HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsval 29098
Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsval ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem shsval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq12 5567 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑥 × 𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
21imaeq2d 5916 . 2 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → ( + “ (𝑥 × 𝑦)) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
3 df-shs 29094 . 2 + = (𝑥S , 𝑦S ↦ ( + “ (𝑥 × 𝑦)))
4 hilablo 28946 . . 3 + ∈ AbelOp
5 imaexg 7615 . . 3 ( + ∈ AbelOp → ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
64, 5ax-mp 5 . 2 ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V
72, 3, 6ovmpoa 7298 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480   × cxp 5540  cima 5545  (class class class)co 7149  AbelOpcablo 28330   + cva 28706   S csh 28714   + cph 28717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871  df-grpo 28279  df-ablo 28331  df-hvsub 28757  df-shs 29094
This theorem is referenced by:  shsss  29099  shsel  29100
  Copyright terms: Public domain W3C validator