Theorem shsss 31403

Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsss	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsval 31402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
2		imassrn 6024	. . 3 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +ℎ
3		ax-hfvadd 31090	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4		frn 6663	. . . 4 ⊢ ( +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran +ℎ ⊆ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran +ℎ ⊆ ℋ
6	2, 5	sstri 3924	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
7	1, 6	eqsstrdi 3959	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5617  ran crn 5620   “ cima 5622  ⟶wf 6482  (class class class)co 7357   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   S_ℋ csh 31018   +_ℋ cph 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31089  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-neg 11372  df-grpo 30583  df-ablo 30635  df-hvsub 31061  df-shs 31398

This theorem is referenced by:  shscli  31407  pjhth  31483  pjpreeq  31488