Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincdifsn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincdifsn 47058
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincdifsn.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincdifsn.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
lincdifsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
lincdifsn.p + = (+gβ€˜π‘€)
lincdifsn.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lincdifsn (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6891 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2760 . . . . . . . 8 𝑆 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7415 . . . . . . 7 (𝑆 ↑m 𝑉) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2825 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉))
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
1211pweqi 4617 . . . . . . 7 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
1312eleq2i 2825 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1413biimpi 215 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
15143ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
16153ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
17 lincval 47043 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
181, 10, 16, 17syl3anc 1371 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
19 lincdifsn.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘€)
20 lmodcmn 20512 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
21203ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
23 simp12 1204 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡)
2414anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
25243adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
26253ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
27 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉))
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
2928breq2i 5155 . . . . . . . 8 (𝐹 finSupp 0 ↔ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3029biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 0 β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
32313ad2ant2 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
333, 2scmfsupp 47007 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
3426, 27, 32, 33syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
35 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
37 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ‘†)
38 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
3938ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)))
4342impcom 408 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆))
4443imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
45 elelpwi 4611 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4645expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
47463ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
4847adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
4948imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
50 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 20481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
5236, 44, 49, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
53523adantl3 1168 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ 𝐡)
54 simp13 1205 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
55 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
5655expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
57563ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
5958adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆))
6059impcom 408 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
61 elelpwi 4611 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6261ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
63623adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6463adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
6611, 3, 65, 2lmodvscl 20481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6735, 60, 64, 66syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
68673adant3 1132 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6965eqcomi 2741 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β·
7069a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = Β· )
71 fveq2 6888 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
72 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
7370, 71, 72oveq123d 7426 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋))
7473adantl 482 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋))
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 19823 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
76 fveq1 6887 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯))
77763ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯))
78 fvres 6907 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
7977, 78sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8079oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8180mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
8281eqcomd 2738 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
8382oveq2d 7421 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
8483oveq1d 7420 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
8575, 84eqtrd 2772 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
86 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = 𝑉
8786, 5feq23i 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‰βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8837, 87sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
90893ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
91 difssd 4131 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑉)
9290, 91fssresd 6755 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
93 feq1 6695 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
94933ad2ant3 1135 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋})):(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
9592, 94mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
96 fvex 6901 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
97 difexg 5326 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
98973ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
99983ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
100 elmapg 8829 . . . . . . 7 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
10196, 99, 100sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
10295, 101mpbird 256 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})))
103 elpwi 4608 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
10411sseq2i 4010 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
105104biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
106105ssdifssd 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑉 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
108107adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
10997adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
110 elpwg 4604 . . . . . . . . 9 ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
112108, 111mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1131123adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1141133ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
115 lincval 47043 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑉 βˆ– {𝑋})) ∧ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
1161, 102, 114, 115syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
117116eqcomd 2738 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})))
118117oveq1d 7420 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
11918, 85, 1183eqtrd 2776 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 ↑m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 β†Ύ (𝑉 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑉) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑉 βˆ– {𝑋})) + ((πΉβ€˜π‘‹) Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  CMndccmn 19642  LModclmod 20463   linC clinc 47038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-linc 47040
This theorem is referenced by:  lincext3  47090  lindslinindimp2lem4  47095  lincresunit3  47115
  Copyright terms: Public domain W3C validator