Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincdifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincdifsn 45732
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincdifsn.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincdifsn.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
lincdifsn.t · = ( ·𝑠𝑀)
lincdifsn.p + = (+g𝑀)
lincdifsn.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lincdifsn (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6779 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2766 . . . . . . . 8 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 7287 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑉) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉)
76eleq2i 2830 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
87biimpi 215 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
1093ad2ant2 1133 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉))
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
1211pweqi 4553 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
1312eleq2i 2830 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1413biimpi 215 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
15143ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16153ad2ant1 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
17 lincval 45717 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑉) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
181, 10, 16, 17syl3anc 1370 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
19 lincdifsn.p . . . 4 + = (+g𝑀)
20 lmodcmn 20169 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd)
21203ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑀 ∈ CMnd)
22213ad2ant1 1132 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ CMnd)
23 simp12 1203 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵)
2414anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
25243adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
26253ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
27 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉))
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
2928breq2i 5084 . . . . . . . 8 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3029biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 0𝐹 finSupp (0g𝑅))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
32313ad2ant2 1133 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹 finSupp (0g𝑅))
333, 2scmfsupp 45681 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp (0g𝑅)) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
3426, 27, 32, 33syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) finSupp (0g𝑀))
35 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
3635adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑀 ∈ LMod)
37 elmapi 8635 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉𝑆)
38 ffvelrn 6961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑉𝑆𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
3938ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆 → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑉𝑆 → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4241adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)))
4342impcom 408 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉 → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
4443imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
45 elelpwi 4547 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑥𝐵)
4645expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
47463ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4847adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑥𝑉𝑥𝐵))
4948imp 407 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝐵)
50 eqid 2738 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 20138 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
5236, 44, 49, 51syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
53523adantl3 1167 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) ∈ 𝐵)
54 simp13 1204 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝑋𝑉)
55 ffvelrn 6961 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑉𝑆𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
5655expcom 414 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑉 → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
57563ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹:𝑉𝑆 → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
5958adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆))
6059impcom 408 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑆)
61 elelpwi 4547 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋𝐵)
6261ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
63623adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝑋𝐵)
6463adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑋𝐵)
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑀)
6611, 3, 65, 2lmodvscl 20138 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑆𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6735, 60, 64, 66syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
68673adant3 1131 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝐹𝑋) · 𝑋) ∈ 𝐵)
6965eqcomi 2747 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑀) = ·
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ( ·𝑠𝑀) = · )
71 fveq2 6776 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
72 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋)
7370, 71, 72oveq123d 7298 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7473adantl 482 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑋) · 𝑋))
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 19560 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
76 fveq1 6775 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
77763ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺𝑥) = ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥))
78 fvres 6795 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
7977, 78sylan9eq 2798 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
8079oveq1d 7292 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋})) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥) = ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))
8180mpteq2dva 5176 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8281eqcomd 2744 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥)))
8382oveq2d 7293 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
8483oveq1d 7292 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
8575, 84eqtrd 2778 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥𝑉 ↦ ((𝐹𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
86 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = 𝑉
8786, 5feq23i 6596 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑉𝑆𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8837, 87sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
90893ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
91 difssd 4068 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
9290, 91fssresd 6643 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
93 feq1 6583 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
94933ad2ant3 1134 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)) ↔ (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋})):(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
9592, 94mpbird 256 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀)))
96 fvex 6789 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
97 difexg 5253 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
98973ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
99983ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
100 elmapg 8626 . . . . . . 7 (((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10196, 99, 100sylancr 587 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑉 ∖ {𝑋})⟶(Base‘(Scalar‘𝑀))))
10295, 101mpbird 256 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})))
103 elpwi 4544 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
10411sseq2i 3951 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
105104biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑉𝐵𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
106105ssdifssd 4078 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
108107adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
10997adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V)
110 elpwg 4538 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑉 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
112108, 111mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1131123adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1141133ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
115 lincval 45717 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑉 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑉 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
1161, 102, 114, 115syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))))
117116eqcomd 2744 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) = (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})))
118117oveq1d 7292 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → ((𝑀 Σg (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑀)𝑥))) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
11918, 85, 1183eqtrd 2782 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆m 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝐹 ↾ (𝑉 ∖ {𝑋}))) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑉) = ((𝐺( linC ‘𝑀)(𝑉 ∖ {𝑋})) + ((𝐹𝑋) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3431  cdif 3885  wss 3888  𝒫 cpw 4535  {csn 4563   class class class wbr 5076  cmpt 5159  cres 5593  wf 6431  cfv 6435  (class class class)co 7277  m cmap 8613   finSupp cfsupp 9126  Basecbs 16910  +gcplusg 16960  Scalarcsca 16963   ·𝑠 cvsca 16964  0gc0g 17148   Σg cgsu 17149  CMndccmn 19384  LModclmod 20121   linC clinc 45712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-lmod 20123  df-linc 45714
This theorem is referenced by:  lincext3  45764  lindslinindimp2lem4  45769  lincresunit3  45789
  Copyright terms: Public domain W3C validator