Theorem shsss 31517

Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsss	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsval 31516	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
2		imassrn 6061	. . 3 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +ℎ
3		ax-hfvadd 31204	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4		frn 6700	. . . 4 ⊢ ( +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran +ℎ ⊆ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran +ℎ ⊆ ℋ
6	2, 5	sstri 3946	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
7	1, 6	eqsstrdi 3981	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5646  ran crn 5649   “ cima 5651  ⟶wf 6518  (class class class)co 7397   ℋchba 31123   +_ℎ cva 31124   S_ℋ csh 31132   +_ℋ cph 31135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-hilex 31203  ax-hfvadd 31204  ax-hvcom 31205  ax-hvass 31206  ax-hv0cl 31207  ax-hvaddid 31208  ax-hfvmul 31209  ax-hvmulid 31210  ax-hvdistr2 31213  ax-hvmul0 31214

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-sub 11417  df-neg 11418  df-grpo 30697  df-ablo 30749  df-hvsub 31175  df-shs 31512

This theorem is referenced by:  shscli  31521  pjhth  31597  pjpreeq  31602