Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincdifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincdifsn 44407
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincdifsn.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincdifsn.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincdifsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincdifsn.p + = (+g𝑀)
lincdifsn.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincdifsn (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1195 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6666 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2841 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 7155 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2901 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
87biimpi 217 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant2 1126 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
1211pweqi 4539 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
1312eleq2i 2901 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1413biimpi 217 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15143ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant1 1125 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17 lincval 44392 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
181, 10, 16, 17syl3anc 1363 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
19 lincdifsn.p . . . 4 + = (+g𝑀)
20 lmodcmn 19611 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
21203ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simp12 1196 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
2414anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
25243adant3 1124 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
26253ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
27 simp2l 1191 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉))
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
2928breq2i 5065 . . . . . . . 8 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3029biimpi 217 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
32313ad2ant2 1126 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
333, 2scmfsupp 44354 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
3426, 27, 32, 33syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
35 simpl1 1183 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
37 elmapi 8417 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
38 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑉𝑆𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
3938ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4342impcom 408 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4443imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
45 elelpwi 4550 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥𝐵)
4645expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
47463ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4847adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4948imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝐵)
50 eqid 2818 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 19580 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
5236, 44, 49, 51syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
53523adantl3 1160 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
54 simp13 1197 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑋𝑉)
55 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉𝑆𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
5655expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
57563ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5958adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
6059impcom 408 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
61 elelpwi 4550 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
6261ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
63623adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
6463adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑋𝐵)
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
6611, 3, 65, 2lmodvscl 19580 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑆𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6735, 60, 64, 66syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
68673adant3 1124 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6965eqcomi 2827 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ·
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ( ·𝑠𝑀) = · )
71 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
72 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
7370, 71, 72oveq123d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7473adantl 482 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 19010 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
76 fveq1 6662 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
77763ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
78 fvres 6682 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7977, 78sylan9eq 2873 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
8079oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))
8180mpteq2dva 5152 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8281eqcomd 2824 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8382oveq2d 7161 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
8483oveq1d 7160 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
8575, 84eqtrd 2853 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
86 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = 𝑉
8786, 5feq23i 6501 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8837, 87sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
90893ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
91 difssd 4106 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
9290, 91fssresd 6538 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
93 feq1 6488 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
94933ad2ant3 1127 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
9592, 94mpbird 258 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
96 fvex 6676 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
97 difexg 5222 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
98973ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
99983ad2ant1 1125 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
100 elmapg 8408 . . . . . . 7 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10196, 99, 100sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10295, 101mpbird 258 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})))
103 elpwi 4547 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
10411sseq2i 3993 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
105104biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
106105ssdifssd 4116 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
108107adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
10997adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
110 elpwg 4541 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
112108, 111mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1131123adant3 1124 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1141133ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
115 lincval 44392 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
1161, 102, 114, 115syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
117116eqcomd 2824 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})))
118117oveq1d 7160 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
11918, 85, 1183eqtrd 2857 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  CMndccmn 18835  LModclmod 19563   linC clinc 44387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-linc 44389
This theorem is referenced by:  lincext3  44439  lindslinindimp2lem4  44444  lincresunit3  44464
  Copyright terms: Public domain W3C validator