HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsss 30429
Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsss ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss
StepHypRef Expression
1 shsval 30428 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
2 imassrn 6060 . . 3 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +
3 ax-hfvadd 30116 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 frn 6711 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran + ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ran + ⊆ ℋ
62, 5sstri 3987 . 2 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
71, 6eqsstrdi 4032 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wss 3944   × cxp 5667  ran crn 5670  cima 5672  wf 6528  (class class class)co 7393  chba 30035   + cva 30036   S csh 30044   + cph 30047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428  df-neg 11429  df-grpo 29609  df-ablo 29661  df-hvsub 30087  df-shs 30424
This theorem is referenced by:  shscli  30433  pjhth  30509  pjpreeq  30514
  Copyright terms: Public domain W3C validator