,𝑍

Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2 lmodabl 20923 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Abel)
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ Abel)
43adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑀 ∈ Abel)
5 ssexg 5328 . . . . . 6 ((𝑉𝑍𝑍𝑆) → 𝑉 ∈ V)
65ancoms 458 . . . . 5 ((𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
763adant1 1129 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ V)
87adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑉 ∈ V)
9 3simpa 1147 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
10 gsumlsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑀)
1110lsssubg 20972 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
1312adantr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
149adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
1514adantr 480 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆))
16 elmapi 8887 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝐵)
17 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑉𝐵𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
1817ex 412 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉𝐵 → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
1916, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2019ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵))
2120imp 406 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐵)
22 ssel 3988 . . . . . . . 8 (𝑉𝑍 → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
23223ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉𝑣𝑍))
2524imp 406 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑍)
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
27 eqid 2734 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
28 gsumlsscl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2926, 27, 28, 10lssvscl 20970 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆) ∧ ((𝐹𝑣) ∈ 𝐵𝑣𝑍)) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
3015, 21, 25, 29syl12anc 837 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣) ∈ 𝑍)
3130fmpttd 7134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)):𝑉𝑍)
32 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑀 ∈ LMod)
33 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3433, 10lssss 20951 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍 ⊆ (Base‘𝑀))
35 sstr 4003 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑍𝑍 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
3635expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → (𝑍𝑆 → (𝑉𝑍𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))))
39383imp 1110 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
40 elpwg 4607 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
417, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
4239, 41mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
4332, 42jca 511 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
4443adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
45 simprl 771 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉))
46 simprr 773 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
4726, 28scmfsupp 48219 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1370 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) finSupp (0g𝑀))
491, 4, 8, 13, 31, 48gsumsubgcl 19952 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) ∧ (𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅))) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍)
5049ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑆𝑉𝑍) → ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑀 Σg (𝑣𝑉 ↦ ((𝐹𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) ∈ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  SubGrpcsubg 19150  Abelcabl 19813  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947
This theorem is referenced by:  lincellss  48271
  Copyright terms: Public domain W3C validator