Theorem shsval 31194

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shsval	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))

Proof of Theorem shsval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq12 5703	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 × 𝑦) = (𝐴 × 𝐵))
2	1	imaeq2d 6064	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ( +ℎ “ (𝑥 × 𝑦)) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))
3		df-shs 31190	. 2 ⊢ +ℋ = (𝑥 ∈ Sℋ , 𝑦 ∈ Sℋ ↦ ( +ℎ “ (𝑥 × 𝑦)))
4		hilablo 31042	. . 3 ⊢ +ℎ ∈ AbelOp
5		imaexg 7921	. . 3 ⊢ ( +ℎ ∈ AbelOp → ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V
7	2, 3, 6	ovmpoa 7576	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = ( +ℎ “ (𝐴 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   × cxp 5676   “ cima 5681  (class class class)co 7419  AbelOpcablo 30426   +_ℎ cva 30802   S_ℋ csh 30810   +_ℋ cph 30813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478  df-neg 11479  df-grpo 30375  df-ablo 30427  df-hvsub 30853  df-shs 31190

This theorem is referenced by:  shsss  31195  shsel  31196