HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsss 31341
Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsss ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss
StepHypRef Expression
1 shsval 31340 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
2 imassrn 6090 . . 3 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +
3 ax-hfvadd 31028 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 frn 6743 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran + ⊆ ℋ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 ran + ⊆ ℋ
62, 5sstri 4004 . 2 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
71, 6eqsstrdi 4049 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) ⊆ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  wss 3962   × cxp 5686  ran crn 5689  cima 5691  wf 6558  (class class class)co 7430  chba 30947   + cva 30948   S csh 30956   + cph 30959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492  df-grpo 30521  df-ablo 30573  df-hvsub 30999  df-shs 31336
This theorem is referenced by:  shscli  31345  pjhth  31421  pjpreeq  31426
  Copyright terms: Public domain W3C validator