Theorem shsss 31116

Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsss	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsval 31115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
2		imassrn 6068	. . 3 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +ℎ
3		ax-hfvadd 30803	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4		frn 6723	. . . 4 ⊢ ( +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran +ℎ ⊆ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran +ℎ ⊆ ℋ
6	2, 5	sstri 3987	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
7	1, 6	eqsstrdi 4032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944   × cxp 5670  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  (class class class)co 7414   ℋchba 30722   +_ℎ cva 30723   S_ℋ csh 30731   +_ℋ cph 30734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30296  df-ablo 30348  df-hvsub 30774  df-shs 31111

This theorem is referenced by:  shscli  31120  pjhth  31196  pjpreeq  31201