Theorem shsss 29675

Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsss	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsval 29674	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
2		imassrn 5980	. . 3 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +ℎ
3		ax-hfvadd 29362	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4		frn 6607	. . . 4 ⊢ ( +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran +ℎ ⊆ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran +ℎ ⊆ ℋ
6	2, 5	sstri 3930	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
7	1, 6	eqsstrdi 3975	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   × cxp 5587  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   S_ℋ csh 29290   +_ℋ cph 29293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-ablo 28907  df-hvsub 29333  df-shs 29670

This theorem is referenced by:  shscli  29679  pjhth  29755  pjpreeq  29760