Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincdifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincdifsn 46579
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincdifsn.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincdifsn.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
lincdifsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
lincdifsn.p + = (+gβ€˜π‘€)
lincdifsn.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lincdifsn (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6850 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7372 . . . . . . 7 (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2830 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant2 1135 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
1211pweqi 4581 . . . . . . 7 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
1312eleq2i 2830 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1413biimpi 215 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
15143ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
17 lincval 46564 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
181, 10, 16, 17syl3anc 1372 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
19 lincdifsn.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
20 lmodcmn 20386 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
21203ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simp12 1205 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
2414anim2i 618 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
25243adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
26253ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
27 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
2928breq2i 5118 . . . . . . . 8 (𝐹 finSupp 0 ↔ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3029biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 0 β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3130adantl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
32313ad2ant2 1135 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
333, 2scmfsupp 46528 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
3426, 27, 32, 33syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
35 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3635adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
37 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘†)
38 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
3938ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4241adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4342impcom 409 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4443imp 408 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
45 elelpwi 4575 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645expcom 415 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
47463ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
4847adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
4948imp 408 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
50 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 20355 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
5236, 44, 49, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
53523adantl3 1169 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
54 simp13 1206 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
55 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
5655expcom 415 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
57563ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
5958adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
6059impcom 409 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
61 elelpwi 4575 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6261ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
63623adant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6463adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
6611, 3, 65, 2lmodvscl 20355 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6735, 60, 64, 66syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
68673adant3 1133 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6965eqcomi 2746 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β·
7069a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β· )
71 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
72 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
7370, 71, 72oveq123d 7383 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋))
7473adantl 483 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋))
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 19745 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
76 fveq1 6846 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯))
77763ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯))
78 fvres 6866 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
7977, 78sylan9eq 2797 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8079oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8180mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
8281eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
8382oveq2d 7378 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
8483oveq1d 7377 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
8575, 84eqtrd 2777 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
86 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = 𝑉
8786, 5feq23i 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8837, 87sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8988adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
90893ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
91 difssd 4097 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑉)
9290, 91fssresd 6714 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
93 feq1 6654 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
94933ad2ant3 1136 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
9592, 94mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
96 fvex 6860 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
97 difexg 5289 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
98973ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
99983ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
100 elmapg 8785 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
10196, 99, 100sylancr 588 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
10295, 101mpbird 257 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})))
103 elpwi 4572 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
10411sseq2i 3978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
105104biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
106105ssdifssd 4107 . . . . . . . . . 10 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
108107adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10997adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
110 elpwg 4568 . . . . . . . . 9 ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
112108, 111mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1131123adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1141133ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
115 lincval 46564 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ∧ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
1161, 102, 114, 115syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
117116eqcomd 2743 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})))
118117oveq1d 7377 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
11918, 85, 1183eqtrd 2781 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  CMndccmn 19569  LModclmod 20338   linC clinc 46559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-linc 46561
This theorem is referenced by:  lincext3  46611  lindslinindimp2lem4  46616  lincresunit3  46636
  Copyright terms: Public domain W3C validator