Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincdifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincdifsn 44820
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincdifsn.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincdifsn.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincdifsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincdifsn.p + = (+g𝑀)
lincdifsn.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincdifsn (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6652 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2824 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 7149 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
87biimpi 219 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
98adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
1211pweqi 4518 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
1312eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1413biimpi 219 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15143ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17 lincval 44805 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
181, 10, 16, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
19 lincdifsn.p . . . 4 + = (+g𝑀)
20 lmodcmn 19678 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simp12 1201 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
2414anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
25243adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
26253ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
27 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉))
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
2928breq2i 5041 . . . . . . . 8 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3029biimpi 219 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3130adantl 485 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
32313ad2ant2 1131 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
333, 2scmfsupp 44767 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
3426, 27, 32, 33syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
35 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
3635adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
37 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
38 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑉𝑆𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
3938ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4241adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4342impcom 411 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4443imp 410 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
45 elelpwi 4512 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥𝐵)
4645expcom 417 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
47463ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4847adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4948imp 410 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝐵)
50 eqid 2801 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 19647 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
5236, 44, 49, 51syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
53523adantl3 1165 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
54 simp13 1202 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑋𝑉)
55 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉𝑆𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
5655expcom 417 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
57563ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5958adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
6059impcom 411 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
61 elelpwi 4512 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
6261ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
63623adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
6463adantr 484 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑋𝐵)
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
6611, 3, 65, 2lmodvscl 19647 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑆𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6735, 60, 64, 66syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
68673adant3 1129 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6965eqcomi 2810 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ·
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ( ·𝑠𝑀) = · )
71 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
72 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
7370, 71, 72oveq123d 7160 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7473adantl 485 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 19077 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
76 fveq1 6648 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
77763ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
78 fvres 6668 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7977, 78sylan9eq 2856 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
8079oveq1d 7154 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))
8180mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8281eqcomd 2807 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8382oveq2d 7155 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
8483oveq1d 7154 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
8575, 84eqtrd 2836 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
86 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = 𝑉
8786, 5feq23i 6485 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8837, 87sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8988adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
90893ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
91 difssd 4063 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
9290, 91fssresd 6523 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
93 feq1 6472 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
94933ad2ant3 1132 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
9592, 94mpbird 260 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
96 fvex 6662 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
97 difexg 5198 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
98973ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
99983ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
100 elmapg 8406 . . . . . . 7 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10196, 99, 100sylancr 590 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10295, 101mpbird 260 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})))
103 elpwi 4509 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
10411sseq2i 3947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
105104biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
106105ssdifssd 4073 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
108107adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
10997adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
110 elpwg 4503 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
112108, 111mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1131123adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1141133ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
115 lincval 44805 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
1161, 102, 114, 115syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
117116eqcomd 2807 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})))
118117oveq1d 7154 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
11918, 85, 1183eqtrd 2840 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  𝒫 cpw 4500  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cres 5525  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18901  LModclmod 19630   linC clinc 44800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-lmod 19632  df-linc 44802
This theorem is referenced by:  lincext3  44852  lindslinindimp2lem4  44857  lincresunit3  44877
  Copyright terms: Public domain W3C validator