Theorem shsss 30561

Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsss	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Proof of Theorem shsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsval 30560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
2		imassrn 6070	. . 3 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ran +ℎ
3		ax-hfvadd 30248	. . . 4 ⊢ +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4		frn 6724	. . . 4 ⊢ ( +ℎ :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → ran +ℎ ⊆ ℋ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran +ℎ ⊆ ℋ
6	2, 5	sstri 3991	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ ℋ
7	1, 6	eqsstrdi 4036	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   × cxp 5674  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539  (class class class)co 7408   ℋchba 30167   +_ℎ cva 30168   S_ℋ csh 30176   +_ℋ cph 30179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-grpo 29741  df-ablo 29793  df-hvsub 30219  df-shs 30556

This theorem is referenced by:  shscli  30565  pjhth  30641  pjpreeq  30646